- Oggetto:
- Oggetto:
Modelli differenziali
- Oggetto:
Differential Models
- Oggetto:
Anno accademico 2025/2026
- Codice attività didattica
- MAT0292
- Docenti
- Vivina Laura Barutello (Titolare)
Giovanni Ortenzi (Titolare) - Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MATH-03/A - Analisi matematica
MATH-04/A - Fisica matematica - Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e più variabili. Campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma esponenziale. Elementi di algebra lineare e matrici.
Fundamentals of infinitesimal, differential and integral calculus in one and more variables. Field of complex numbers and representation in exponential form. Elements of linear algebra and matrices. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Avvisi
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone da un lato di perfezionare la conoscenza dell'analisi matematica di base, tramite l'approfondimento della teoria delle equazioni differenziali ordinarie, lo studio dello spazio delle fasi per sistemi autonomi e un'introduzioni ai metodi perturbativi; dall'altro di vedere come questa teoria può applicarsi alla comprensione di alcuni modelli derivanti dalla fisica e dalle scienze applicate.Gli argomenti del corso vengono trattati in modo esaustivo, sia per ciò che concerne la dimostrazione di teoremi sia per la trattazione di esempi paradigmatici.
The course aims, on the one hand, to refine knowledge of basic mathematical analysis through an in-depth study of the theory of ordinary differential equations, the study of phase space for autonomous systems, and an introduction to perturbation methods. On the other hand, it aims to examine how this theory can be applied to understanding some models derived from physics and the applied sciences.
The course topics are covered in an exhaustive manner, both in terms of the proof of theorems and the treatment of paradigmatic examples.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Capacità di affrontare lo studio di modelli differenziali utilizzando diverse tecniche matematiche.CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Capacità di utilizzare i risultati teorici nella risoluzione di esercizi e di proporre esempi.AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Capacità di discernere quali tecniche utilizzare sulla base del tipo di modello proposto.ABILITÀ COMUNICATIVE
Capacità di esprimersi con un linguaggio matematico adeguato.CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO
Conoscenza dei contenuti teorici e capacità di applicarli.KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The student can afford the study of differential models by using various mathematical techniques.APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The student can use theoretical results for the solution of exercises and can propose examples.INDEPENDENT JUDGEMENT
The student is able to understand which techniques are suitable depending on the kind of the model in study.COMMUNICATION SKILLS
The student uses an adeguate mathematical language.LEARNING SKILLS
The student proves the knowledge of the theoretical contents and the ability to apply them.- Oggetto:
Programma
Dipendenza della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali; Lemma di Gronwall. Il flusso di un'equazione differenziale.
Campi di forze centrali e problema di Keplero.
Sistemi autonomi: orbite, spazio delle fasi, equilibri. Stabilità secondo Lyapunov degli equilibri: punti di equilibrio stabili, instabili e asintoticamente stabili. Equazione delle orbite per sistemi autonomi bidimensionali.
Sistemi lineari con coefficienti costanti e matrice esponenziale. Classificazione dell'origine e ritratto di fase nel caso bidimensionale.
Metodo di linearizzazione per lo studio della stabilità degli equilibri.
Oscillatore armonico forzato: risonanze e battimenti.
Oscillatori non lineari: piccoli parametri e metodo di Poincarè-Lindstedt.
Metodo dell'energia per la risoluzione di equazioni newtoniane: ritratti di fase.
Funzione di Liapunov per lo studio della stabilità.
Cicli limite e Teorema di Poincaré-Bendixon.
Elementi di teoria della biforcazione.
Una selezione condivisa tra i seguenti argomenti: cenni alla teoria delle perturbazioni, modelli epidemiologici e di popolazioni, soluzioni periodiche ed equazione di Van der Pol.
Dependence of the solution of the Cauchy problem on the initial data; Gronwall's lemma. The flow of a differential equation.
Central force fields and Kepler's problem.
Autonomous systems: orbits, phase space, equilibria. Lyapunov stability of equilibria: stable, unstable and asymptotically stable equilibrium points. Orbit equation for two-dimensional autonomous systems.
Linear systems with constant coefficients and exponential matrix. Origin classification and phase portrait in the two-dimensional case.
Linearization method for studying the stability of equilibria.
Forced harmonic oscillator: resonances and beats.
Nonlinear oscillator: small parameters and Poincarè-Lindstedt method.
Energy method for solving Newtonian equations: phase portraits.
Liapunov function for the study of stability.
Limit cycles and Poincaré-Bendixon theorem
Elements of bifurcation theory.
A shared selection from the following topics: hints on perturbation theory, epidemiological models, population models, periodic solutions and Van der Pol equation.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Il corso è di 48 ore di lezione (6 CFU). Il corso verrà erogato in presenza.The course is 48 hours of lessons (6 CFU). The course will be delivered in person.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in un'unica prova. Durante la prova le persone esaminate svolgeranno uno o più esercizi (simili a quelli svolti a lezione o assegnati a casa) e saranno tenute ad esporre alcuni degli argomenti trattati a lezione.
The exam consists of a single test. During the test, the students examined will carry out one or more exercises (similar to those carried out in class or assigned at home) and will be required to explain some of the topics covered in class.
- Oggetto:
Attività di supporto
Ricevimento su appuntamento da fissare via posta elettronica per chiarimenti su teoria ed esercizi.The teachers are available for explanations on theory and exercises. Please contact them by email.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Teschl, Ordinary differential equations and Dynamical Systems, disponibile sulla pagina web Home Page of Gerald Teschl (univie.ac.at)
- Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Studies in Nonlinearity, Perseus Books.
- L. D. Landau, Meccanica, Editori Riuniti.
- P. G. Drazin, Nonlinear Systems, Cambridge University Press.
- Oggetto:
Note
- Registrazione
- Aperta
- Oggetto:
