- Oggetto:
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Modelli differenziali
- Oggetto:
Differential Models
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- MAT0292
- Docenti
- Vivina Laura Barutello (Titolare)
Giovanni Ortenzi (Titolare) - Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
MAT/07 - fisica matematica - Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e più variabili. Campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma esponenziale. Elementi di algebra lineare e matrici.
Fundamentals of infinitesimal, differential and integral calculus in one and more variables. Field of complex numbers and representation in exponential form. Elements of linear algebra and matrices. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone da un lato di perfezionare la conoscenza dell'analisi matematica di base, tramite l'approfondimento della teoria delle equazioni differenziali ordinarie; dall'altro di vedere come questa teoria può applicarsi alla comprensione di alcuni modelli derivanti dalla fisica matematica e dalle scienze applicate.Gli argomenti del corso vengono trattati in modo esaustivo, sia per ciò che concerne la dimostrazione di teoremi sia per la trattazione di esempi paradigmatici.
The course aims on the one hand to perfect the knowledge of basic mathematical analysis, through an in-depth study of the theory of ordinary differential equations; on the other hand, to see how this theory can be applied to the understanding of some models deriving from mathematical physics and applied sciences.
The course topics are covered in an exhaustive manner, both in terms of the proof of theorems and the treatment of paradigmatic examples.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Lo studente è in grado di affrontare lo studio di modelli differenziali utilizzando diverse tecniche matematiche.CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Lo studente è in grado di utilizzare i risultati teorici nella risoluzione di esercizi e sa proporre esempi.AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Lo studente è in grado di discernere quali tecniche può utilizzare sulla base del tipo di modello proposto.ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente si esprime con un linguaggio matematico adeguato.CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO
Lo studente dimostra di conoscere i contenuti teorici e di saperli applicare.KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The student can afford the study of differential models by using various mathematical techniques.APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The student can use theoretical results for the solution of exercises and can propose examples.INDEPENDENT JUDGEMENT
The student is able to understand which techniques are suitable depending on the kind of the model in study.COMMUNICATION SKILLS
The student uses an adeguate mathematical language.LEARNING SKILLS
The student proves the knowledge of the theoretical contents and the ability to apply them.- Oggetto:
Programma
Dipendenza della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali; Lemma di Gronwall. Il flusso di un'equazione differenziale.
Campi di forze centrali e problema di Keplero.
Sistemi autonomi: orbite, spazio delle fasi, equilibri. Stabilità secondo Lyapunov degli equilibri: punti di equilibrio stabili, instabili e asintoticamente stabili. Equazione delle orbite per sistemi autonomi bidimensionali.
Sistemi lineari con coefficienti costanti e matrice esponenziale. Classificazione dell'origine e ritratto di fase nel caso bidimensionale.
Metodo di linearizzazione per lo studio della stabilità degli equilibri.
Oscillatore armonico forzato: risonanze e battimenti.
Metodo dell'energia per risoluzione di equazioni newtoniane: ritratti di fase.
Funzione di Liapunov per lo studio della stabilità.
Elementi di teoria della biforcazione.
Una selezione condivisa tra i seguenti argomenti: cenni alla teoria delle perturbazioni, modelli epidemiologici e di popolazioni, soluzioni periodiche ed equazione di Van der Pol.
Dependence of the solution of the Cauchy problem on the initial data; Gronwall's lemma. The flow of a differential equation.
Central force fields and Kepler's problem.
Autonomous systems: orbits, phase space, equilibria. Lyapunov stability of equilibria: stable, unstable and asymptotically stable equilibrium points. Orbit equation for two-dimensional autonomous systems.
Linear systems with constant coefficients and exponential matrix. Origin classification and phase portrait in the two-dimensional case.
Linearization method for studying the stability of equilibria.
Forced harmonic oscillator: resonances and beats.
Energy method for solving Newtonian equations: phase portraits.
Liapunov function for the study of stability.
Elements of bifurcation theory.
A shared selection from the following topics: hints on perturbation theory, epidemiological models, population models, periodic solutions and Van der Pol equation.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Il corso è di 48 ore di lezione (6 CFU). Il corso verrà erogato in presenza.The course is 48 hours of lessons (6 CFU). The course will be delivered in person.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in un'unica prova. Durante la prova gli studenti esaminati svolgeranno uno o più esercizi (simili a quelli svolti a lezione o assegnati a casa) e saranno tenuti ad esporre alcuni degli argomenti trattati a lezione.
The exam consists of a single test. During the test, the students examined will carry out one or more exercises (similar to those carried out in class or assigned at home) and will be required to explain some of the topics covered in class.
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Attività di supporto
I docenti sono disponibili per chiarimenti su teoria ed esercizi. Si prega di contattarli per posta elettronica.The teachers are available for explanations on theory and exercises. Please contact them by email.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Teschl, Ordinary differential equations and Dynamical Systems, disponibile sulla pagina web Home Page of Gerald Teschl (univie.ac.at)
- Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Studies in Nonlinearity, Perseus Books.
- L. D. Landau, Meccanica, Editori Riuniti.
- P. G. Drazin, Nonlinear Systems, Cambridge University Press.
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Note
- Registrazione
- Aperta
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