Corso di laurea in matematica

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi di algebra lineare e geometria analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi ed alla comprensione di teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese ad altre discipline scientifiche.

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta. Per maggiori dettagli vedere la pagina web del corso su moodle: http://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=439

 Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: traccia, rango e operazioni con le matrici. Determinanti e regola di Laplace. Teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.

Calcolo vettoriale nello spazio: operazioni tra vettori, basi ortonormali; prodotti scalare, vettoriale e misto di vettori.

Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi; formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare; basi e dimensione di uno spazio vettoriale.

Spazi vettoriali Euclidei ed Hermitiani: prodotti scalari, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Ortogonalità, basi ortonormali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, complemento ortogonale. Matrici associate a prodotti scalari.

Applicazioni lineari e matrici associate. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di spazi vettoriali. Teorema di nullita' piu' rango.

Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; matrici simili; polinomio caratteristico. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e conseguenze.

Endomorfismi autoaggiunti e teorema spettrale per le matrici simmetriche reali.  Cenni sul caso complesso.

Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione lineare trasposta. Forme bilineari simmetriche: matrici associate, forme quadratiche. Matrici congruenti; diagonalizzazione di una forma quadratica. Forme quadratiche reali: segnatura e teorema di Sylvester.

Geometria analitica nel piano e nello spazio: coordinate cartesiane, rette, piani, sfere, circonferenze. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche: forma canonica e riduzione a forma canonica. Cenni sulle quadriche.