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Geometria UNO

 

Geometry 1

 

Anno accademico 2017/2018

Codice attività didattica
MFN1626
Docenti
Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
Prof. Mario Valenzano (Esercitatore)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
1° anno
Periodo didattico
Primo semestre Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Doppia
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
  • Italiano
  • English
L'insegnamento non ha prerequisiti, salvo le nozioni di base di matematica dalla scuola superiore.
Propedeutico a
  • Italiano
  • English
L'algebra lineare è utilizzata in quasi tutti gli insegnamenti successivi del Corso di Laurea.
 
 

Obiettivi formativi

  • Italiano
  • English
Scopo dell'insegnamento è di fornire agli studenti gli elementi di base dell'algebra lineare e della geometria analitica, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi.
La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo delle tematiche del programma, mediante l'introduzione di concetti fondamentali e lo sviluppo di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancati da esempi significativi, esercizi e applicazioni.
In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti, strutture algebriche, teoremi e relative dimostrazioni, inerenti all'algebra lineare e alla geometria; 
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

 

Risultati dell'apprendimento attesi

  • Italiano
  • English
Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:

  • aver acquisito i concetti fondamentali dell'algebra lineare e della geometria analitica;
  • saper comunicare ed esprimere problematiche inerenti i contenuti dell'insegnamento: saper enunciare e dimostrare i teoremi, ma anche discutere le problematiche che riguardano l'enunciato di un teorema e le sue applicazioni;
  • saper applicare le nozioni e le tecniche apprese sia a esercizi standard sia alla risoluzione di problemi nuovi, che richiedono l'elaborazione autonoma di una strategia, o di piccole dimostrazioni rigorose, non identiche a quelle già conosciute ma ispirate a esse.

 

Programma

  • Italiano
  • English
Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: traccia, rango e operazioni con le matrici. Determinante, minori,  regola di Laplace. Teorema di Rouché-Capelli.

Vettori geometrici applicati e liberi nello spazio, equipollenza; coordinate affini e cartesiane nello spazio.

Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare; basi e dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato.  Formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi.

Applicazioni lineari e matrici associate. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di spazi vettoriali. Teorema di nullità più rango.

Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; matrici simili; polinomio caratteristico. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione.

Prodotto scalare standard in Rn, angoli e norme. Prodotto vettoriale in R3, prodotto misto.

Prodotti scalari su spazi vettoriali reali, spazi vettoriali euclidei: angoli, ortogonalità e lunghezze; basi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt; complemento ortogonale, proiezione ortogonale. Isometrie lineari e matrici ortogonali. Endomorfismi autoaggiunti e teorema spettrale; applicazioni alle matrici simmetriche reali. 

Prodotto hermitiano standard su Cn e prodotti hermitiani su spazi vettoriali complessi. Basi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt. Isometrie lineari e matrici unitarie. Endomorfismi autoaggiunti, matrici hermitiane, cenni sul teorema spettrale complesso.

Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione lineare trasposta. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche: matrici associate, matrici congruenti. diagonalizzazione di una forma quadratica su un campo arbitrario di caratteristica diversa da 2 (teorema di Lagrange), su un campo algebricamente chiuso (in particolare i complessi) e sul campo dei numeri reali. Forme quadratiche reali: segnatura e teorema di Sylvester; forme semidefinite, definite e indefinite.

Cenni di geometria affine in Rn: sottospazi affini, dimensione, giacitura, parallelismo; descrizione parametrica o per equazioni di un sottospazio affine; relazione con i sistemi lineari. Affinità e rototraslazioni. Cambiamenti di coordinate nello spazio.

Geometria analitica nel piano e nello spazio: rette, piani, sfere, circonferenze. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche: forma canonica e riduzione a forma canonica.

 

Modalità di insegnamento

  • Italiano
  • English
L'insegnamento è annuale e consiste in 12 CFU di didattica frontale, metà per semestre, articolate in  72 ore di lezioni e 36 ore di  esercitazioni.
 

Modalità di verifica dell'apprendimento

  • Italiano
  • English
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta consiste di esercizi da risolvere e domande di teoria. 

Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

La prova orale consiste in domande relative al programma svolto a lezione.

Lo studente può scegliere di sostituire la prova scritta con due prove scritte parziali,  che si tengono a febbraio (sulla parte del programma svolta nel primo semestre) e nella sessione estiva (sulla parte del programma svolta nel secondo semestre).

Per maggiori dettagli e per i testi delle prove scritte degli anni passati si rimanda alla pagina web del corso su moodle.  

 

Attività di supporto

  • Italiano
  • English
L'insegnamento prevede un'attività di tutorato, articolata come segue.
Ogni due settimane viene assegnato agli studenti (via moodle) un foglio di esercizi da svolgere a casa. Gli studenti consegnano gli esercizi svolti al tutore, che li corregge (senza valutazione); di solito il tutore è uno studente della Laurea Magistrale in Matematica. Il tutore incontra gli studenti ogni due settimane per restituire i fogli di esercizi corretti e discutere gli esercizi proposti. Lo svolgimento e la consegna dei fogli di esercizi bisettimanali non sono obbligatori, ma sono consigliati.
 

Testi consigliati e bibliografia

  • Italiano
  • English


Abbena, Fino, Gianella,  Algebra Lineare e Geometria Analitica, volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi), Aracne 2012

Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer)

Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer 1986

H. Anton, C.  Rorres,   Elementary Linear Algebra: Applications, Wiley 2010

In linea generale ogni testo di algebra lineare può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.

 

Note

  • Italiano
  • English
La pagina web dell'insegnamento è su moodle. Contiene informazioni più dettagliate, tra cui i testi delle prove scritte degli ultimi anni e il diario delle lezioni. Si invitano gli studenti a consultare regolarmente la pagina e ad iscriversi al corso moodle, per ricevere eventuali avvisi.

 
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    Ultimo aggiornamento: 04/09/2017 17:18
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