Vai al contenuto principale
Oggetto:
Oggetto:

Modelli differenziali

Oggetto:

Differential Models

Oggetto:

Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MAT0292
Docenti
Vivina Laura Barutello (Titolare)
Giovanni Ortenzi (Titolare)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
MAT/07 - fisica matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e più variabili. Campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma esponenziale. Elementi di algebra lineare e matrici. Per il modulo di fisica matematica sono raccomandate conoscenze di Fisica 1, Geometria 1 e la frequenza contemporanea di Geometria 3.


Fundamentals of infinitesimal, differential and integral calculus in one and more variables. Field of complex numbers and representation in exponential form. Elements of linear algebra and matrices.
For the Mathematical Physics part, knowledge of the contents of the Physics 1 and Geometry 1 courses, and simultaneous attendance of the Geometry 3 course are recommended.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi


La prima parte del corso si propone da un lato di perfezionare la conoscenza dell'analisi matematica di base, tramite l'approfondimento della teoria delle equazioni differenziali ordinarie; dall'altro di vedere come questa teoria può applicarsi alla comprensione di alcuni modelli derivanti dalle scienze applicate.

La seconda parte del corso propone un'introduzione ad alcune tecniche geometrico-differenziali in fisica matematica applicate alla modellizzazione.

Gli argomenti del corso vengono trattati in modo approfondito, anche per quanto riguarda i teoremi che richiedono dimostrazioni più articolate. Questo permette allo studente da un lato di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria importanza, dall'altro di riuscire a dimostrare autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula. 

Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo. 

On the one hand, the first part of the course aims to improve the knowledge of basic mathematical analysis, through an in-depth study of the theory of ordinary differential equations; on the other hand to see how this theory can be applied to the understanding of some models deriving from applied sciences.

The second part of the course proposes an introduction to some differential-geometric techniques in mathematical physics applied to modelling.

The topics of the course are dealt with in depth, also with regard to theorems that require more articulated proofs. This allows the student on the one hand to understand and master concepts of primary importance, on the other hand to be able to independently demonstrate some results similar to those discussed in the classroom.

For each topic covered in the course, students are offered numerous exercises to be carried out independently or in a group.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Lo studente è in grado di affrontare lo studio di modelli differenziali utilizzando diverse tecniche matematiche.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Lo studente è in grado di utilizzare i risultati teorici nella risoluzione di esercizi e sa proporre esempi.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Lo studente è in grado di discernere quali tecniche può utilizzare sulla base del tipo di modello proposto.

ABILITÀ COMUNICATIVE
Lo studente si esprime con un linguaggio matematico adeguato.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO
Lo studente dimostra di conoscere i contenuti teorici e di saperli applicare.

KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The student can afford the study of differential models by using various mathematical techniques.

APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The student can use theoretical results for the solution of exercises and can propose examples.

INDEPENDENT JUDGEMENT
The student is able to understand which techniques are suitable depending on the kind of the model in study.

COMMUNICATION SKILLS
The student uses an adeguate mathematical language.

LEARNING SKILLS
The student proves the knowledge of the theoretical contents and the ability to apply them.

Oggetto:

Programma


Complementi sulla Teoria delle Equazioni differenziali ordinarie
Lemma di Gronwall, teoremi di dipendenza continua e differenziabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali. Il flusso di un'equazione differenziale.

Sistemi autonomi: Concetti di orbita, spazio delle fasi, punto di equilibrio, orbita chiusa. Esistenza e unicità dell'orbita per un punto dello spazio delle fasi. Teorema sulle orbite singolari; teorema di caratterizzazione delle orbite regolari. Descrizione delle orbite di un sistema autonomo. Teorema di esistenza globale (stime a priori).

Stabilità secondo Lyapunov degli equilibri: punti di equilibrio stabili, instabili e asintoticamente stabili. Bacino di attrazione di un punto di equilibrio. Equazione delle orbite per sistemi autonomi bidimensionali. Il pendolo semplice planare: ritratto di fase e stabilità degli equilibri. Cenno al metodo dell'energia.

Risoluzione dei sistemi lineari con coefficienti costanti attraverso la matrice esponenziale.
Classificazione dell'origine e ritratto di fase nel caso bidimensionale. Teorema esaustivo sulle soluzioni dei sistemi lineari a coefficienti costanti.

Stabilità degli equilibri per un sistema non lineare. Metodo di linearizzazione. Funzioni di Liapunov e metodo di Liapunov. Il metodo di Lyapunov nei sistemi conservativi. Teorema di La Salle-Krasowskii e di Barbashin-Krasowski.

Introduzione alle tecniche geometriche per lo studio dei modelli differenziali in fisica matematica

Calcolo differenziale sullo spazio affine euclideo tridimensionale. Coordinate non affini e riferimenti associati. Simboli di Christoffel per queste coordinate. Divergenza espressa tramite i simboli di Christoffel; esempi ed esercizi. 

Sistemi dinamici. Sistemi dinamici sulla retta e nel piano; esempi ed esercizi. Brevi richiami su curve e superfici nello spazio affine euclideo tridimensionale. Cinematica del punto. Moti centrali e moti geodetici su una superficie.

Integrali primi e loro uso nella soluzione di sistemi dinamici. Introduzione al problema dell’integrabilità; esempi ed esercizi.

Applicazioni nelle scienze naturali. Elementi di modellizzazione geometrica della visione. Modelli cosmologici di Friedmann (cenni).

Complements on the Theory of Ordinary Differential Equations.

Gronwall's lemma, theorems of continuous and differentiable dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data. The flow of a differential equation.

Autonomous systems: Concepts of orbit, phase space, equilibrium point, closed orbit. Existence and uniqueness of the orbit for a point in the phase space. Theorem on singular orbits; characterization theorem of regular orbits. Description of the orbits of an autonomous system. Global existence theorem (a priori estimates).

Lyapunov stability of equilibria: stable, unstable and asymptotically stable equilibrium points. Basin of attraction of an equilibrium point. Equation of orbits for two-dimensional autonomous systems. The simple planar pendulum: phase portrait and stability of equilibria. Introduction to the energy method.

Resolution of linear systems with constant coefficients through the exponential matrix. Origin classification and phase portrait in the two-dimensional case. Exhaustive theorem on solutions of linear systems with constant coefficients.

Stability of equilibria for a non-linear system. Linearization method. Lyapunov's functions and Lyapunov's method. Lyapunov's method in conservative systems. La Salle-Krasowskii and Barbashin-Krasowski theorem

Introduction to geometric techniques for the study of differential models in mathematical physics
 
Differential calculus on the affine 3-dimensional Euclidean space.
Non-affine coordinates and associated reference frames. Christoffel symbols for such coordinates. Divergenge expressed by the Christoffel symbols; examples and exercises. 
 
Dynamical systems. Dynamical systems on the line and in the plane; examples and exercises.
A short recalling on curves and surfaces in the affine 3-dimensional Euclidean space. Kinematics of a point. Central motions and geodesic motions on a surface.
 
First integrals and their use in the solution of dynamical systems. Introduction to the problem of integrability; examples and exercises.
 
Applications in sciences of nature. Elements of geometric modelling of vision.
Friedmann cosmological models (elements).
 
 
Oggetto:

Modalità di insegnamento


Il corso è di 48 ore di lezione (6 CFU). Il corso verrà erogato in presenza. 

The course is 48 hours of lessons (6 CFU). The course will be delivered in person. 

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in un'unica prova. Durante la prova gli studenti esaminati svolgeranno uno o più esercizi (simili a quelli svolti a lezione o assegnati a casa) e saranno tenuti ad esporre alcuni degli argomenti trattati a lezione. Le prove d'esame saranno in presenza.

 

The exam consists of a single test. During the test, the students examined will carry out one or more exercises (similar to those carried out in class or assigned at home) and will be required to explain some of the topics covered in class. The exam will be in person.

Oggetto:

Attività di supporto


I docenti sono disponibili per chiarimenti su teoria ed esercizi. Si prega di contattarli per posta elettronica.

The teachers are available for explanations on theory and exercises. Please contact them by email.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

Per la prima parte del corso:

  • Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
  • Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
  • Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
  • Teschl, Ordinary differential equations and Dynamical Systems, disponibile sulla pagina web Home Page of Gerald Teschl (univie.ac.at)
  • Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Studies in Nonlinearity, Perseus Books.

Per la seconda parte del corso:

  • S. Benenti, Modelli matematici della meccanica. Vol. 1Sistemi dinamici, cinematica, meccanica newtoniana, Torino : CELID, 1997.
  • materiale aggiuntivo fornito dal docente.


Oggetto:

Note

Registrazione
  • Aperta
    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 30/01/2024 14:14

    Location: https://www.matematica.unito.it/robots.html
    Non cliccare qui!