- Oggetto:
- Oggetto:
Matematiche complementari: concetti e metodi
- Oggetto:
COMPLEMENTARY MATHEMATICS: CONCEPTS AND METHODS
- Oggetto:
Anno accademico 2024/2025
- Codice attività didattica
- MAT0298
- Docente
- Ornella Robutti (Titolare)
- Corso di studio
- Laurea in Matematica
- Anno
- 2° anno
- Periodo
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- MAT/04 - matematiche complementari
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto e Orale
- Tipologia unità didattica
- modulo
- Prerequisiti
-
Conoscenze dei concetti base degli insegnamenti del primo anno, in modo particolare analisi, geometria, algebra.
Knowledge of the basic concepts of the first year courses, in particular calculus, geometry, algebra. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Avvisi
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Conoscere e comprendere concetti e metodi della matematica di base
Applicare le conoscenze su concetti e metodi per spiegare, analizzare, produrre dimostrazioni e per contestualizzare teoricamente i risultati nei sistemi assiomatici
Comprendere le criticità di concetti (es. dimensione) e metodi (es. dimostrazione) della matematica di base, la natura di concetti che mettono in evidenza tali criticità (es. dimensione frattale)
Valutare gli aspetti didattici dell’introduzione dei sistemi assiomatici a diversi livelli teorici
Knowing and understanding basic mathematics concepts and methods
Applying knowledge on concepts and methods to explain, analyze, produce proofs and to theoretically contextualize the results in axiomatic systems
Understanding the criticalities of concepts (e.g. dimension) and methods (e.g. proof) of basic mathematics, the nature of concepts that highlight these criticalities (e.g. fractal dimension)
Evaluating the didactic aspects of the introduction of axiomatic systems at different theoretical levels- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Conoscere e comprendere:
- concetti di base come: sistema assiomatico, dimostrazione, continuità, numero reale, misura, perimetro, area, dimensione
- metodi della matematica di base: metodi dimostrativi nel sistema assiomatico di Hilbert, in geometria e in analisi
CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Applicare concetti e metodi della matematica di base in contesti classici e in contesti nuovi, che mettono in crisi la matematica di base
AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Analisi critica dei concetti e metodi della matematica di base per comprendere difficoltà, criticità e anomalie (es. deduzione, continuità, dimensione)
Elaborazione di concettualizzazioni critiche su:
- deduzione, induzione, abduzione
- funzioni con criticità rispetto alla continuità
- curve con dimensioni non intere (insieme di Cantor, triangolo di Sierpinski, triangolo di Pascal, curva di Koch, triangoli pitagorici, frattali)
ABILITÀ COMUNICATIVE
Leggere, interpretare, produrre definizioni, rappresentazioni, metodi, dimostrazioni in diversi registri comunicativi
CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO
Apprendere terminologia, metodi rappresentativi e dimostrativi degli approcci teorici alla matematica
KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
Knowing and understanding:
- basic concepts such as: axiomatic system, proof, continuity, real number, measure, perimeter, area, dimension
- methods of basic mathematics: proving methods in Hilbert's axiomatic system, in geometry and in analysis
APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
Applying concepts and methods of basic mathematics in classical contexts and in new contexts, which undermine basic mathematics
INDEPENDENT JUDGEMENT
Critical analysis of the concepts and methods of basic mathematics to understand difficulties, criticalities and anomalies (e.g. deduction, continuity, dimension)
Elaboration of critical conceptualizations on:
deduction, induction, abduction
functions with criticality with respect to continuity
curves with non-integer dimensions (Cantor set, Sierpinski triangle, Pascal triangle, Koch curve, Pythagorean triangles, fractals)
COMMUNICATION SKILLSReading, interpreting, producing definitions, representations, methods, demonstrations in different communicative registers
LEARNING SKILLS
Learning terminology, representative and demonstrative methods of theoretical approaches to mathematics
- Oggetto:
Programma
PARTE 1
Il concetto di sistema assiomatico (coerenza, indipendenza, completezza)
Il concetto di dimostrazione (ipotesi, tesi, passaggi intermedi)
Assiomi di: incidenza, ordine, congruenza, parallelismo nel sistema di Hilbert. Concetti di: punti, rette, semirette, segmenti, angoli, triangoli, conngruenza, quadrilateri, parallelogrammi, similitudine
Metodi dimostrativi nel sistema assiomatico di Hilbert. In particolare: il metodo della dimostrazione per assurdo. Applicazioni: teoremi dimostrati per assurdo e loro risultati (es. teorema del punto medio di un segmento)
Non tutto è deduzione - metodi per la scoperta matematica: induzione e abduzione
Ruolo di induzione ed abduzione nell’esplorazione di nuovi risultati matematici
PARTE 2
Il concetto di continuità (alla Euclide, alla Archimede, alla Cantor, alla Dedekind)
Il concetto di numero reale (approccio geometrico e analitico)
Il concetto di misura (misure di segmenti e angoli)
Assiomi di continuità (elementare, circolare, di Archimede, di Aristotele, di Hilbert)
Metodi dimostrativi in geometria e in analisi. Applicazioni: analisi critica delle dimostrazioni e dei risultati di teoremi basati sulla continuità (es. teorema di esistenza degli zeri)
Non tutto è continuo – metodi per studiare “mostri” matematici (es. funzione di Dirichlet)
Ruolo dei “mostri” nello studio delle funzioni
PARTE 3
Il concetto di perimetro
Il concetto di area
Il concetto di misura (misure di perimetri e aree)
Definizione di dimensione e sue applicazioni alla geometria
Metodi dimostrativi in geometria e analisi. Applicazioni: analisi critica delle dimostrazioni e dei risultati di teoremi basati sulla determinazione di aree e perimetri (es. teorema di Pitagora)
Non tutto ha un’area o un perimetro – concetto di dimensione di Hausdorff e sue conseguenze sulle figure geometriche (oggetti frattali)
Nuove figure e loro specificità matematiche:
- insieme di Cantor
- triangolo di Sierpinski
- triangolo di Pascal
- curva di Koch
- triangoli pitagorici
- frattali
Ruolo delle nuove figure nella scienza
PART 1
The concept of an axiomatic system (coherence, independence, completeness)
The concept of proof (hypothesis, thesis, intermediate steps)
Axioms of: incidence, order, congruence, parallelism in the Hilbert system. Concpets of: points, lines, half lines, segments, angles, triangles, quadrilaterals, parallelograms, similitude
Proving methods in Hilbert's axiomatic system. In particular: the method of proof by absurd. Applications: theorems proved by absurd and their results (e.g. midpoint theorem of a segment)
Not everything is deduction - methods for mathematical discovery: induction and abduction
Role of induction and abduction in the exploration of new mathematical results
PART 2
The concept of continuity (to Euclid, to Archimede, to Cantor, to Dedekind)
The concept of real number (geometric and analytical approach)
The concept of measurement (measurements of segments and angles)
Axioms of continuity (elementary, circular, Archimedes, Aristotle, Hilbert)
Proving methods in geometry and in analysis. Applications: critical analysis of proofs and results of continuity-based theorems (e.g. theorem of existence of zeros)
Not everything is continuous - methods for studying mathematical "monsters" (eg Dirichlet function)
Role of "monsters" in the study of functions
PART 3
The concept of perimeter
The concept of area
The concept of measurement (measurements of perimeters and areas)
Definition of dimension and its applications to geometry
Proving methods in geometry and analysis. Applications: critical analysis of the proofs and results of theorems based on the determination of areas and perimeters (e.g. Pythagorean theorem)
Not everything has an area or a perimeter - Hausdorff's concept of dimension and its consequences on geometric figures (fractal objects)
New figures and their mathematical specificities:
- Cantor set
- Sierpinski triangle
- Pascal's triangle
- Koch curve
- Pythagorean triangles
- fractals
Role of the new figures in science
- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Lezione frontale, lezione dialogata, lavori di gruppo, discussioni, project work.
Lecture, dialogic lecture, group works, discussions, project work.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
La prova scritta è costituita da uno/due esercizi sui contenuti dell’insegnamento (40%).
La prova orale consiste in due domande sui contenuti dell’insegnamento (60%).
Written exam: one/two exercises on the topics of the course (40%).
Oral exam: two questions on the topics of the course (60%).
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Attività di supporto
Piattaforma Moodle con materiale teorico e di esercizi. Tutoraggio. Materiali per la valutazione formativa: domande aperte, domande chiuse, domande a risposta multipla.
Moodle platform with theory and exercises. Tutoring. Resources for formative assessment: open questions, close questions, multiple choice questions.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
Arsac, G. (1998). L’axiomatique de Hilbert et l’enseignement de la géometrie au Collège et au Lycée. Aléas. IREM de Lyon.
Euclide (1970). Gli Elementi (traduz. italiana a cura di A. Frajese e L. Maccioni). UTET.
Greenberg, M.J. (1974). Euclidean and Non-Euclidean Geometries, second edition. Freeman & Company.
Hilbert, D. (2009). Fondamenti della geometria con i Supplementi di Paul Bernays. Franco Angeli.
Lolli, G. (2016). Tavoli, sedie, boccali di birra. David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.
Peitgen, H. O., Jürgens, H., & Saupe, D. (2013). Fractals for the classroom: part one introduction to fractals and chaos. Springer Science & Business Media.
Peitgen, H. O., Jürgens, H., Saupe, D., & Feigenbaum, M. J. (2004). Chaos and fractals: new frontiers of science (second edition). Springer.
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