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Oggetto:
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Analisi matematica 2

Oggetto:

Mathematical Analysis 2

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0278
Docenti
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Prof. Marco Cappiello (Titolare del corso)
Alessandro Iacopetti (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Conoscenza dei contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 A e B e di Geometria 1, in particolare del calcolo differenziale per le funzioni di una o più variabili reali, del calcolo integrale per funzioni di una variabile reale, delle successioni e delle serie numeriche, dell'algebra lineare e della geometria analitica.
Propedeutico a
Nessuna propedeuticità
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi


In questo insegnamento si introducono i concetti  fondamentali riguardanti il calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili, completando quanto già visto nel corso di Analisi del primo anno.  Vengono introdotti gli spazi metrici, le successioni e le serie di funzioni e viene trattata la teoria qualitativa delle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine con l'illustrazione dei metodi risolutivi per alcune tipologie.  Vengono definite rigorosamente ed analizzate entità geometriche quali campi scalari e vettoriali, aree, superfici e volumi.

The course aims at introducing the basic notions about the differential and integral calculus for functions of several variables, completing what has already been seen in the first year course of Analysis. We introduce metric spaces, sequences and series of functions and treat qualitative theory of first order ordinary differential equations, illustrating some  solving methods. We define rigorously and analyze  geometric entities such as scalar and vector fields, areas, surfaces and volumes. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Lo studente dovrà conoscere:

  • continuità, derivabilità direzionale e differenziabilità di funzioni in più variabili e le loro relazioni;
  • la teoria delle curve nello spazio;
  • le principali nozioni sulle 1-forme differenziali e comprenderne il parallelismo con la teoria dei campi vettoriali e le sue applicazioni fisiche;
  • il teorema di Gauss-Green nel piano;
  • il teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli e riconoscere il suo ruolo negli argomenti successivamente presentati;
  • i vari tipi di convergenza per le successioni e le serie di funzioni;
  • il teorema della funzione implicita, il teorema di invertibilità locale e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • i teoremi fondamentali sul problema di Cauchy per le equazioni differenziali;
  • la teoria dell'integraione di Riemann in più variabili e le principali interpretazioni fisiche degli integrali doppi e tripli.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE

Lo studente dovrà essere in grado di:

  • saper integrare le 1-forme lungo le curve e saperne stabilire il parallelismo con la teoria dei campi vettoriali;
  • saper applicare il Teorema di Gauss-Green nel piano;
  • saper studiare i vari tipi di convergenza per una successione e per una serie di funzioni;
  • saper applicare il teorema della funzione implicita, il teorema di invertibilità locale e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un'equazione differenziale; 
  • saper risolvere alcune tipologie di equazioni differenziali;
  • saper calcolare integrali doppi e tripli.

ABILITÀ COMUNICATIVE

Lo studente dovrà essere in grado di esporre i principali concetti e teoremi del corso e le relative dimostrazioni con chiarezza  e rigore mostrando di averne compreso i principali passaggi e le possibilità di applicazione.

KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING

Students must know:

  • the notions of continuity, directional derivatives and differentiability of functions in several variables and their relationships;

  • the theory of curves in space;

  • the main notions on differential 1-forms and understand their parallelism with vector field theory and its physical applications;
  • the Gauss-Green theorem in the plane;
  • the Banach-Caccioppoli contraction theorem and recognize its role in the arguments subsequently presented;

  • the various types of convergence for sequences and series of functions;

  • the implicit function theorem, the local invertibility theorem and the Lagrange multiplier theorem;

  • the fundamental theorems on the Cauchy problem for differential equations;

  • the theory of Riemann integration in several variables and the main physical interpretations of double and triple integrals. 

 

APPLICATION OF KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING

Students must be able to:

  • integrate 1-forms along curves and knowing how to establish parallelism with the theory of vector fields;
  • apply the Gauss-Green Theorem in the plane;
  • study the various types of convergence for a sequence and for a series of functions;

  • to apply the implicit function theorem, the local invertibility theorem and the Lagrange multiplier theorem; 

  • discuss the qualitative properties of the solutions of a differential equation;

  • solve some types of differential equations;

  • calculate double and triple integrals.

COMMUNICATION SKILLS

Students must be able to explain the main concepts and theorems of the course and the relative proofs with clarity and rigor, showing that he has understood the main steps and the possibilities of application.

 

 

 

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Programma

  • Richiami su limiti e continuità per funzioni di più variabili; campi vettoriali e calcolo differenziale. Regola della catena e formula di Taylor generale;
  • curve; integrazione lungo curve;
  • 1-forme differenziali e loro integrazione; Teorema di Gauss-Green nel piano;
  • spazi metrici, successioni e serie di funzioni, serie di potenze, completezza delle funzioni continue su un compatto. Teorema delle contrazioni. Spazi normati e di Banach;
  • teorema delle funzioni implicite; teorema di inversione locale; teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • equazioni differenziali: problema di Cauchy, esistenza locale ed esistenza globale, studi qualitativi. Metodi risolutivi;
  • integrazione multipla: definizione di integrale multiplo; formule di riduzione; formula di cambiamento di variabili. Calcolo di integrali doppi e tripli.

  • Limits and continuity for functions of several variables; differential calculus for vector fields. Chain rule and Taylor Formula;
  • curves; integration along curve;
  • 1-forms and their integration; Gauss-Green's Theorem in the plane;
  • Metric spaces, sequences and series of functions, powers series, completeness of continuous functions on a compact. Banach Fixed Point Theorem. Normed and Banach spaces;
  • Implicit function Theorem; Local Inversion Theorem; Lagrange multipliers Theorem;
  • Differential equations: Cauchy problem, local and global existence, qualitative studies. Solving methods;
  • Multiple integrals:  definition and computation, reduction formula; change of variables.
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Modalità di insegnamento

L'insegnamento prevede 104 ore di frequenza divise tra lezioni di teoria ed esercitazioni e sarà accompagnato da un tutorato settimanale. Tutte le attività si svolgeranno in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo relative allo stato della pandemia di Covid-19.

 

The course includes 104 hours of attendance divided between theoretical lectures and exercises and will be accompanied by a weekly tutoring.  All activities will take place in presence, with possible exceptions in accordance with the University provisions relating to the state of Covid-19 pandemic.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è composto da una prova scritta consistente nella risoluzione di alcuni esercizi e di una prova orale che verte prevalentemente su argomenti di teoria. Le due prove devono essere sostenute nella stessa sessione. Per accedere alla prova orale è necessario ottenere un punteggio di almeno 18/30 nella prova scritta. 

Le prove d'esame si svolgeranno in presenza, salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

The exam consists of a written test consisting in solving some exercises and an oral test that focuses mainly on theoretical topics. The two tests must be taken in the same session. To access the oral exam it is necessary to obtain a score of at least 18/30 in the written test.

The exams will take place in presence, with exceptions in accordance with the University provisions. 

 

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Attività di supporto


E' previsto un tutorato per supportare gli studenti in difficoltà nello svolgimento degli esercizi.

A weekly tutoring is planned to support students in difficulties in carrying out the exercises.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Analisi Matematica 2, Seconda edizione
Anno pubblicazione:  
2016
Editore:  
Zanichelli
Autore:  
D. Pagani, S. Salsa
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Esercizi di Analisi Matematica 2 (Parte prima, parte seconda, parte terza)
Anno pubblicazione:  
1993
Editore:  
Zanichelli
Autore:  
S. Salsa, A. Squellati
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Analisi Matematica, Vol. 2 (con elementi di geometria e calcolo vettoriale)
Anno pubblicazione:  
2013
Editore:  
Apogeo Editore
Autore:  
V. Barutello, M. Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

  • A. Bacciotti , F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2, Levrotto & Bella, Seconda edizione.
  • G. De Marco, Analisi due. Teoria ed esercizi, Decibel-Zanichelli.
  • E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, seconda edizione.


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Note


Gli studenti degli Anni Accademici precedenti al 2022-2023 che devono sostenere l'esame da 9 o da 12 CFU sul programma dell'Anno Accademico in cui hanno frequentato il corso sono tenuti ad avvisare i docenti al momento dell'iscrizione allo scritto e a presentare una copia del programma alla prova orale.


Students of previous years who must take the 9 CFU  or 12 CFU exam on the Academic Year program in which they attended the course are required to notify the teachers at the time of enrollment and to present a copy of the program to the oral test.

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 14/09/2022 14:39

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