Corso di laurea in matematica

L'analisi numerica studia metodi e algoritmi necessari per affrontare problemi reali complessi con l'ausilio del calcolatore. Per questo risulta indispensabile alla preparazione di base di un matematico moderno. L'obiettivo dell'insegnamento è quello di fornire metodi e tecniche di base della matematica numerica e del calcolo scientifico, con particolare riferimento alla risoluzione numerica di sistemi lineari, equazioni non lineari ed equazioni differenziali ordinarie, all'interpolazione e approssimazione di dati, e all'integrazione numerica.

Al termine dell'insegnamento, le e gli sudenti dovrebbero essere in grado di:

• descrivere e applicare i fondamenti dell'aritmetica di macchina e dei metodi numerici di base per il calcolo scientifico, in particolare per la risoluzione numerica di sistemi lineari, equazioni non lineari ed equazioni differenziali ordinarie, l'interpolazione e approssimazione di dati, e l'integrazione numerica;
• in contesti teorici e computazionali;
• analizzare criticamente le problematiche legate alla risoluzione numerica di problemi matematici implementati su calcolatori che operano in aritmetica finita;
• progettare, implementare e valutare algoritmi numerici, con particolare attenzione alla stima e al controllo degli errori, in ambienti di calcolo scientifico;
• utilizzare in modo autonomo software scientifici per la risoluzione numerica di problemi matematici, con riferimento specifico al linguaggio e all'ambiente MATLAB;
• scegliere in modo consapevole e giustificato il metodo numerico più adatto a uno specifico problema, confrontando velocità di convergenza, stabilità degli algoritmi e costo computazionale;
• comunicare efficacemente problemi numerici e metodi di risoluzione, in forma scritta e orale, utilizzando un linguaggio scientifico rigoroso e argomentando con chiarezza le scelte effettuate;
• confrontare e motivare la selezione di metodi numerici alternativi per la risoluzione di uno stesso problema, discutendone vantaggi e limiti;
• consultare e utilizzare in autonomia testi di riferimento e materiali didattici forniti tramite la piattaforma Moodle, per esercitazioni, approfondimenti e attività individuali o di gruppo;
• collegare i contenuti dell’insegnamento con quelli di altri insegnamenti del Corso di Studio, sviluppando una visione integrata dei concetti e delle applicazioni.

1. Introduzione all'Analisi Numerica: buona posizione e condizionamento; stabilità e convergenza di metodi numerici; errori nei modelli computazionali; aritmetica floating point (rappresentazione dei numeri sul calcolatore, operazioni di macchina e cancellazione numerica); stabilità e complessità computazionale di algoritmi numerici; software di calcolo numerico.
2. Algebra lineare numerica: condizionamento di un sistema lineare, metodi diretti per sistemi lineari, sostituzione in avanti e all'indietro per sistemi triangolari, metodo di eliminazione di Gauss e strategie di pivoting, fattorizzazione LU, fattorizzazione di Cholesky.
3. Equazioni non lineari: condizionamento del problema del calcolo degli zeri di una funzione, esistenza degli zeri, radici semplici e multiple; metodo di bisezione, metodo di Newton, metodo delle secanti, iterazioni di punto fisso; convergenza, analisi dell'errore e criteri di arresto di tali metodi iterativi.
4. Interpolazione polinomiale e spline: esistenza e unicità del polinomio interpolante; interpolazione di Lagrange; errore di interpolazione; stabilità, convergenza dell'interpolazione polinomiale e costanti di Lebesgue; interpolazione di Newton; interpolazione di Hermite; spline cubiche interpolanti.
5. Approssimazione di dati: approssimazione ai minimi quadrati discreti, regressione lineare e polinomiale; equazioni normali.
6. Integrazione e derivazione numerica: formule di quadratura interpolatorie, stabilità, convergenza e grado di esattezza; formule di Newton-Cotes semplici e composte (formula dei trapezi, del punto medio e di Cavalieri-Simpson); estrapolazione di Richardson e integrazione di Romberg; formule di derivazione numerica a tre-punti.
7. Metodi numerici per equazioni differenziali: teoria elementare dei problemi ai valori iniziali; il problema discretizzato; metodi ad un passo per problemi ai valori iniziali, metodi di Eulero, Taylor e Runge-Kutta.
8. Elementi di programmazione e implementazione dei metodi numerici in Matlab.

Sono previste 72 ore complessive di lezioni frontali (9 CFU), articolate in momenti teorici ed esercitazioni pratiche, durante i quali verrà introdotto e utilizzato il software MATLAB. In entrambe le tipologie di attività, si incoraggia la partecipazione attiva di tutte le persone frequentanti, sia nella presentazione degli argomenti che nella risoluzione dei problemi proposti. Per quanto riguarda le esercitazioni, oltre ai problemi svolti collettivamente in aula, verranno assegnati esercizi da svolgere in autonomia, che potranno essere discussi successivamente su richiesta.