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Introduzione alla Fisica Matematica

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Introduction to Mathematical Physics

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MFN0353
Docente
Fabrizio Nieri (Titolare)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Lo studente deve essere familiare con argomenti di base trattati negli insegnamenti di Algebra, Geometria, Analisi Matematica dei primi 5 semestri della Laure Triennale in Matematica (specialmente spazi vettoriali ed operatori lineari, almeno in dimensione finita).

The student should be familiar with basic topics covered in the courses of Algebra, Geometry, Mathematical Analysis of the first 5 semesters of the Bachelor's Degree program ("Laurea Triennale") in Mathematics (especially vector spaces and linear operators, at least in the finite-dimensional setting).

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Introduzione a concetti algebrici che sono alla base della descrizione delle simmetrie in fisica classica e quantistica, incluse equazioni differenziali della fisica matematica e delle teorie di campo. Discussione di alcuni esempi di problemi fondamentali che si possono affrontare con tali metodi matematici.

Introduction to algebraic concepts that underlie the description of symmetries in classical and quantum physics, including differential equations of mathematical physics and field theories. Discussion of some examples of fundamental problems that can be tackled with these mathematical methods.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Imparare a sfruttare le simmetrie di modelli fisico-matematici per semplificarli e quindi risolverli. Manipolare e classificare spazi vettoriali in base alle simmetrie che realizzano. Riconoscere alcuni dei più importanti risultati in fisica matematica come conseguenza dello studio delle simmetrie in questione (ad esempio analisi di Fourier e funzioni speciali). 

Learn how to exploit the symmetries of mathemtical-physics models to simplify and eventually solve them. Classify and deal with vector spaces via the symmetries they realize. Recognize some of the most important results in mathematical physics as arising from the study of the symmetries in question (for example Fourier analysis and special functions).

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Programma

Richiami di spazi vettoriali e operatori lineari in dimensione finita. Notazione di Dirac. Elementi di teoria degli spazi vettoriali infinito-dimensionali frequentemente usati in fisica (spazi di funzioni e di Hilbert) e distribuzioni (delta di Dirac e trasformate integrali). Alcuni esempi di gruppi di simmetria in fisica. Introduzione alla teoria dei gruppi discreti e alle loro rappresentazioni lineari. Sottospazi invarianti, rappresentazioni irriducibili e unitarie, lemmi di Schur e criteri di irriducibilità. Operatori di proiezioni, coefficienti di Clebsch-Gordan e teorema di Wigner-Eckart. Introduzione a gruppi continui di Lie e gruppi di matrici. Misura di integrazione invariante e relazioni di ortogonalità e completezza delle funzioni di rappresentazione e dei caratteri. Applicazioni a funzioni speciali e problemi fondamentali della fisica matematica (simmetrie delll'atomo di idrogeno e sua soluzione quantistica). Analisi dei gruppi di simmetria dello spazio-tempo: gruppi delle rotazioni, teoria del momento angolare, gruppi Euclidei e gruppo di Lorentz-Poincarè. Interpretazione gruppale delle equazioni di campo relativistiche e discussione di alcuni applicazioni. A concludere, introduzione ad argomenti di ricerca avanzati in fisica-matematica (non oggetto di esame), specialmente in teorie di gauge/stringa o integrabili, a seconda del tempo a disposizione.

Review of vector spaces and linear operators in finitely-many dimensions. Dirac notation. Basics of the theory of infinite-dimensional vector spaces usully met in physics (function and Hilbert spaces) and distribitions (Dirac delta function and integral transforms). Some examples of symmetry groups in physics. Introduction to the theory of discrete groups and their linear representations. Invariant subspaces, irreducible and unitary representations, Schur lemmas and irreducibility criteria. Projection operators, Clebsch-Gordan coefficients and Wigner-Eckart theorem. Introduction to continuous Lie groups and matrix groups. Invariant integration measure and orthogonality and completeness relations of representation functions and characters. Applications to special functions and fundamental problems of mathematical physics (symmetries of the hydrogen atom and its quantum solution). Analysis of symmetry groups of  the space-time: rotation groups, angular momentum theory, Euclidean groups and Lorentz-Poincarè group. Group interpretation of relativistic field equations and discussion of some applications. To conclude, introduction to advanced research topics in mathematical physics (not subject to examination), especially in gauge/string or integrable theories, depending on the time left.

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali alla lavagna (48 ore).

Blackboard lectures (48 hrs).

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale con voto (in trentesimi).

L'esame consiste in un seminario, della durata di 30-40 minuti circa, su un argomento a piacere trattato nel corso o strettamente legato ad argomenti trattati nel corso. L'argomento deve essere concordato con il docente.



Oral exam with mark.

The exam consists of a seminar, lasting approximately 30-40 minutes, on a topic of your choice covered in the course or closely related to topics covered in the course. The topic must be agreed with the teacher.


 

Testi consigliati e bibliografia

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"Group Theory in Physics", Wu-Ki Tung, WSP 1985. 

"Mathematical Physics", Hassani, Springer 2012.

"Linear Operators for Quantum Mechanics", Jordan, Dover Publications 1968.

"A Guide to Mathematical Methods for Physicists" - Petrini, Pradisi, Zaffaroni, WSP 2018.

"Quantum Mechanics for Mathematicians", Takhtajan, AMS 2008.

"Matrix Groups", Baker, Springer 2001.

"Representation Theory", Fulton and Harris, Springer 1991.

Materiale didattico fornito dal docente che verrà inserito nella pagina Moodle del corso. 

 

"Group Theory in Physics", Wu-Ki Tung, WSP 1985. 

"Mathematical Physics", Hassani, Springer 2012.

"Linear Operators for Quantum Mechanics", Jordan, Dover Publications 1968.

"A Guide to Mathematical Methods for Physicists" - Petrini, Pradisi, Zaffaroni, WSP 2018.

"Quantum Mechanics for Mathematicians", Takhtajan, AMS 2008.

"Matrix Groups", Baker, Springer 2001.

"Representation Theory", Fulton and Harris, Springer 1991.

Teaching aids provided by the teacher will be uploaded in the Moodle page of the course. 



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    Ultimo aggiornamento: 19/03/2024 10:41

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