- Oggetto:
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Geometria 4
- Oggetto:
Geometry 4
- Oggetto:
Anno accademico 2023/2024
- Codice attività didattica
- MAT0300
- Docente
- Elena Martinengo (Titolare)
- Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Orale
- Prerequisiti
-
Gli insegnamenti di geometria 1,2,3.
Geometry 1, Geometry 2 and Geometry 3. - Propedeutico a
-
L'insegnamento è consigliato a chi intenda seguire un percorso di Geometria nella Laurea Magistrale in Matematica.
This course is recommended for those who are willing to enrol in a Master's degree in Geometry. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento sviluppa, per circa metà del corso, la teoria dei rivestimenti topologici con applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Si continua quindi con il Teorema di Seifert-Van Kampen ed ulteriori applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Un'applicazione importante sarà il calcolo del gruppo fondamentale e del suo abelianizzato per tutte le superfici topologiche connesse e compatte.
Tutti questi argomenti sono di estrema importanza per intraprendere ogni tipo di ulteriore studio delle strutture gemetriche algebro-differenziali.
L'ultima parte dell'insegnamento è un'introduzione allo studio delle curve algebriche piane, ai loro punti lisci e singolari e dei principali e elementari teoremi che le descrivono. Questa introduzione ha lo scopo di avvicinare il pubblico al linguaggio e ai primi concetti della geometria algebrica.
La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia generale ed algebrica.
In particolare, l'insegnamento prevede:
- obiettivi formativi teorici: sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti, teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia generale e algebrica.
- obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.
The course develops, in a first half part, the basic concepts of the theory of covering spaces in algebraic topology, with application to computing the fundamental group of a sufficiently general topological space. Then the course will go on treating the Seifert-Van Kampen Theorem with further application to the computation of the fundamental group. A very important application will be computing the fundamental group and its abelianization, for every compact and connected topological suface.
All these arguments are extremely important for every further study of algebraic and differential geometric structures.
The last part of the course is an introduction to the study of algebraic curves, their smooth and singular points and of the main and elementary theorems that descrive them. The aim is also to introduce the student to the language and the first concepts in algebraic geometry.
The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of general and algebraic topology.
In particular, the course will provide:
- theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to general and algebraic topology
- applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in the class.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Si acquisiranno:
1. consapevolezza del ruolo della topologia in matematica,
2. un consistente bagaglio di tecniche per il calcolo del più basilare invariante topologico dato dal gruppo fondamentale,
3. conoscenza basilare della teoria delle curve piane, punti lisci e singolari, coniche e cubiche piane.
4. dimestichezza con i primi concetti di geometria algebrica elementare.
The student shall aquire1. Knowledge about topology and its role in mathematics
2. knowledge of a significant number of techniques for computing the most basic topological invariant given by the fundamental group
3. basic knowledge of the teory of algebraic plane curves, smooth and singular points, plane conics and cubics. 4. basic skills in the first concepts of algebraic geometry.- Oggetto:
Programma
1. Rivestimenti topologici
2. Sollevamento di cammini ed omotopie
3. G-rivestimenti
4. Trasformazioni di ricoprimenti
5. Gruppo fondamentale ed omotopia (richiami)
6. Rivestimenti e gruppo fondamentale
7. Rivestimento universale
8. Sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti associati
9. Teorema di Seifert-Van Kampen
10. Insiemi algebrici e ideali di un insieme algebrico, topologia di Zariski, legame ideali (primi) – insiemi algebrici (irriducibili), teorema degli zeri di Hilbert, definizione di varietà algebrica affine.
11. Varietà algebriche affini, mappe regolari e spazio tangente.
12. Spazio proiettivo, varietà algebriche proiettive, chiusura proiettiva.
13. Curve algebriche piane, punti lisci, punti di flesso, punti singolari, proprietà.
14. Risultante e teorema di Bèzout, dimostrazione.
1. Covering spaces
2. Lifting pats and homotopies
3. G-coverings
4. Covering transformations
5. Fundamental group and homotopy (recalls)
6. Coverings and fundamental group
7. Universal covering
8. Subgroups of the fundamental group and associated coverings
9. Seifert-Van Kampen thoerem
10. Algebraic sets and their ideals, Zariski topology, link between (prime) ideal and (irreducible) algebraic sets, Hilberts Nullstellensatz, definition of algebraic variety.
11. Affine algebraic varieties, regular maps and tangent space.
12. Projective space, projective algebraic varieties, projective closure.
13. Resultant and Bezout theorem.
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale in presenza con lo svolgimento di esercizi eventualmente da parte del pubblico.
The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching in person with proposal of some exercises.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova orale in presenza. Consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso dell'insegnamento e lo svolgimento di esercizi relativi agli argomenti trattati. La valutazione avverrà mediante un voto espresso in trentesimi.Final oral exam in presence. Questions dealing with the theory and the proofs of some of the main results and exercises. The evaluation will be given by means of a vote expressed out of thirty.- Oggetto:
Attività di supporto
L'insegnamento non prevede attività di tutorato.L'insegnamento non prevede attività di tutorato.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"
W. Fulton "Algebraic Topology"
C. Kosniowsky "Introduzione alla topologia algebrica"
I. Félix, D. Tanré "Topologie Algérique"
J.J. Rotman "An introduction to algebraic topology"
W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US.
M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.
F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"
W. Fulton "Algebraic Topology"
C. Kosniowsky "A first course in algebraic topology"
I. Félix, D. Tanré "Topologie Algérique"
J.J. Rotman "An introduction to algebraic topology"
W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US.
M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.
- Oggetto:
Insegnamenti che mutuano questo insegnamento
- Geometria 4 (MAT0300)Laurea magistrale in Matematica
- Oggetto:
Altre informazioni
http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/home.pl/View?doc=Orario_LT.html- Oggetto:
Orario lezioni
- Registrazione
- Aperta
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