Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Calcolo delle probabilità

Oggetto:

PROBABILITY

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0281
Docenti
Prof. Bruno Toaldo (Titolare del corso)
Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
Giuseppe D'onofrio (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Obbligatoria
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Ottima conoscenza dell'analisi matematica di base: calcolo, convergenze, serie, integrali (anche in più dimensioni).


Excellect knowledge of basic mathematical analysis: calculus, modes of convergence, series, integrals (in more than one dimension).
Propedeutico a

Statistica e Calcolo delle Probabilità 2


Statistics and Probability 2
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna teoria del Calcolo delle Probabilità attraverso una rigorosa definizione dei termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi, alcuni dei quali con dimostrazioni complete, altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L'allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso e di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d'esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.

In accordance with the educational goals of the Degree program expected by the SUA-CdS file, the course is aimed at giving the students a good understanding of the basic elements of Probability Theory through rigorous definitions, theorems and proofs. The student will be able to describe, link and compare the main statements and results given and to show the theorems considered.  He will solve problems relating the theoretical expertise with the selection and building of models following the guidelines given in the practice lessons.

 

 

 

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza. Chiara nozione di variabile aleatoria, distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici). Capacità di utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte. Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper discutere la legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di convergenza. Saper discutere e presentare le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le principali regole del calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un'interpretazione dell'enunciato e la selezione o l'adattamento di modelli noti. Conoscenza degli elementi di base della teoria delle catene di Markov a tempo discreto. Saper utilizzare le catene di Markov come modello matematico in situazioni pratiche.

 

 

Definition of probability space, elementary probability rules, conditioning and independence. Clear knowledge of random variables, distribution function and densityand of their role and features (mean, variance, moments, generating functions). Practical usage of joint distributions. Knowledge of classical schemes and distributions in discrete and continuous setting. Ability to discuss the weak law of large numbers. Knowledge of results related to convergence. Ability to discuss and present central limit type theorems with proofs. Capability to solve problems requiring interpretation of the statement and selection and application of known models. Clear knowledge of the basic theory of Markov chains in discrete time. Ability to use Markov chains as models for practical situations.

 

Oggetto:

Programma

Prime definizioni di probabilità: legge empirica del caso, definizione classica e definizione soggettiva. Costruzione assiomatica dello spazio di probabilità: eventi, sigma-algebre, la probabilità, prime regole di calcolo e continuità della misura di probabilità. Indipendenza e condizionamento: formula delle probabilità totali e teorema di Bayes. Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e sue proprietà. Variabili discrete e variabili continue (Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Binomiale Negativa, Ipergeometrica, Normale, Uniforme, Cauchy, Esponenziale, Gamma, Chi-Quadro, t di Student,...). Variabili aleatorie multidimensionali, indipendenza tra variabili aleatorie. Momenti. Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica. Disuguaglianze notevoli: Markov e Chebyshev. Teoremi asintotici: convergenza in legge, convergenza in probabilità, convergenza quasi certa, limite normale della distribuzione binomiale, legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale. Condizionamento nel continuo. Catene di Markov a tempo discreto.


Definition of Probability: frequencies, classical definition and subjective definition. Axiomatic definition of probability space: events, sigma-algebra, probability, first computation rules and continuity of the probability measure. Indipendence and conditioning: total probability and Bayes theorem. Borel-Cantelli lemma. Random
variables: distribution function and its properties. Continuous and discrete random variables (Bernoulli, Binomial, Geometric, Negative Binomial, Hypergeometric, Normal, Uniform, Cauchy, Exponential, Gamma, Chi-Square, Student's t,...). Multidimensional random variables, independence. Moments. Moment generating function and characteristic function. Inequalities: Markov and Chebyshev. Asymptotics: convergence in law, convergence in probability, almost sure convergence, normal limit of the binomial distribution, law of large numbers, central limit theorem. Conditioning in the continuous case. Discrete time Markov chains.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

L'insegnamento prevede lezioni teoriche (56 ore) intervallate da esercitazioni (16 ore), svolte in aula.

La frequenza è fortemente raccomandata.


The course includes theoretical lessons (56 hours) and exercises sessions (16 hours), to be attended in classroom. Attending lectures in person is highly recommended.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento


Prova scritta con voto. Prova orale con voto finale. L'esito positivo della prova scritta permette l'accesso alla sola prova orale immediatamente successiva. La prova scritta è valutata in 30esimi ed è costituita da esercizi su tutto il programma. La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esercizi presentati nel corso. Il voto finale tiene conto sia della prova scritta sia di quella orale.

Written examination followed by oral examination. Only a positive result of the written examination allows the access to the corresponding oral examination. The written examination is composed by exercises on the whole program. The oral examination consists of questions related to theory, proofs and exercises presented during the course. The final mark is based both on the written and on the oral examination.

 

Oggetto:

Attività di supporto

Alcune attività aggiuntive tese a favorire l'interazione fra i docenti e gli studenti potranno essere organizzate nella forma di incontri online e/o in presenza. Con riferimento alle attività in presenza, gli studenti che non potranno partecipare fisicamente avranno la possibilità di fruire di queste tramite il materiale online reso disponibile.

 

For the AY 2021/2022. Some additional activities to favour direct interaction between professors and students may be organised as online meetings and/or meetings in presence. For meetings in presence, students who are not able to be physically present will have the chance to follow such activities through the online course materials.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Calcolo delle Probabilità (2 edizione)
Anno pubblicazione:  
2011
Editore:  
Mc Graw Hill
Autore:  
Paolo Baldi
Obbligatorio:  
Si


Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 13/09/2022 14:58

    Non cliccare qui!