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Oggetto:
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Analisi Matematica 3

Oggetto:

Mathematical Analysis 3

Oggetto:

Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN0336
Docenti
Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Dott. Francesca Colasuonno (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
L’insegnamento prevede la conoscenza di vari contenuti affrontati negli insegnamenti di Algebra 1, Analisi Matematica UNO e Analisi Matematica DUE, Calcolo delle Probabilità e Statistica, Geometria UNO e Geometria DUE.

In particolare, a livello di conoscenze e comprensione in ingresso lo studente dovrà:

❏ ricordare i principali risultati teorici sul calcolo differenziale per funzioni di una o più variabili reali;
❏ conoscere le nozioni di base su successioni e serie numeriche;
❏ conoscere e interpretare criticamente la definizione di integrale di Riemann per funzioni di una variabile reale;
❏ rievocare le principali proprietà dei numeri complessi e riconoscere gli aspetti geometrici del campo complesso;
❏ conoscere le nozioni di base di algebra lineare, con riferimento a spazi vettoriali ed applicazioni lineari;
❏ ricordare i principali concetti di topologia negli spazi metrici (distanze, convergenza, compattezza);
❏ conoscere le definizioni di sigma-algebra di insiemi, funzioni misurabili, misura di probabilità;
❏ ricordare le proprietà di continuità di una misura di probabilità.

Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:

❏ tracciare il grafico di funzioni di una variabile reale;
❏ calcolare limiti di successioni;
❏ discutere la convergenza di una serie numerica;
❏ calcolare integrali definiti di funzioni di una variabile reale;
❏ risolvere equazioni differenziali del primo ordine, lineari oppure a variabili separabili;
❏ disegnare insiemi del piano individuati a partire da rette o coniche;
❏ eseguire operazioni tra numeri complessi, scritti in forma algebrica od in forma trigonometrica;
❏ passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica di un numero complesso, e viceversa.

Una riflessione personale ed una autovalutazione sul possesso di questi prerequisiti potrà essere effettuata dallo studente all’inizio dell’insegnamento attraverso un’attività su Piattaforma Moodle.

Knowledge of various contents of the courses of Algebra 1, Mathematical Analysis 1, Mathematical Analysis 2, Geometry 1 and Geometry 2, Probability and Statistics.

In particular, as far as knowledge and understanding are concerned, students should:

❏ remember the main theoretical results on calculus in one or several real variables;
❏ know the basics of sequences and series;
❏ know and critically interpret the definition of Riemann integral for functions of a real variable;
❏ remember the main properties of complex numbers and recognize geometrical aspects of the complex field;
❏ know the basic notions of linear algebra, with reference to vector spaces and linear applications;
❏ remember the main concepts of topology in metric spaces (distances, convergence, compactness);
❏ know the definitions of sigma-algebra sets, measurable functions, probability measures;
❏ remember the continuity properties of a probability measure.

Furthermore, as an application of knowledge and understanding, students are expected to be able to:

❏ sketch graphs of functions of a real variable;
❏ calculate limits of sequences;
❏ discuss the convergence of numerical series;
❏ evaluate definite integrals of functions of a real variable;
❏ solve first-order linear or separable differential equations;
❏ draw subsets of R² defined in terms of lines or conics;
❏ perform operations among complex numbers, written in algebraic or trigonometric form;
❏ pass from the algebraic to the trigonometric form of a complex number, and vice versa.

A personal reflection and a self-assessment on the possession of the prerequisites above can be carried out by students at the beginning of the course through an activity on the Moodle Platform.

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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

 

L'insegnamento ha lo scopo di presentare i risultati principali su successioni e serie di funzioni ed i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Si tratta di argomenti indispensabili per la formazione dei laureati in matematica (classe L-35) e per il proseguimento degli studi nelle lauree magistrali della classe LM-40.

L'insegnamento concorre agli obiettivi formativi dell'area di formazione comune del corso di Laurea in Matematica, con particolare riferimento alla capacità di analizzare, verificare e riprodurre dimostrazioni rigorose di risultati matematici.

The aim of the course is to present the main results on sequences and series of functions and the basics of the theory of Lebesgue measure and integration. These are essential topics for the education of undergraduate students of Mathematics (class L-35) and are essential tools for subsequent courses in Master's Program (class LM-40).

The course contributes to pursuing the aims of the mathematical education, with particular reference to the ability to analyze, verify and reproduce rigorous proofs of mathematical results.

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Risultati dell'apprendimento attesi

 

Conoscenza e comprensione

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

❏     riconoscere, rievocare e confrontare le definizioni dei vari tipi di convergenza di una successione o serie di funzioni;

❏     enunciare, spiegare e dimostrare i principali risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale per una successione o serie di funzioni;

❏     riconoscere e spiegare il ruolo della convergenza uniforme nell'ambito dei risultati su continuità e derivabilità della somma di una serie di funzioni;

❏     enunciare e dimostrare i principali risultati sulle serie di potenze in campo complesso e classificare una serie di potenze in base al suo comportamento sul bordo del dominio di convergenza;

❏     enunciare e dimostrare il Teorema di Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio di convergenza di una serie di potenze;

❏     riconoscere le funzioni trascendenti elementari in campo complesso e rievocare le loro proprietà;

❏     confrontare le definizioni di misura di sottoinsiemi di RN secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue;

❏     riconoscere, spiegare e dimostrare le proprietà di una misura astratta e delle funzioni misurabili;

❏     descrivere la nozione di integrale astratto di Lebesgue;

❏     confrontare le nozioni di integrale secondo Riemann e secondo Lebesgue;

❏     descrivere e dimostrare le proprietà dello spazio delle funzioni integrabili, anche in riferimento ai risultati di densità;

❏     enunciare i risultati di riduzione di integrali multipli secondo Lebesgue;

❏     riconoscere un integrale dipendente da un parametro ed enunciare e dimostrare le sue proprietà di continuità e derivabilità, sia nell'ambito della teoria di Riemann sia in quello della teoria di Lebesgue;

❏     inquadrare alcuni dei risultati e delle tematiche affrontate in un contesto storico/temporale.

 

Applicare conoscenza e comprensione

 

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

❏     determinare gli insiemi di convergenza semplice ed uniforme di una successione di funzioni;

❏     discutere i vari modi di convergenza di una successione di funzioni;

❏     eseguire operazioni di passaggio al limite sotto il segno di integrale, scegliendo i metodi più efficaci;

❏     calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze e discuterne la convergenza sul bordo del cerchio di convergenza;

❏     determinare e rappresentare nel piano di Argand-Gauss insiemi di numeri complessi;

❏     analizzare e discutere la continuità e la derivabilità di integrali dipendenti da un parametro.

 

Lo studente che svolgerà le attività previste dal Portfolio saprà inoltre produrre, in modalità scritta o multimediale, un documento di sintesi o di approfondimento di un argomento affrontato durante l'insegnamento.

 

Autonomia di giudizio

 

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

❏     costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni;

❏     sostenere ragionamenti matematici con argomenti rigorosi;

❏     presentare, argomentare, collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell'insegnamento;

❏     valutare e riflettere sulle competenze maturate durante l'insegnamento, anche in riferimento al suo percorso di studi.

 

Abilità comunicative

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

❏     utilizzare un lessico matematico appropriato per comunicare gli argomenti affrontati durante l'insegnamento;

❏     esporre in modo chiaro e preciso ad un pubblico specializzato gli argomenti affrontati durante l'insegnamento, anche rispettando il tempo a disposizione.

 

Capacità di apprendimento

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà analizzare, interpretare e valutare in modo autonomo testi e contenuti di carattere matematico.

 

Knowledge and understanding

By the end of the course, any student will be able to:

❏     recognize, recall and compare the definitions of the different types of convergence of a sequence or a series of functions;

❏     state, explain and prove the main results of passage of limit under the integral sign for a sequence or a series of functions;

❏     recognize and explain the role of uniform convergence in the results of continuity and differentiability of the sum of a series of functions;

❏     state and prove main results on power series in the complex field; classify a power series depending on its behavior on the boundary of the convergence domain;

❏     state and prove the Cauchy-Hadamard Theorem for the computation of the convergence radius of a power series;

❏     recognize elementary transcendental functions in the complex field and recall their properties;

❏     compare the definitions of measure of sets of RN according to Peano-Jordan and according to Lebesgue;

❏     recognize, explain and prove the properties of an abstract measure and of measurable functions;

❏     describe the notion of Lebesgue's integral;

❏     compare the notions of integral according to Riemann and according to Lebesgue;

❏     state the reduction results for multiple Lebesgue integrals;

❏     recognize an integral depending on a parameter and state and prove its continuity and differentiability properties, both in the Riemann theory and in the Lebesgue theory;

❏     place some of the results and issues addressed in a historical context.

 

Applied knowledge and understanding

By the end of the course, any student will be able to:

❏ determine the sets of simple and uniform convergence of a sequence of functions;

❏ discuss various types of convergence of a sequence of functions;

❏ carry out passages to the limit under the integral sign, choosing the most effective methods;

❏ calculate the radius of convergence of a power series and discuss its convergence on the boundary of the convergence disk;

❏ determine and represent complex numbers in the Argand-Gauss plan;

❏ analyze and discuss the continuity and differentiability of integrals dependent on a parameter.

 

The student who will carry out the activities proposed in the Portfolio will also be able to produce, in written or multimedia form, a summary or an in-depth document on a topic addressed in the course.

 

Autonomous assessments

By the end of the course, any student will be able to:

 

❏ build and develop logical arguments, identifying clearly assumptions and conclusions;

❏ support mathematical reasoning with rigorous arguments;

❏ present, discuss, connect and critically comment on the main theoretical results illustrated in the course;

❏ evaluate and reflect on the skills acquired during the course, also with reference to his studies.

 

Communication skills

By the end of the course, any student will be able to:

❏ use an appropriate mathematical lexicon to talk about the topics addressed in the course;

❏ present the topics addressed in a clear and precise way to a specialized public, also respecting the time available.

 

Learning ability

At the end of this course any student will be able to analyze, interpret and evaluate autonomously mathematical texts and contents.

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Programma

1. Successioni e serie di funzioni

1.1.   Successioni in spazi metrici e spazi normati
1.2.   Successioni di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme; convergenza in norma del sup
1.3.   Il ruolo della convergenza uniforme: continuità della funzione limite; passaggio al limite sotto il segno di integrale; derivabilità della funzione limite
1.4.   Serie di funzioni; criterio di Weierstrass
1.5.   Serie di Taylor delle funzioni esponenziale, seno e coseno in campo reale

2. Campo complesso e serie di potenze

2.1.   Serie di potenze: dominio di convergenza; convergenza puntuale, assoluta ed uniforme; comportamento sulla frontiera del cerchio di convergenza; proprietà della somma
2.2.   Teorema di Cauchy-Hadamard
2.3.   Funzioni trascendenti elementari in campo complesso

3. Teoria della misura e dell'integrazione

3.1.   Misura di sottoinsiemi del piano: la misura di Peano-Jordan e la misura di Lebesgue;
3.2.   Misure astratte
3.3.   Funzioni misurabili e loro proprietà
3.4.   Integrale astratto di Lebesgue; confronto tra l'integrale di Lebesgue e l'integrale di Riemann
3.5.   Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale; modi di convergenza di una successione di funzioni
3.6.   Integrali dipendenti da un parametro

 

Il programma dettagliato dell'insegnamento sarà disponibile su Moodle.

 

1. Sequences and series of functions

1.1. Sequences in metric spaces and in normed spaces

1.2. Sequences of functions: pointwise convergence and uniform convergence; convergence in the sup norm

1.3. The role of uniform convergence: continuity of the limit function; passage to the limit under the integral sign; differentiability of the limit function

1.4. Series of functions; Weierstrass criterion

1.5. Taylor series of exponential functions, sine and cosine in the real field

2. Complex field and power series

2.1. Power series: convergence domain; pointwise, absolute and uniform convergence; behavior on the boundary of the convergence disk; properties of the sum

2.2. Cauchy-Hadamard theorem

2.3. Elementary transcendental functions in the complex field

3. Measure and integration theory

3.1. Measure of subsets of the plan: the Peano-Jordan measure and the Lebesgue measure;

3.2. Abstract measures

3.3. Measurable functions and their properties

3.4. Lebesgue's abstract integral; comparison between the Lebesgue integral and the Riemann integral

3.5. Theorems on passage to the limit under the integral sign; types of convergence of a sequence of functions

3.6. Integrals dependent on a parameter

 

A detailed syllabus of the course will be available on Moodle.

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Modalità di insegnamento

 

Le modalità di insegnamento comprendono: lezioni frontali, lezioni inverse (flipped), apprendimento attivo in aula e a distanza, esercitazioni in aula.

❏     Lezioni frontali e attività in aula 

  • lezioni frontali supportate dall'uso di strumenti di videoscrittura e di software di visualizzazione dinamica;
  • attività ed esercitazioni in aula con eventuale partecipazione degli studenti (svolgimento di esercizi, discussioni, gruppi di lavoro).

 

❏     Attività e materiale online (Piattaforma Moodle)

  • calendario delle lezioni e delle esercitazioni;
  • video sostitutivi delle lezioni frontali per argomenti erogati in modalità inversa (flipped);
  • quiz ed assegnazioni per l'apprendimento e l'autovalutazione;
  • portfolio per l'analisi e lo sviluppo delle conoscenze e delle competenze;
  • materiali opzionali di approfondimento e per percorsi tematici.

 

L'insegnamento, con le sue modalità ed attività, contribuisce a formare e consolidare le seguenti competenze trasversali:

❏     capacità di lavoro di gruppo e di coordinamento, attraverso attività svolte in aula;

❏     gestione del tempo, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione informatizzate aventi tempo stabilito;

❏     corretta attribuzione causale di successi ed insuccessi, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione con feedback da parte dei docenti;

❏     abilità di comunicazione, attraverso la discussione in aula di attività individuali o di gruppo, in cui lo studente argomenta, motiva e illustra le proprie scelte e strategie rispetto alla risoluzione di problemi.

Teaching methods include: lectures, flipped classrooms, active classroom learning and active distance learning, classroom exercises.

❏    Classroom lectures and activities 

  • lectures supported by word processing tools and dynamic visualization softwares;
  • classroom activities and exercises with possible participation of students (carrying out exercises, discussions, working groups).

 

❏     Online activities and material (Moodle platform)

  • schedule of lessons and classroom exercises;
  • videos replacing lectures for topics assigned in inverse mode (flipped);
  • quizzes and assignments for learning and self-assessment;
  • portfolio for the analysis and development of knowledge and skills;
  • optional materials for deepening and thematic routes.

 

The course, through its teaching methods and activities, helps to form and consolidate the following transversal skills:

❏  skill of team work and coordination, through activities carried out in the classroom;

❏  time management, through the performance of computerized self-assessment tests having a set time;

❏  correct causal attribution of success and failure, through the performance of self-assessment tests with feedback from the teachers;

❏  communication skills, through classroom discussions of individual or group activities, in which the student presents, motivates and illustrates his own choices and strategies for problem solving.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

 

L'insegnamento prevede una prova scritta ed una prova orale, entrambe obbligatorie.

Le due prove devono essere sostenute e superate nello stesso appello d'esame; nel caso di non superamento della prova orale all'appello successivo bisogna sostenere nuovamente anche la prova scritta.

La prova scritta prevede la risposta ad alcune domande (teoriche o applicative) a scelta multipla e lo svolgimento di due esercizi, uno relativo alle serie di potenze e al campo complesso, l'altro a successioni di funzioni e teoria della misura e dell'integrazione. Durante lo svolgimento della prova non è consentito consultare libri, appunti e dispositivi elettronici.

La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/30.

La prova orale verte su tutti gli argomenti affrontati durante le lezioni e le esercitazioni e su quelli assegnati per lo studio autonomo (coerentemente con le capacità di apprendimento attese); essa mira, tra l'altro, all'accertamento delle capacità comunicative indicate nel paragrafo dei risultati attesi. 

Esonero da una parte della prova scritta: lo studente sarà esonerato dal sostenere parti della prova scritta se avrà svolto, entri i tempi stabiliti, le attività previste dal Portfolio. Tali attività potranno essere discusse durante la prova orale. Il completamento delle attività del Portfolio costituisce esonero da parte della prova scritta per l'intero anno accademico 2018-2019.

Le parti della prova scritta da cui lo studente sarà esonerato sono il questionario a risposta chiusa e lo svolgimento dell'esercizio su serie di potenze e campo complesso.

La prova così ridotta è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 4/10.

 

Portfolio delle conoscenze e delle competenze: il portfolio prevede lo svolgimento di 

❏       attività in ingresso: riflessione e questionario di autovalutazione sui prerequisiti;

❏       consegna di esercizi su serie di potenze e campo complesso;

❏       svolgimento di tre quiz a valutazione automatica in itinere (su serie di potenze, teoria della misura e dell'integrazione, successioni di funzioni e loro convergenza);

❏       presentazione di un lavoro (possibilmente di gruppo) di tipologia a scelta tra: relazione di approfondimento di un argomento teorico o di applicazione dei concetti studiati a problemi fisico/matematici; realizzazione di un video didattico/divulgativo su uno dei temi affrontati nell'insegnamento; preparazione di un poster divulgativo su uno dei concetti fondamentali;

❏       riflessione in uscita sui temi dell'insegnamento, anche in relazione al proprio percorso di studi.

Le attività del portfolio non sono obbligatorie e possono essere svolte anche parzialmente, per autovalutazione o per approfondimento personale; esse sono valide come esonero da una parte della prova scritta solo se svolte completamente ed entro i tempi previsti.

Al completamento delle attività del portfolio lo studente riceverà un voto, che contribuirà alla valutazione finale dell'esame. Le attività del portfolio che verranno valutate sono gli esercizi consegnati, i quiz ed il lavoro presentato. Lo studente che ritenga non soddisfacente la valutazione ottenuta potrà sostenere l'intera prova scritta anziché la prova ridotta.

 

Studenti degli anni accademici precedenti all'anno accademico 2018-2019: gli studenti degli anni accademici precedenti sostengono l'esame con il programma dell'anno accademico 2017-2018 se hanno sostenuto con il vecchio programma gli esami di Analisi Matematica UNO e Analisi Matematica DUE.

In questo caso, la prova scritta prevederà lo svolgimento di due esercizi e la risposta ad una domanda di carattere teorico (enunciato e dimostrazione di uno dei teoremi in programma); la prova orale sarà facoltativa. Allo studente che decide di non sostenere la prova orale verrà registrato un voto finale dell'esame pari al minimo tra il voto dello scritto e 24/30. Per la registrazione del voto è necessario che lo studente si presenti alla prova orale dell'appello in cui ha superato la prova scritta.

Gli studenti degli anni accademici precedenti che abbiano sostenuto con il nuovo programma gli esami di Analisi Matematica UNO e Analisi Matematica DUE devono sostenere l'esame con il programma e le modalità dell'anno in corso.

 

 

The exam consists of a written test and an oral test, both mandatory.

The two tests must be done and passed in the same exam session; if a student fails the oral test he/she has to repeat the written test as well.

The written test consists in answering to some (theoretical or applied) multiple choice questions and in solving two exercises, one related to power series and complex field, the other related to sequences of functions and measure and integration theory. During the test students are not allowed to consult books, notes and electronic devices.

To pass the written part of the exam, students have to score at least 18/30.

The oral test focuses on all the topics covered during lessons and classroom exercises and on those assigned for self-study (consistently with the expected learning skills); it aims, among other things, to ascertain the communication skills indicated in the paragraph on expected outcomes.

Exemption from parts of the written test: a student who has performed all the activities required by the Portfolio, within the prescribed deadlines, will be exempted from parts of the written test. The activities of the Portfolio could be discussed during the oral test. They guarantee exemption from parts of the written test for the whole academic year 2018-2019.

The exemption concerns the multiple choice questionnaire and the exercise on power series and complex field.

To pass the reduced written test, students have to score at least 4/10.

Portfolio of knowledge and skills: the activities required by the portfolio are the following

❏ incoming activity: reflection and self-assessment questionnaire on the prerequisites;

❏ solving exercises on power series and complex field;

❏ carrying out three quizzes with automatic assessment (on series of powers, measure and integration theory, sequence of functions and their convergence);

❏ presenting one of the following three possible types of (better in team) work: a deepening report on a theoretical topic or a report about an application of some concepts studied in the course to physical/mathematical problems; creation of an educational/informative video on one of the topics addressed in the course; preparation of a dissemination poster on one of the main concepts of the course;

❏ outgoing reflection on the topics of the course, with reference also to their course of study.

Portfolio activities are not mandatory and may be carried out partly, for self-assessment or for personal analysis; they exempt from a part of the written test only if they are carried out completely and within the prescribed deadlines.

After having completed all the portfolio activities, students will receive a grade, which will contribute to the final evaluation of the exam. The portfolio activities that will be evaluated are the exercises that will be turned in, the quizzes and the presented work. Students who consider the assessment of the portfolio activities to be unsatisfactory are allowed to do the entire written test instead of the reduced one.

Students from past academic years: students from academic years preceding the a.y. 2018-2019 have to take the exam according to the syllabus and the modalities of the academic year 2017-2018 or those of the current year (this second option is offered only to students who have taken also the exams of Mathematical Analysis 1 and Mathematical Analysis 2 with the new program).

In the first case (syllabus and modality of the academic year 2017-2018) the written test will include two exercises and a theoretical question; the oral test will be optional. The student who decides not to take the oral test will receive a final grade of the exam equal to the minimum between the score got in the written test and 24/30. In order to register the grade, students must be present to the oral examination, even if they do not intend to sit it.

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Attività di supporto

 

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Testi consigliati e bibliografia

Parti 1 e 2 del programma: C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.

Parte 3 del programma: W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill International Editions

Per approfondimenti sulla parte 3 del programma: G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience

Parts 1 and 2 of the syllabus: C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.

Part 3 of the syllabus: W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill International Editions

For an in-depth study of part 3 of the syllabus: G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience

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Note

Studenti con disabilità o con DSA: gli studenti con disabilità o con DSA sono invitati a mettersi in contatto con i docenti ad inizio insegnamento, per concordare le modalità di apprendimento e di esame più adatte alla loro situazione.

Sono inoltre invitati a seguire le indicazioni d'Ateneo, reperibili a

 

https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supporto-agli-studenti-con

 

https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita

 

per ufficializzare la loro situazione.

 

Students with disabilities or with learning specific difficulties: students with disabilities or with learning specific difficulties are invited to contact the teacher at the beginning of the course, to agree upon the most suitable learning and examination methods for their situation.

They are also invited to follow the directions of the University, which can be found at

https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supporto-agli-studenti-con

https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita

to formalize their situation.

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    Ultimo aggiornamento: 10/06/2019 09:13

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