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Oggetto:
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Geometria 1 (COGNOMI L-Z)

Oggetto:

GEOMETRY 1

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MAT0276
Docenti
Prof. Luigi Vezzoni (Titolare del corso)
Riccardo Moschetti (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
1° anno
Periodo
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

L'insegnamento non ha prerequisiti, salvo le nozioni di base di matematica dalla scuola superiore.


The course has no prerequisites, except for the basic notions in Mathematics from high school.
Propedeutico a

Tutti gli insegnamenti della Laurea in Matematica.


All the teachings of the degree in Mathematics.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, scopo dell'insegnamento è di fornire agli studenti gli elementi di base dell'algebra lineare e della geometria analitica, che saranno poi utilizzati in buona parte degli studi successivi.
La struttura teorica dell'insegnamento consiste nello sviluppo delle tematiche del programma, mediante l'introduzione di concetti fondamentali e lo sviluppo di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, affiancati da esempi significativi, esercizi e applicazioni.
In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti, strutture algebriche, teoremi e relative dimostrazioni, inerenti all'algebra lineare e alla geometria; 
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

Consistently with the training objectives of the Study Course provided by the SUA-CdS plan, the aim of the course is to furnish the students with the basic notions of linear algebra and analytic geometry, which will be used in most of the following studies.
The theoretical structure of the course is the development of the topics of the program, through the introduction of fundamental concepts and the development of a series of theorems and proofs, supported by meaningful examples, exercises and applications.
In particular, the course has:

  •  theoretical aims: development of a rigorous mathematical language; acquisition of abstract concepts, algebraic structures, theorems and proofs, pertaining to linear algebra and geometry;
  • applied aims: acquistion of calculus techniques; problem solving skills both in standard exercises and in new problems, where it is necessary to elaborate autonomously a strategy and apply the notions of the course, or to elaborate a small proof similar to the ones seen at the lectures.
Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

CONOSCENZA E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Le/gli studenti dovranno conoscere i contenuti fondamentali di algebra lineare e geometria analitica.

CAPACITÀ DI APPLICARE CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Le/gli studenti dovranno saper applicare le proprietà  delle matrici  e degli  spazi vettoriali a esercizi anche complessi.

AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Le/gli studenti dovranno saper opportunamente scegliere le proprietà da utilizzare per la risoluzione di esercizi e problemi.

ABILITÀ COMUNICATIVE
Le/gli studenti dovranno essere in grado di esporre in modo chiaro gli enunciati di proposizioni e teoremi, distinguendo con sicurezza ipotesi e tesi. Dovranno inoltre saper esporre con coerenza i passaggi logici delle dimostrazioni.

CAPACITÀ DI APPRENDIMENTO
Le/gli studenti dovranno acquisire la capacità di leggere e comprendere, distinguendo con sicurezza ipotesi e tesi, proposizioni e teoremi, anche diversi da quelli svolti nel programma.

KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The students  will have to know he fundamental topics of linear algebra and analytic geometry.

APPLYING KNOWLEDGE AND UNDERSTANDING
The students will be able  to apply the properties of  matrices and vector spaces to even complex exercises.

INDEPENDENT JUDGEMENT
The students must be able to suitably choose the properties to be used for solving exercises and problems.

COMMUNICATION SKILLS
The students must be able to clearly explain the statements of propositions and theorems, distinguishing with certainty hypothesis and thesis. They will also have to be able to consistently explain the logical steps of the demonstrations.

LEARNING SKILLS
Students must acquire the ability to read and understand, distinguishing with certainty hypotheses and theses, propositions and theorems, even different from those developed in the program.

Oggetto:

Programma

Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: traccia, rango e operazioni con le matrici. Determinante, minori, regola di Laplace. Teorema di Rouché-Capelli.

Vettori geometrici applicati e liberi nello spazio, equipollenza; coordinate affini e cartesiane nello spazio.

Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare; basi e dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato.  Formula di Grassmann; somma diretta di sottospazi.

Applicazioni lineari e matrici associate. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un'applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di spazi vettoriali. Teorema di nullità più rango.

Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; matrici simili; polinomio caratteristico. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione.

Prodotto scalare standard in Rn, angoli e norme. Prodotto vettoriale in R3, prodotto misto.

Prodotti scalari su spazi vettoriali reali, spazi vettoriali euclidei: angoli, ortogonalità e lunghezze; basi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt; complemento ortogonale, proiezione ortogonale. Isometrie lineari e matrici ortogonali. Endomorfismi autoaggiunti e teorema spettrale; applicazioni alle matrici simmetriche reali. 

Prodotto hermitiano standard su Cn e prodotti hermitiani su spazi vettoriali complessi. Basi ortonormali, procedimento di Gram-Schmidt. Isometrie lineari e matrici unitarie. Endomorfismi autoaggiunti, matrici hermitiane, cenni sul teorema spettrale complesso.

Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione lineare trasposta. Forme bilineari simmetriche e forme quadratiche: matrici associate, matrici congruenti. diagonalizzazione di una forma quadratica su un campo arbitrario di caratteristica diversa da 2 (teorema di Lagrange), su un campo algebricamente chiuso (in particolare i complessi) e sul campo dei numeri reali. Forme quadratiche reali: segnatura e teorema di Sylvester; forme semidefinite, definite e indefinite.

Cenni di geometria affine in Rn: sottospazi affini, dimensione, giacitura, parallelismo; descrizione parametrica o per equazioni di un sottospazio affine; relazione con i sistemi lineari. Affinità e rototraslazioni. Cambiamenti di coordinate nello spazio.

Geometria analitica nel piano e nello spazio: rette, piani, sfere, circonferenze. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche: forma canonica e riduzione a forma canonica.

 

Linear systems: resolution with the Gauss reduction method. Matrices: trace, rank and operations with matrices. Determinant, minors, Laplace's rule. Theorem of Rouché-Capelli.

Applied and free geometrical vectors in the space, equipollence; affine and cartesian coordinates in the space.

Vector spaces over a field K: definition, linear subspaces. Sum and intersection of linear subspaces. Generators, linear dependence and independence, basis and dimensions of finitely generated vector spaces. Grassmann formula; direct sum of subspaces.

Linear maps, matrices associated to linear maps. Image and inverse image of subspaces, kernel and image of a linear map. Isomorphisms of linear spaces. Relation between the rank and the dimension of the kernel.

Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of an endomorphism. Characteristic polynomial, direct sum of eigenspaces. Diagonalizable endomorphisms and matrices. Diagonalization criteria.

Standard scalar product in Rn, norm, angles. Vector product in R3, mixed product.

Scalar products on real vector spaces, euclidean vector spaces: angles, orthogonality and lengths; orthonormal bases, Gram-Schmidt process; orthogonal complement, orthogonal projection. Linear isometries and orthogonal matrices. Self-adjoint endomorphisms and spectral theorem; applications to real symmetric matrices.

Standard hermitian product on Cn and hermitian products on complex vector spaces. Orthonormal bases, Gram-Schmidt process.  Linear isometries and unitary matrices. Self-adjoint endomorphisms, hermitian matrices, hints on the complex spectral theorem.

Linear and bilinear forms. Linear forms and dual space. Bidual space, canonical isomorphism and transpose of a linear map. Symmetric bilinear forms and quadratic forms: associated matrices, congruent matrices. Diagonalization of a quadratic form on an arbitrary field of characteristic different from 2 (Lagrange theorem), on an algebraically closed field (in particular the complex numbers), on the field of real numbers. Real quadratic forms: signature and Sylvester theorem; semidefinite, definite and indefinite forms.

A brief discussion about affine geometry in Rn: affine subspaces, dimension, direction, parallel subspaces; description of an affine subspace via parameters or via equations; relation with linear systems. Affine transformations, direct congruences. Changes of coordinates in the space.

Analytic geometry in plane and space: lines, planes spheres and circles. Reciprocal positions, distances and angles between lines and planes. Conics: canonical form and reduction to canonical form. 

 

Oggetto:

Modalità di insegnamento

L'insegnamento è semestrale e consiste in 12 CFU di didattica, articolate in 72 ore di lezioni e 24 ore di esercitazioni.

Per l'a.a. 2022-23 i corsi si svolgeranno esclusivamente in presenza e lo streaming non sarà permesso salvo eccezioni.

The course is in one semester and consists of 12 CFU, articulated in 72 hours of lectures and 24 hours of exercise sessions.

For the academic year 2022-23 the courses will take place exclusively in presence. The streaming will not be allowed, with some exeptions.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta consiste di esercizi da risolvere e domande di teoria. 

Gli esami si svolgeranno esclusivamente in presenza salvo eccezioni.

Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame (estiva, autunnale o invernale) in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

La prova orale consiste in domande relative al programma del corso, comprese le dimostrazioni svolte a lezione.

Per maggiori dettagli e per i testi delle prove scritte degli anni passati si rimanda alla pagina web del corso su moodle.  

The written examination consists in exercises to solve and questions about the theory. 

For admission to the oral examination, it is necessary to have got a grade of at least 18/30 at the written examination. The oral examination must be taken at the same session (summer, fall or winter) of the written examination.  If a student fails the oral examination, he must repeat also the written examination.

The oral examination consists of an interview on the program of the course, including proofs carried out in class.

The exams will take place exclusively in presence, unless otherwise specified.

For more details, and for the written examinations of the previous years, please see the course webpage on moodle.

Oggetto:

Attività di supporto

L'insegnamento prevede diverse attività di supporto (consigliate ma non obbligatorie), quali:

  • assegnazione periodica di fogli di esercizi da svolgere a casa (via moodle), da consegnare al tutore che corregge gli esercizi (senza valutarli). Il tutore, di solito uno studente della Laurea Magistrale in Matematica, incontra gli studenti per restituire i fogli di esercizi corretti e discutere gli esercizi proposti;
  • attività di autovalutazione formativa in itinere su piattaforma moodle.

Tutte le informazioni relative alle attività di supporto saranno pubblicate sulla pagina web del corso su moodle.

The course includes various support activities (strongly recommended, but not mandatory), such as:

  • periodic assignment of a homework sheet of exercises (via moodle), to be given to the tutor who cottects them (without grading). The tutor, usually a senior student in Mathematics, meets the students to return the corrected sheets and to discuss the exercises;
  • ongoing training self-assessment activities on the moodle platform.

All information relating to support activities will be published on the course webpage on moodle.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Algebra Lineare e Geometria Analitica, Volumi 1 (teoria) e 2 (esercizi)
Anno pubblicazione:  
2021
Editore:  
Aracne
Autore:  
E. Abbena, A.M. Fino, G.M. Gianella
Capitoli:  
Tutti
Obbligatorio:  
No
Oggetto:


Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (anche nella versione originale in inglese Linear Algebra, edito da Springer)

 

Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer 1986

H.Anton, C.Rorres,  Elementary Linear Algebra: Applications, Wiley 2010

In linea generale ogni testo di algebra lineare può essere utilizzato come supporto alla preparazione del corso. Si consiglia caldamente la consultazione di più volumi, anche in lingua inglese, oltre ai testi di riferimento.


Lang, Algebra Lineare, Bollati Boringhieri, 2008 (also in the original English version Linear Algebra, published by Springer)

 

Lang, Introduction to Linear Algebra, Springer 1986

H. Anton, C.  Rorres,   Elementary Linear Algebra: Applications, Wiley 2010

Overall every text in linear algebra can be used as a support for the course. We recommend the students to look at several textbooks, besides the main references.



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    Ultimo aggiornamento: 26/09/2022 09:45

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