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Analisi Matematica 4

 

Mathematical Analysis 4

 

Anno accademico 2017/2018

Codice attivitą didattica
MFN0338
Docenti
Prof. Gianluca Garello (Titolare del corso)
Prof. Enrico Priola (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attivitą didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Doppia
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
  • Italiano
  • English

Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e pił variabili;
elementi fondamentali di topologia;
campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma goniometrica e esponenziale;
serie numeriche e serie di funzioni;
serie di potenze in campo reale e complesso;
spazi metrici e normati, completezza, teorema delle contrazioni;
fondamenti sulle equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi, problema di Cauchy di esistenza e unicitą locale, prolungamento delle soluzioni;
elementi di algebra lineare e matrici;
integrali curvilinei e i superficie, forme differenziali;
misura e integrale secondo Lebesgue.

I prerequisiti sono forniti negli insegnamenti di Analisi Matematica e Geometria che precedono Analisi Matematica 4.

 
 

Obiettivi formativi

  • Italiano
  • English
Il corso si propone di perfezionare la conoscenza dell’analisi matematica di base, allo scopo di fornire maggiori strumenti agli studenti che intraprendono un percorso di studio della matematica di tipo teorico.

Il corso tratta la teoria delle equazioni differenziali ordinarie, approfondendo il problema di Cauchy, studiando equazioni e sistemi differenziali lineari e trattando la stabilità nel caso non lineare.

Viene poi trattata la teoria di base delle funzioni di una variabile complessa e la loro integrazione.

Gli argomenti del corso vengono tutti trattati in modo rigoroso, anche per quanto riguarda i teoremi che richiedono dimostrazioni più articolate. Questo permette allo studente da un lato di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria importanza, dall'altro di riuscire a dimostrare autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula. 

Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo. Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni ad altri studenti, in appositi incontri i tutoraggio, permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative, nonché di migliorare le capacità di comunicazione. In particolare gli studi qualitativo delle equazioni differenziali permettono di modellizzare semplici realtà fisiche o biologiche allenando lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico. La capacità di risolvere esercizi è puntualmente verificata nella prova d'esame.

L’apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di modelli matematici potrà poi rivelarsi utile, anche a distanza di tempo, per la formalizzazione logica o matematica di realtà di svariata.

 

Risultati dell'apprendimento attesi

  • Italiano
  • English
Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di:

- riconoscere i punti in cui una funzione di variabile complessa è olomorfa e/o analitica;

- saper spiegare accuratamente il legame tra il concetto di derivabilità e analiticità di una funzione;

- integrare esplicitamente esempi basilari di funzioni olomorfe;

- applicare la teoria delle equazioni differenziali a particolari modelli.

 

Programma

  • Italiano
  • English

Analisi complessa [24 ore]  
Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni trascendenti elementari e  
serie di potenze in campo complesso.
Integrazione in campo complesso. Indice di un cammino chiuso. Teorema di Cauchy dell'integrale nullo. Formula integrale di Cauchy.  
Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di continuazione analitica.  
Singolarità di funzioni olomorfe. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione delle singolarità. Teorema dei residui ed applicazione al calcolo degli integrali.  
 
Equazioni differenziali ordinarie [24 ore]

Complementi sul Problema di Cauchy: il lemma di Gronwall e la dipendenza continua e differenziabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali.

Equazioni differenziali lineari di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Matrice Wronskiana. Teorema di Liouville.

 Equazioni differenziali autonome.  Le nozioni di punto di equilibrio e di stabilità, tramite metodo di linearizzazione e metodo di Liapunov. Sistemi piani: integrali primi, orbite, stabilità.  

 

 

 

Modalitą di insegnamento

  • Italiano
  • English
Il corso si svolge con 48 di lezioni frontali (6 CFU), comprensive di svolgimento dettagliato di esercizi da parte dei docenti.

 

Modalitą di verifica dell'apprendimento

  • Italiano
  • English
Esame scritto e orale. La prova scritta è costitutita da esercizi e/o domande di tipo teorico. La prova è valutata in trentesimi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Vi saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova orale verrà svolta una discussione degli errori della prova scritta. La prova scritta ed orale devono essere superate entrambe nello stesso appello d'esame, tranne per il primo appello di giugno, in cui il superamento della prova scritta permette l'accesso all'orale dell'appello e di quello successivo. Gli studenti che hanno seguito il corso in anni accademici precedenti il 2013-14 possono sostenere la prova d'esame con le regole e il programma dell'anno in cui hanno seguito (segnalando tale intenzione ai docenti al momento dell'iscrizione all'esame).

 

Testi consigliati e bibliografia

  • Italiano
  • English
- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.

- Lezioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie - E. Vitali - Disponibile all'indirizzo

http://www-dimat.unipv.it/vitali/AM3/dispensa_prel_eq_diff-gennaio2013.pdf

- Piccinini-Stampacchia-Vidossich: Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.

- Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.

- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.

 

 

Note

  • Italiano
  • English
  

Il programma del corso non presenta sovrapposizioni con il corso di Equazioni Differenziali. Tale corso  è consigliato soprattutto agli studenti interessati all'Analisi Matematica e alle sue applicazioni.

 
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    Ultimo aggiornamento: 27/07/2017 19:34
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