- Oggetto:
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Analisi Matematica 3
- Oggetto:
Mathematical Analysis 3
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- MAT0284
- Docenti
- Walter Dambrosio (Titolare)
Davide Zucco (Titolare) - Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
L’insegnamento prevede la conoscenza di vari contenuti affrontati negli insegnamenti dei primi due anni.
In particolare, a livello di conoscenze e comprensione in ingresso lo studente dovrà:
❏ ricordare i principali risultati teorici sul calcolo differenziale per funzioni di una o più variabili reali, con particolare riferimento alla nozione di differenziabilità ed al suo legame con la derivabilità;
❏ conoscere le nozioni di base su successioni e serie numeriche;
❏ ricordare le nozioni di convergenza puntuale e uniforme per le successioni di funzioni ed il risultato sul passaggio al limite sotto il segno di integrale, sotto l’ipotesi di convergenza uniforme;
❏ ricordare i principali risultati sulle serie di potenze (raggio di convergenza, convergenza uniforme, derivabilità della somma);
❏ conoscere la definizione di funzione analitica e gli esempi principali di funzioni analitiche in campo reale;
❏ conoscere e interpretare criticamente la definizione di integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale;
❏ ricordare le nozioni relative alle forme differenziali (definizione, chiusura, esattezza) e conoscere la definizione di integrale di una forma differenziale lungo una curva;
❏ ricordare l’espressione della forma argomento e conoscere il suo legame con l’anomalia in coordinate polari;
❏ rievocare le principali proprietà dei numeri complessi e riconoscere gli aspetti geometrici del campo complesso;
❏ ricordare la nozione di spazio quoziente e cosa significhi che una funzione definita sul quoziente è ben definita;
❏ conoscere le nozioni di base di algebra lineare, con riferimento a spazi vettoriali ed applicazioni lineari;
❏ ricordare i principali concetti di topologia negli spazi metrici (distanze, convergenza, compattezza);
❏ conoscere le nozioni fondamentali di calcolo delle probabilità (sigma-algebre, misure di probabilità e loro proprietà di continuità, variabili aleatorie, convergenza quasi certa e convergenza in probabilità).Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:
❏ tracciare il grafico di funzioni di una variabile reale;
❏ calcolare limiti di successioni;
❏ discutere la convergenza di una serie numerica e di una serie di potenze;
❏ discutere la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni;
❏ calcolare integrali definiti di funzioni di una variabile reale;
❏ calcolare integrali di forme differenziali lungo curve;
❏ discutere chiusura ed esattezza di una forma differenziale;
❏ risolvere equazioni differenziali del primo ordine, lineari oppure a variabili separabili;
❏ eseguire operazioni tra numeri complessi, scritti in forma algebrica od in forma trigonometrica;
❏ passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica di un numero complesso, e viceversa;
❏ calcolare le radici n-esime di un numero complessoUna riflessione personale ed una autovalutazione sul possesso di questi prerequisiti potrà essere effettuata dallo studente all’inizio dell’insegnamento attraverso un’attività su Piattaforma Moodle.
Knowledge of various contents of the courses of the first two years.
In particular, as far as knowledge and understanding are concerned, students should:❏ remember the main theoretical results on calculus in one or several real variables;
❏ know the basics of numerical sequences and series;
❏ remember the notions of pointwise and uniform convergence for sequences of functions and the result on the passage to the limit under the sign of integral, under the hypothesis of uniform convergence;
❏ recall the main results on power series (radius of convergence, uniform convergence, differentiability of the sum);
❏ know the definition of analytic function and the main examples of analytic functions in the real field;
❏ know and critically interpret the definition of Riemann integral for functions of a real variable;
❏ remember the notions relating to differential forms (definition, closure, exactness) and know the definition of integral of a differential form along a curve;
❏ remember the expression of the argument form and know its link with the anomaly in polar coordinates;
❏ remember the main properties of complex numbers and recognize geometrical aspects of the complex field;
❏ remember the notion of quotient space and what it means that a function defined on the quotient is well defined;
❏ know the basic notions of linear algebra, with reference to vector spaces and linear applications;
❏ remember the main concepts of topology in metric spaces (distances, convergence, compactness);
❏ know the definitions of sigma-algebra sets, measurable functions, probability measures;
❏ know the basics of probability calculus (sigma-algebras, probability measures and their continuity properties, random variables, almost certain convergence and convergence in probability).Furthermore, as an application of knowledge and understanding, students are expected to be able to:
❏ sketch graphs of functions of a real variable;
❏ calculate limits of sequences;
❏ discuss the convergence of numerical series;
❏ discuss the pointwise and uniform convergence of a sequence of functions;
❏ evaluate definite integrals of functions of a real variable;
❏ calculate integrals of differential forms along curves;
❏ discuss wether a differential form is closed and wether is exact;
❏ solve first-order linear or separable differential equations;
❏ draw subsets of R² defined in terms of lines or conics;
❏ perform operations among complex numbers, written in algebraic or trigonometric form;
❏ pass from the algebraic to the trigonometric form of a complex number, and vice versa;
❏ calculate the nth roots of a complex number.A personal reflection and a self-assessment on the possession of the prerequisites above can be carried out by students at the beginning of the course through an activity on the Moodle Platform.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di presentare i risultati principali sulle funzioni di variabile complessa ed i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Si tratta di argomenti indispensabili per la formazione dei laureati in matematica (classe L-35) e per il proseguimento degli studi nelle lauree magistrali della classe LM-40.
L’insegnamento concorre agli obiettivi formativi dell’area di formazione comune del corso di Laurea in Matematica, con particolare riferimento alla capacità di analizzare, verificare e riprodurre dimostrazioni rigorose di risultati matematici.
The aim of the course is to present the main results on functions of complex variable and the basics of the theory of Lebesgue measure and Lebesgue integration. These are essential topics for the education of undergraduate students of Mathematics (class L-35) and are essential tools for subsequent courses in Master's Program (class LM-40).
The course contributes to pursuing the aims of the mathematical education, with reference to the ability to analyze, verify and reproduce rigorous proofs of mathematical results.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:
- ricordare le definizioni di funzione olomorfa e di funzione analitica e discuterne e dimostrarne i legami;
- descrivere la definizione e le proprietà dell’integrale di funzioni complesse lungo curve e ricordare i risultati teorici sul suo calcolo;
- enunciare e dimostrare i risultati sull’integrazione di funzioni (olomorfe o meromorfe) lungo curve chiuse;
- classificare le singolarità isolate di una funzione di variabile complessa, sia in termini topologici sia usando le serie di Laurent;
- riconoscere, spiegare e dimostrare le proprietà di una misura astratta e delle funzioni misurabili;
- confrontare le definizioni di misura di sottoinsiemi di RN secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue;
- descrivere la nozione di integrale astratto di Lebesgue e confrontare le nozioni di integrale secondo Riemann e secondo Lebesgue;
- riconoscere, rievocare e confrontare le definizioni dei vari tipi di convergenza di una successione di funzioni;
- enunciare, spiegare e dimostrare i principali risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale per una successione o serie di funzioni;
- classificare le variabili aleatorie reali, sulla base della probabilità immagine e della corrispondente funzione di ripartizione;
- riconoscere un integrale dipendente da un parametro ed enunciare e dimostrare le sue proprietà di continuità e derivabilità
- ricordare la definizione di trasformata di Fourier e conoscerne le proprietà di continuità e derivabilità;
- inquadrare alcuni dei risultati e delle tematiche affrontate in un contesto storico/temporale.
Applicare conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:
- analizzare e classificare le singolarità isolate di una funzione di variabile complessa;
- utilizzare strumenti di analisi complessa per calcolare integrali definiti od integrali impropri di funzioni di una variabile reale;
- discutere i vari modi di convergenza di una successione di funzioni;
- eseguire operazioni di passaggio al limite sotto il segno di integrale, scegliendo i metodi più efficaci;
- analizzare e discutere la continuità e la derivabilità di integrali dipendenti da un parametro.
Lo studente che svolgerà le attività previste dal Portfolio saprà inoltre produrre, in modalità scritta o multimediale, un documento di sintesi o di approfondimento di un argomento affrontato durante l’insegnamento.
Autonomia di giudizio
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:
- riconoscere, costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni;
- sostenere ragionamenti matematici con argomenti rigorosi;
- presentare, argomentare, collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento;
- valutare e riflettere sulle competenze maturate durante l’insegnamento, anche in riferimento al suo percorso di studi.
Abilità comunicative
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:
- utilizzare un lessico matematico appropriato per comunicare gli argomenti affrontati durante l’insegnamento;
- esporre in modo chiaro e preciso in forma scritta ad un pubblico specializzato gli argomenti affrontati durante l’insegnamento.
Capacità di apprendimento
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà analizzare, interpretare e valutare in modo autonomo testi e contenuti di carattere matematico.
Competenze trasversali
L’insegnamento, con le sue modalità ed attività, contribuisce a formare e consolidare le seguenti competenze trasversali:
- capacità di lavoro di gruppo e di coordinamento, attraverso attività svolte in aula;
- gestione del tempo, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione informatizzate aventi tempo stabilito;
- corretta attribuzione causale di successi ed insuccessi, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione con feedback da parte dei docenti;
- abilità di comunicazione, attraverso la discussione in aula di attività individuali o di gruppo, in cui lo studente argomenta, motiva e illustra le proprie scelte e strategie rispetto alla risoluzione di problemi.
Knowledge and understanding
By the end of the course, any student will be able to:
- remember the definition of holomorphic function and analytic function, discussing and proving their links;
- describe the definition and the properties of the integration of function of complex variable along curves and remember theoretical results on it;
- state and prove results on the integration of function (holomorphic and meromorphic) along closed curves;
- classify isolated singularities of functions of complex variable, either in topological term and with Laurent’s series;
- recognize, explain, and prove the properties of an abstract measure and of measurable functions;
- confrontare le definizioni di misura di sottoinsiemi di RN secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue;
- describe the notion of the Lebesgue integral and be able to compare the Riemann integral with the Lebesgue integral;;
- recognize and compare the different modes of convergence of sequences of functions;
- state, explain, and prove the main results on the passage of the limit under the sign of the integrale for sequences or series of functions;
- classify random variables, on the basis of distribution and cumulative distribution functions;
- recognize an integral depending on a parameter and state and prove its continuity and differentiability properties;
- remember the definition of Fourier transform and know its continuity and differentiability properties;
- place some of the results and issues addressed in a historical context.
Applied knowledge and understanding
By the end of the course, any student will be able to:
- analyze and classify the isolated singularities of functions of complex variable;
- use tools from complex analysis to compute definite or improper integral of functions of one real variable;
- discuss various types of convergence of a sequence of functions;
- carry out passages to the limit under the integral sign, by choosing the most effective methods;
- analyze and discuss the continuity and differentiability of integrals dependent on a parameter.
The student who will carry out the activities proposed in the Portfolio will also be able to produce, in written or multimedia form, a summary or an in-depth document on a topic addressed in the course.
Autonomous assessments
By the end of the course, any student will be able to:
- build and develop logical arguments, by identifying clear assumptions and conclusions;
- support mathematical reasoning with rigorous argumentations;
- present, discuss, connect, and critically comment the main theoretical results illustrated in the course;
- evaluate and reflect on the skills acquired during the course, also with reference to the course of study.
Communication skills
By the end of the course, any student will be able to:
- use an appropriate mathematical lexicon to talk on topics addressed in the course;
- present addressed topics in a clear and precise way to a specialized public, also respecting the time available.
Learning ability
At the end of this course any student will be able to analyze, interpret and evaluate autonomously mathematical texts and contents.
Transversal skills
The course, together with the activities, helps to train and consolidate the following transversal skills:
- teamwork and coordination skills, through activities carried out in the classroom;
- time management, by carrying out computerized self-assessment tests with a fixed time;
- correct causal attribution of successes and failures, by carrying out self-evaluation tests with feedback from teachers;
- communication skills, through the discussion of individual or group activities in the classroom, in which the student argues, motivates and illustrates his own choices and strategies with respect to problem solving.
- Oggetto:
Programma
- Funzioni di variabile complessa
- Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann
- Integrazione di funzioni olomorfe lungo curve; teorema di Cauchy
- Formula dell’indice ed analiticità delle funzioni olomorfe
- Singolarità isolate e loro classificazione; teorema dei residui
- Teoria della misura e dell’integrazione
- Funzioni misurabili e loro proprietà
- Misure astratte
- Misura di sottoinsiemi del piano: la misura di Peano-Jordan e la misura di Lebesgue
- Integrale astratto di Lebesgue; confronto tra l’integrale di Lebesgue e l’integrale di Riemann
- Variabili aleatorie e loro classificazione
- Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale; modi di convergenza di una successione di funzioni
- Integrali dipendenti da un parametro
Il programma dettagliato dell’insegnamento sarà disponibile su Moodle.
- Function of complex
- Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations
- Integration of holomorphic functions along curves; the Cauchy’s theorem
- Index formula and the anliticity of holomorphic functions
- Isolated singularities and their classifications; residue theorem
- Measure and integration theory
- Measurable functions and their properties
- Abstract measures
- Measure of subsets of the plane: the Peano-Jordan measure and the Lebesgue measure
- Lebesgue's abstract integral; comparison between the Lebesgue integral and the Riemann
- Random variables and their classification
- Theorems on the passage to the limit under the integral sign; modes of convergence of a sequence of functions
- Integral depending on a parameter
A detailed syllabus of the course will be available on Moodle.
- Funzioni di variabile complessa
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Le modalità di insegnamento comprendono: lezioni frontali, lezioni inverse (flipped), apprendimento attivo in aula e a distanza, esercitazioni in aula.
- Lezioni frontali e attività in aula
- lezioni frontali supportate dall’uso di strumenti di videoscrittura e di software di visualizzazione dinamica;
- attività ed esercitazioni in aula con eventuale partecipazione degli studenti (svolgimento di esercizi, discussioni, gruppi di lavoro).
- Attività e materiale online (Piattaforma Moodle)
- calendario delle lezioni e delle esercitazioni;
- video sostitutivi delle lezioni frontali per argomenti erogati in modalità inversa (flipped);
- quiz ed assegnazioni per l'apprendimento e l'autovalutazione;
- portfolio per l’analisi, lo sviluppo ed il bilanciamento delle conoscenze e delle competenze;
- materiali opzionali di approfondimento e per percorsi tematici.
Teaching methods include: lectures, flipped classrooms, active classroom learning and active distance learning, classroom exercises.
- Classroom lectures and activities
- lectures supported by word processing tools and dynamic visualization softwares;
- classroom activities and exercises with possible participation of students (carrying out exercises, discussions, working groups).
- Online activities and material (Moodle platform)
- schedule of lessons and classroom exercises;
- videos replacing lectures for topics assigned in inverse mode (flipped);
- quizzes and assignments for learning and self-assessment;
- portfolio for the analysis and developments of knowledge and skills;
- optional materials for deepening and thematic routes.
- Lezioni frontali e attività in aula
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’insegnamento prevede due prove, una informatizzata ed una scritta, entrambe obbligatorie.
Le due prove devono essere sostenute e superate nello stesso appello d’esame; nel caso di non superamento della seconda prova, all’appello successivo bisogna sostenere nuovamente anche la prima prova.
Durante lo svolgimento delle prove non è consentito consultare libri, appunti e dispositivi elettronici.
La prova informatizzata prevede la risposta a domande, teoriche o applicative, lo svolgimento di semplici esercizi e l’analisi di alcune dimostrazioni. In accordo con i risultati dell’apprendimento attesi, essa è volta, tra l’altro, a valutare la conoscenza e la comprensione degli argomenti in programma, la capacità di applicazione di conoscenze e l’autonomia di giudizio, relativamente alla capacità di riconoscere e costruire argomenti logici e collegare e confrontare criticamente le nozioni apprese.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/30.
La prova scritta verte su tutti gli argomenti affrontati durante le lezioni e le esercitazioni e su quelli assegnati per lo studio autonomo (coerentemente con le capacità di apprendimento attese); essa mira, tra l’altro, alla valutazione dell’autonomia di giudizio, relativamente alla capacità di sostenere ragionamenti matematici con argomenti logici rigorosi, e all’accertamento delle capacità comunicative indicate nel paragrafo dei risultati attesi.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/30.
Il voto finale è la media dei due voti ottenuti.
Lo studente può consegnare la prova scritta al più tre volte nell'anno accademico.
Bonus: lo studente potrà usufruire di bonus validi per le due prove d’esame se avrà svolto, entri i tempi stabiliti, le attività previste dal Portfolio. I bonus ottenuti sono validi per l’intero anno accademico.
Portfolio delle conoscenze e delle competenze: il portfolio prevede lo svolgimento di diverse attività, descritte nel dettaglio nella pagina Moodle dell’insegnamento. Il portfolio mira ad accompagnare lo studente nel percorso di studio, aiutandolo a riflettere, a valutare il suo apprendimento, il raggiungimento dei risultati attesi, le competenze acquisite, analizzando i suoi punti di forza e di debolezza in ingresso ed in uscita.
Le attività del portfolio non sono obbligatorie e possono essere svolte anche parzialmente, per autovalutazione personale; esse sono valide per ottenere i bonus solo se svolte nella percentuale richiesta ed entro i tempi previsti.
Studenti degli anni accademici precedenti all’anno accademico 2023-2024: gli studenti degli anni accademici precedenti sostengono l’esame con il programma e le modalità dell’anno accademico 2022-2023.
Per questi studenti non è previsto lo svolgimento del portfolio.
Studenti con disabilità o con DSA: gli studenti con disabilità o con DSA sono invitati a mettersi in contatto con il docente ad inizio insegnamento, per concordare le modalità di apprendimento e di esame più adatte alla loro situazione.
Sono inoltre invitati a seguire le indicazioni d’Ateneo, reperibili a
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita
per ufficializzare la loro situazione.
The exam consists of two tests, a computerized test and a written test, both mandatory.
Both tests must be done and passed in the same exam session; in case of failure of the second test, in the next exam appeal, it is necessary to repeat the first test as well.
During the test students are not allowed to consult books, notes and electronic devices.
La computerized test consists in answering to some (theoretical or applied) multiple choice questions, in solving simple exercises and in analysing some proofs. In accordance with the expected learning outcomes, it is aimed, among other things, at evaluating the knowledge and understanding of the topics in the program, the ability to apply knowledge and the independence of judgment, in relation to the ability to recognize and build logical arguments and connect and critically compare the concepts learned.
The computerized test is passed if it is reached the score of at least 18/30.
La written exam is focuses on all the topics covered during lessons and classroom exercises and on those assigned for self-study (consistently with the expected learning skills); it aims, among other things, to evaluate independent judgement, in relation to the ability to support mathematical reasoning with rigorous logical arguments, and to ascertain the communication skills indicated in the paragraph on the expected results.
The written test is passed if it is reached the score of at least 18/30.
The final score is the mean of the scores obtained in the computerized and written tests.
Any student can deliver the written test at most three times in the academic year.
Bonus: any student who has performed all the activities required by the Portfolio, within the prescribed deadlines, will have a bonus in the scores of the tests. The bonuses obtained will be valid for the entire academic year.
Portfolio: the activities required by the portfolio are described on the Moodle platform of this course. Portfolio aims to accompany each student in the course of study, to reflect and to evaluate the learning, the achievement of the expected results, the skills acquired, analyzing strengths and weaknesses at input and output.
Portfolio activities are not mandatory and may be carried out partly, for self-assessment or for personal analysis; they give bonuses for tests only if they are carried out completely and within the prescribed deadlines.
Students from academic years before 2023-2024: the examination is with the program and the of the academic year 2022-2023. For these students are not expected the Portfolio activities.
Students with disabilities or with learning specific difficulties: students with disabilities or with learning specific difficulties are invited to contact the teacher at the beginning of the course, to agree upon the most suitable learning and examination methods for their situation.
They are also invited to follow the directions of the University, which can be found at
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supporto-agli-studenti-con
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita
to formalize their situation.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Real and complex analysis
- Anno pubblicazione:
- 2001
- Editore:
- McGraw Hill International Editions
- Autore:
- Walter Rudin
- Obbligatorio:
- No
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- Libro
- Titolo:
- Esercizi svolti di analisi reale e funzionale
- Anno pubblicazione:
- 2021
- Editore:
- Società editrice Esculapio
- Autore:
- Matteo Muratori, Fabio Punzo, Nicola Soave
- Obbligatorio:
- No
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- Libro
- Titolo:
- Complex variables
- Anno pubblicazione:
- 2009
- Editore:
- Schaum's outilne series
- Autore:
- Murray R. Spiegel & al
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
- Oggetto:
