- Oggetto:
- Oggetto:
Analisi Matematica 3
- Oggetto:
Mathematical Analysis 3
- Oggetto:
Anno accademico 2025/2026
- Codice attività didattica
- MAT0284
- Docenti
- Nicola Soave (Titolare)
Davide Zucco (Titolare) - Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MATH-03/A - Analisi matematica
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
Gli argomenti degli insegnamenti di Analisi Matematica 1a, Analisi Matematica 1b e Analisi Matematica 2; è richiesta inoltre una buona conoscenza delle proprietà di base dei numeri complessi (proprietà algebriche di C, forma trigonometrica e esponenziale, radici n-esime, etc.), trattate nell'insegnamento di Algebra 1.
The topics covered in the courses Mathematical Analysis 1a, Mathematical Analysis 1b, and Mathematical Analysis 2; in addition, a good knowledge of the basic properties of complex numbers is required (algebraic properties of ℂ, trigonometric and exponential forms, n-th roots, etc.), as covered in the Algebra 1 course.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Avvisi
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento ha lo scopo di presentare i risultati principali sulle funzioni di variabile complessa ed i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Si tratta di argomenti indispensabili per la formazione dei laureati in matematica (classe L-35) e per il proseguimento degli studi nelle lauree magistrali della classe LM-40.
L’insegnamento concorre agli obiettivi formativi dell’area di formazione comune del corso di Laurea in Matematica, con particolare riferimento alla capacità di analizzare, verificare e riprodurre dimostrazioni rigorose di risultati matematici.
The aim of the course is to present the main results on functions of complex variable and the basics of the theory of Lebesgue measure and Lebesgue integration. These are essential topics for the education of undergraduate students of Mathematics (class L-35) and are essential tools for subsequent courses in Master's Program (class LM-40).
The course contributes to pursuing the aims of the mathematical education, with reference to the ability to analyze, verify and reproduce rigorous proofs of mathematical results.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento si saprà:
- ricordare le definizioni di funzione olomorfa e di funzione analitica e discuterne e dimostrarne i legami;
- descrivere la definizione e le proprietà dell’integrale di funzioni complesse lungo curve e ricordare i risultati teorici sul suo calcolo;
- enunciare e dimostrare i risultati sull’integrazione di funzioni (olomorfe o meromorfe) lungo curve chiuse;
- classificare le singolarità isolate di una funzione di variabile complessa, sia in termini topologici sia usando le serie di Laurent;
- riconoscere, spiegare e dimostrare le proprietà di una misura astratta e delle funzioni misurabili;
- confrontare le definizioni di misura di sottoinsiemi di RN secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue;
- descrivere la nozione di integrale astratto di Lebesgue e confrontare le nozioni di integrale secondo Riemann e secondo Lebesgue;
- riconoscere, rievocare e confrontare le definizioni dei vari tipi di convergenza di una successione di funzioni;
- enunciare, spiegare e dimostrare i principali risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale per una successione o serie di funzioni;
- riconoscere un integrale dipendente da un parametro ed enunciare e dimostrare le sue proprietà di continuità e derivabilità
Applicare conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento si saprà:
- analizzare e classificare le singolarità isolate di una funzione di variabile complessa;
- utilizzare strumenti di analisi complessa per calcolare integrali definiti od integrali impropri di funzioni di una variabile reale;
- discutere i vari modi di convergenza di una successione di funzioni;
- eseguire operazioni di passaggio al limite sotto il segno di integrale, scegliendo i metodi più efficaci;
- analizzare e discutere la continuità e la derivabilità di integrali dipendenti da un parametro.
Autonomia di giudizio
Alla fine di questo insegnamento si saprà:
- riconoscere, costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni;
- sostenere ragionamenti matematici con argomenti rigorosi;
- presentare, argomentare, collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento.
Abilità comunicative
Alla fine di questo insegnamento si saprà:
- utilizzare un lessico matematico appropriato per comunicare gli argomenti affrontati durante l’insegnamento;
- esporre in modo chiaro e preciso in forma scritta ad un pubblico specializzato gli argomenti affrontati durante l’insegnamento.
Capacità di apprendimento
Alla fine di questo insegnamento si saprà analizzare, interpretare e valutare in modo autonomo testi e contenuti di carattere matematico.
Competenze trasversali
L’insegnamento, con le sue modalità ed attività, contribuisce a formare e consolidare le seguenti competenze trasversali:
- capacità di lavoro di gruppo e di coordinamento, attraverso attività svolte in aula;
- gestione del tempo, attraverso lo svolgimento di prove di autovalutazione informatizzate aventi tempo stabilito.
Knowledge and understanding
By the end of the course, any student will be able to:
- remember the definition of holomorphic function and analytic function, discussing and proving their links;
- describe the definition and the properties of the integration of function of complex variable along curves and remember theoretical results on it;
- state and prove results on the integration of function (holomorphic and meromorphic) along closed curves;
- classify isolated singularities of functions of complex variable, either in topological term and with Laurent’s series;
- recognize, explain, and prove the properties of an abstract measure and of measurable functions;
- confrontare le definizioni di misura di sottoinsiemi di RN secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue;
- describe the notion of the Lebesgue integral and be able to compare the Riemann integral with the Lebesgue integral;;
- recognize and compare the different modes of convergence of sequences of functions;
- state, explain, and prove the main results on the passage of the limit under the sign of the integrale for sequences or series of functions;
- recognize an integral depending on a parameter and state and prove its continuity and differentiability properties.
Applied knowledge and understanding
By the end of the course, any student will be able to:
- analyze and classify the isolated singularities of functions of complex variable;
- use tools from complex analysis to compute definite or improper integral of functions of one real variable;
- discuss various types of convergence of a sequence of functions;
- carry out passages to the limit under the integral sign, by choosing the most effective methods;
- analyze and discuss the continuity and differentiability of integrals dependent on a parameter.
Autonomous assessments
By the end of the course, any student will be able to:
- build and develop logical arguments, by identifying clear assumptions and conclusions;
- support mathematical reasoning with rigorous argumentations;
- present, discuss, connect, and critically comment the main theoretical results illustrated in the course.
Communication skills
By the end of the course, any student will be able to:
- use an appropriate mathematical lexicon to talk on topics addressed in the course;
- present addressed topics in a clear and precise way to a specialized public, also respecting the time available.
Learning ability
At the end of this course any student will be able to analyze, interpret and evaluate autonomously mathematical texts and contents.
Transversal skills
The course, together with the activities, helps to train and consolidate the following transversal skills:
- teamwork and coordination skills, through activities carried out in the classroom;
- time management, by carrying out computerized self-assessment tests with a fixed time.
- Oggetto:
Programma
- Funzioni di variabile complessa
- Funzioni olomorfe ed equazioni di Cauchy-Riemann
- Integrazione di funzioni olomorfe lungo curve; teorema di Cauchy
- Formula dell’indice ed analiticità delle funzioni olomorfe
- Singolarità isolate e loro classificazione; teorema dei residui
- Teoria della misura e dell’integrazione
- Funzioni misurabili e loro proprietà
- Misure astratte
- Misura di sottoinsiemi del piano: la misura di Peano-Jordan e la misura di Lebesgue
- Integrale astratto di Lebesgue; confronto tra l’integrale di Lebesgue e l’integrale di Riemann
- Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale; modi di convergenza di una successione di funzioni
- Integrali dipendenti da un parametro
Il programma dettagliato dell’insegnamento sarà disponibile su Moodle.
- Function of complex
- Holomorphic functions and the Cauchy-Riemann equations
- Integration of holomorphic functions along curves; the Cauchy’s theorem
- Index formula and the analiticity of holomorphic functions
- Isolated singularities and their classifications; residue theorem
- Measure and integration theory
- Measurable functions and their properties
- Abstract measures
- Measure of subsets of the plane: the Peano-Jordan measure and the Lebesgue measure
- Lebesgue's abstract integral; comparison between the Lebesgue integral and the Riemann
- Theorems on the passage to the limit under the integral sign; modes of convergence of a sequence of functions
- Integral depending on a parameter
A detailed syllabus of the course will be available on Moodle.
- Funzioni di variabile complessa
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L’insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata.
Tutto il materiale relativo alle lezioni ed esercitazioni sarà reso disponibile sulla pagina Moodle del corso.
The course consists of 48 hours of lectures, usually divided into 2-hour sessions according to the academic calendar. Attendance is not mandatory but is strongly recommended.
All materials related to lectures and exercises will be made available on the course's Moodle page.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’insegnamento prevede due prove, una informatizzata ed una scritta, entrambe obbligatorie.
Le due prove devono essere sostenute e superate nello stesso appello d’esame; nel caso di non superamento della seconda prova, all’appello successivo bisogna sostenere nuovamente anche la prima prova.
Durante lo svolgimento delle prove non è consentito consultare libri, appunti e dispositivi elettronici.
La prova informatizzata prevede la risposta a domande, teoriche o applicative, lo svolgimento di semplici esercizi e l’analisi di alcune dimostrazioni. In accordo con i risultati dell’apprendimento attesi, essa è volta, tra l’altro, a valutare la conoscenza e la comprensione degli argomenti in programma, la capacità di applicazione di conoscenze e l’autonomia di giudizio, relativamente alla capacità di riconoscere e costruire argomenti logici e collegare e confrontare criticamente le nozioni apprese.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/32.
La prova scritta verte su tutti gli argomenti affrontati durante le lezioni e le esercitazioni e su quelli assegnati per lo studio autonomo (coerentemente con le capacità di apprendimento attese); essa mira, tra l’altro, alla valutazione dell’autonomia di giudizio, relativamente alla capacità di sostenere ragionamenti matematici con argomenti logici rigorosi, e all’accertamento delle capacità comunicative indicate nel paragrafo dei risultati attesi.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/32.
Il voto finale è la media dei due voti ottenuti (se maggiore o uguale di 30.5, la valutazione sarà di 30 e lode).
Nel caso di valutazione maggiore o uguale a 18, a richiesta dello/a studente/ssa o del docente, è prevista una prova integrativa orale facoltativa che può comportare l’alzamento o l’abbassamento del voto finale, e l’eventuale mancato superamento della prova d’esame.
E' possibile consegnare la prova scritta al più tre volte nell'anno accademico.
Studentesse e studenti degli anni accademici precedenti all’anno accademico 2023-2024 sostengono l’esame con il programma dell’anno accademico 2022-2023.
Studentesse e studenti con disabilità o con DSA sono invitati a mettersi in contatto con il docente ad inizio insegnamento, per concordare le modalità di apprendimento e di esame più adatte alla loro situazione.
Sono inoltre invitati a seguire le indicazioni d’Ateneo, reperibili a
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita
per ufficializzare la loro situazione.
The exam consists of two tests, a computerized test and a written test, both mandatory.
Both tests must be done and passed in the same exam session; in case of failure of the second test, in the next exam appeal, it is necessary to repeat the first test as well.
During the test students are not allowed to consult books, notes and electronic devices.
La computerized test consists in answering to some (theoretical or applied) multiple choice questions, in solving simple exercises and in analysing some proofs. In accordance with the expected learning outcomes, it is aimed, among other things, at evaluating the knowledge and understanding of the topics in the program, the ability to apply knowledge and the independence of judgment, in relation to the ability to recognize and build logical arguments and connect and critically compare the concepts learned.
The computerized test is passed if it is reached the score of at least 18/32.
La written exam is focuses on all the topics covered during lessons and classroom exercises and on those assigned for self-study (consistently with the expected learning skills); it aims, among other things, to evaluate independent judgement, in relation to the ability to support mathematical reasoning with rigorous logical arguments, and to ascertain the communication skills indicated in the paragraph on the expected results.
The written test is passed if it is reached the score of at least 18/32.
The final score is the mean of the scores obtained in the computerized and written tests (if the mean is greater than or equal to 30.5, the evaluation is 30 cum laude).
In the case of a grade equal to or higher than 18, upon request by the student or the instructor, it is possible to take an additional oral exam, which may result in an increase or decrease of the grade, or even in failing the exam.
It is possible to deliver the written test at most three times in the academic year.
Students from academic years before 2023-2024: the examination is with the program of the academic year 2022-2023.
Students with disabilities or with learning specific difficulties: students with disabilities or with learning specific difficulties are invited to contact the teacher at the beginning of the course, to agree upon the most suitable learning and examination methods for their situation.
They are also invited to follow the directions of the University, which can be found at
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supporto-agli-studenti-con
https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disabilita
to formalize their situation.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Real and complex analysis
- Anno pubblicazione:
- 2001
- Editore:
- McGraw Hill International Editions
- Autore:
- Walter Rudin
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Esercizi svolti di analisi reale e funzionale
- Anno pubblicazione:
- 2021
- Editore:
- Società editrice Esculapio
- Autore:
- Matteo Muratori, Fabio Punzo, Nicola Soave
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Complex variables
- Anno pubblicazione:
- 2009
- Editore:
- Schaum's outilne series
- Autore:
- Murray R. Spiegel & al
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Real Analysis.
- Anno pubblicazione:
- 1999
- Editore:
- A Wiley interscience publication
- Autore:
- Gerald B. Folland
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Orario lezioni
- Oggetto:
