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Oggetto:
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Matematiche complementari: concetti e metodi

Oggetto:

COMPLEMENTARY MATHEMATICS: CONCEPTS AND METHODS

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0298
Docente
Prof.ssa Ornella Robutti (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/04 - matematiche complementari
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Conoscenze dei concetti base degli insegnamenti del primo anno, in modo particolare analisi, geometria, algebra.


Knowledge of the basic concepts of the first year courses, in particular calculus, geometry, algebra.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Conoscere e comprendere concetti e metodi della matematica di base

Applicare le conoscenze su concetti e metodi per spiegare, analizzare, produrre dimostrazioni e per contestualizzare teoricamente i risultati nei sistemi assiomatici

Comprendere le criticità di concetti (es. dimensione) e metodi della matematica di base la natura di concetti che mettono in evidenza tali criticità (es. dimensione frattale)

Valutare gli aspetti didattici dell’introduzione dei sistemi assiomatici a diversi livelli teorici


Knowing and understanding basic mathematics concepts and methods


Applying knowledge on concepts and methods to explain, analyze, produce proofs and to theoretically contextualize the results in axiomatic systems


Understanding the criticalities of concepts (e.g. dimension) and methods of basic mathematics the nature of concepts that highlight these criticalities (e.g. fractal dimension)


Evaluating the didactic aspects of the introduction of axiomatic systems at different theoretical levels

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE

Conoscere e comprendere:

- concetti di base come: sistema assiomatico, dimostrazione, continuità, numero reale, misura, perimetro, area

- metodi della matematica di base: metodi dimostrativi nel sistema assiomatico di Hilbert, in geometria e in analisi

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE

Applicare concetti e metodi della matematica di base in contesti classici e in contesti nuovi, che mettono in crisi la matematica di base

AUTONOMIA DI GIUDIZIO

Analisi critica dei concetti e metodi della matematica di base per comprendere difficoltà, criticità e anomalie (es. deduzione, continuità, dimensione)

Elaborazione di concettualizzazioni critiche su:

  • deduzione, induzione, abduzione
  • funzioni con criticità rispetto alla continuità
  • curve con dimensioni non intere (insieme di Cantor, triangolo di Sierpinski, triangolo di Pascal, curva di Koch, triangoli pitagorici, frattali)

ABILITÀ COMUNICATIVE

Leggere, interpretare, produrre definizioni, rappresentazioni, metodi, dimostrazioni in diversi registri comunicativi

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO

Apprendere terminologia, metodi rappresentativi e dimostrativi degli approcci teorici alla matematica

KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING

Knowing and understanding:

- basic concepts such as: axiomatic system, proof, continuity, real number, measure, perimeter, area

- methods of basic mathematics: proving methods in Hilbert's axiomatic system, in geometry and in analysis

APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING

Applying concepts and methods of basic mathematics in classical contexts and in new contexts, which undermine basic mathematics

INDEPENDENT JUDGEMENT

Critical analysis of the concepts and methods of basic mathematics to understand difficulties, criticalities and anomalies (e.g. deduction, continuity, dimension)

Elaboration of critical conceptualizations on:

deduction, induction, abduction
functions with criticality with respect to continuity
curves with non-integer dimensions (Cantor set, Sierpinski triangle, Pascal triangle, Koch curve, Pythagorean triangles, fractals)


COMMUNICATION SKILLS

Reading, interpreting, producing definitions, representations, methods, demonstrations in different communicative registers

LEARNING SKILLS

Learning terminology, representative and demonstrative methods of theoretical approaches to mathematics

 

Oggetto:

Programma

PARTE 1

Il concetto di sistema assiomatico (coerenza, indipendenza, completezza)

Il concetto di dimostrazione (ipotesi, tesi, passagi intermedi)

Assiomi di: incidenza, ordine, congruenza, parallelismo nel sistema di Hilbert (punti, rette, semirette, segmenti, angoli, triangoli, quadrilateri, parallelogrammi, similitudine)

Metodi dimostrativi nel sistema assiomatico di Hilbert. In particolare: il metodo della dimostrazione per assurdo. Applicazioni: teoremi dimostrati per assurdo e loro risultati (es. teorema del punto medio di un segmento)

Non tutto è deduzione - metodi per la scoperta matematica: induzione e abduzione

Ruolo di induzione ed abduzione nell’esplorazione di nuovi risultati matematici

PARTE 2

Il concetto di continuità (alla Euclide, alla Archimede, alla Cantor, alla Dedekind)

Il concetto di numero reale (approccio geometrico e analitico)

Il concetto di misura (misure di segmenti e angoli)

Assiomi di continuità (elementare, circolare, di Archimede, di Aristotele, di Hilbert)

Metodi dimostrativi in geometria e in analisi. Applicazioni: analisi critica delle dimostrazioni e dei risultati di teoremi basati sulla continuità (es. teorema di esistenza degli zeri)

Non tutto è continuo – metodi per studiare “mostri” matematici (es. funzione di Dirichlet)

Ruolo dei “mostri” nello studio delle funzioni

PARTE 3

Il concetto di perimetro

Il concetto di area

Il concetto di misura (misure di perimetri e aree)

Definizione di dimensione e sue applicazioni alla geometria

Metodi dimostrativi in geometria e analisi. Applicazioni: analisi critica delle dimostrazioni e dei risultati di teoremi basati sulla determinazione di aree e perimetri (es. teorema di Pitagora)

Non tutto ha un’area o un perimetro – concetto di dimensione di Hausdorff e sue conseguenze sulle figure geometriche (oggetti frattali)

Nuove figure e loro specificità matematiche:

- insieme di Cantor

- triangolo di Sierpinski

- triangolo di Pascal

- curva di Koch

- triangoli pitagorici

- frattali

Ruolo delle nuove figure nella scienza

PART 1

The concept of an axiomatic system (coherence, independence, completeness)

The concept of proof (hypothesis, thesis, intermediate steps)

Axioms of: incidence, order, congruence, parallelism in the Hilbert system (points, lines, half lines, segments, angles, triangles, quadrilaterals, parallelograms, similitude)

Proving methods in Hilbert's axiomatic system. In particular: the method of proof by absurd. Applications: theorems proved by absurd and their results (e.g. midpoint theorem of a segment)

Not everything is deduction - methods for mathematical discovery: induction and abduction

Role of induction and abduction in the exploration of new mathematical results

PART 2

The concept of continuity (to Euclid, to Archimede, to Cantor, to Dedekind)

The concept of real number (geometric and analytical approach)

The concept of measurement (measurements of segments and angles)

Axioms of continuity (elementary, circular, Archimedes, Aristotle, Hilbert)

Proving methods in geometry and in analysis. Applications: critical analysis of proofs and results of continuity-based theorems (e.g. theorem of existence of zeros)

Not everything is continuous - methods for studying mathematical "monsters" (eg Dirichlet function)

Role of "monsters" in the study of functions

PART 3

The concept of perimeter

The concept of area

The concept of measurement (measurements of perimeters and areas)

Definition of dimension and its applications to geometry

Proving methods in geometry and analysis. Applications: critical analysis of the proofs and results of theorems based on the determination of areas and perimeters (e.g. Pythagorean theorem)

Not everything has an area or a perimeter - Hausdorff's concept of dimension and its consequences on geometric figures (fractal objects)

New figures and their mathematical specificities:

- Cantor set

- Sierpinski triangle

- Pascal's triangle

- Koch curve

- Pythagorean triangles

- fractals

Role of the new figures in science

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezione frontale, lezione dialogata, lavori di gruppo, discussioni.

Il corso si svolgerà in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

Lecture, dialogic lecture, group works, discussions.

The course will take place in the presence, except for exceptions, in accordance with the provisions of the university.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova scritta è costituita da uno/due esercizi sui contenuti dell’insegnamento (40%).

La prova orale consiste in due domande sui contenuti dell’insegnamento (60%).

Le prove di esame saranno effettuate in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

Written exam: one/two exercises on the topics of the course (40%).

Oral exam: two questions on the topics of the course (60%).

The exams will be carried out in the presence, except for exceptions, in accordance with the provisions of the university.

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Attività di supporto

Piattaforma Moodle con materiale teorico e di esercizi. Tutoraggio. Materiali per la valutazione formativa: domande aperte, schede MERLO.

Moodle platform with theory and exercises. Tutoring. Resources for formative assessment: open questions, MERLO items.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

Arsac, G. (1998). L’axiomatique de Hilbert et l’enseignement de la géometrie au Collège et au Lycée. Aléas. IREM de Lyon.

Euclide (1970). Gli Elementi (traduz. italiana a cura di A. Frajese e L. Maccioni). UTET.

Greenberg, M.J. (1974). Euclidean and Non-Euclidean Geometries, second edition. Freeman & Company.

Hilbert, D. (2009). Fondamenti della geometria con i Supplementi di Paul Bernays. Franco Angeli.

Lolli, G. (2016). Tavoli, sedie, boccali di birra. David Hilbert e la matematica del Novecento. Raffaello Cortina Editore.

Peitgen, H. O., Jürgens, H., & Saupe, D. (2013). Fractals for the classroom: part one introduction to fractals and chaos. Springer Science & Business Media.

Peitgen, H. O., Jürgens, H., Saupe, D., & Feigenbaum, M. J. (2004). Chaos and fractals: new frontiers of science (second edition). Springer.

 



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    Ultimo aggiornamento: 23/09/2022 18:23

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