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Geometria 2 TEORICO

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Geometry 2 TEORICO

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN1628
Docenti
Prof. Alberto Albano
Prof. Cinzia Casagrande
Dott. Elena Martinengo
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF A - Base
Crediti/Valenza
12
SSD attività didattica
MAT/03 - geometria
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Conoscenza di:
- le nozioni di base di algebra lineare: spazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici;
- la nozione di funzione continua;
- i concetti di insieme quoziente e gruppo;

Gli studenti che hanno seguito i corsi di Geometria UNO, Analisi Matematica UNO e Algebra 1 sono in possesso di questi prerequisiti.

Knowledge of:
- basic notions of linear algebra: vector spaces, linear maps, matrices;
- the notion of continuous function;
- the definition of quotient set and group;

Students who have taken the classes of "Geometria UNO", "Analisi Matematica UNO" and "Algebra 1" already have these prerequisites

Propedeutico a
Tutti i successivi corsi di Geometria e di Analisi Matematica del secondo semestre e del terzo anno.

All courses in Geometry and Mathematical Analysis in the second semester and in the third year.

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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso sviluppa i concetti fondamentali di topologia generale e geometria proiettiva e contiene una breve introduzione alla topologia algebrica. Il corso comprende anche una parte di algebra lineare avanzata che completa il programma svolto a Geometria UNO. Tutti questi argomenti saranno poi utilizzati negli studi successivi.

La struttura teorica del corso consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia e della geometria proiettiva.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia generale, alla topologia algebrica e alla geometria proiettiva
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

The course develops the fundamental concepts of general topology and projective geometry and contains a brief introduction to algebraic topology. The course also includes a part of advanced linear algebra which completes the program taught in Geometry UNO. All these arguments will then be used in subsequent studies.

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of topology and projective geometry.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to general topology, algebraic topology and projective geometry
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in class.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà:

  • aver acquisito i concetti fondamentali della topologia generale e della geometria proiettiva, conoscere alcuni aspetti della topologia algebrica e conoscere la forma canonica di Jordan di un operatore lineare;
  • saper comunicare ed esprimere problematiche inerenti i contenuti dell'insegnamento: saper enunciare e dimostrare i teoremi, ma anche discutere le problematiche che riguardano l'enunciato di un teorema e le sue applicazioni;
  • saper applicare le nozioni e le tecniche apprese sia a esercizi standard sia alla risoluzione di problemi nuovi, che richiedono l'elaborazione autonoma di una strategia, o di piccole dimostrazioni rigorose, non identiche a quelle già conosciute ma ispirate a esse.

At the end of the course the student is expected to:

  • have acquired the fundamental concepts of general topology and projective geometry, know some aspects of algebraic topology and the Jordan canonical form of a linear operator;
  • be able to communicate and express problems pertaining to the topics of the course: to be able to state and prove theorems, but also to discuss problems concerning the statement of a theorem and its applications;
  • be able to apply the notions and the techniques learnt in the course both to standard exercises and to new problems, which require the autonomous elaboration of a strategy, or of a small rigorous proofs, not identical to the ones seen at the lectures but similar.

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Programma

1. Topologia generale (4.5 CFU): definizione di spazio topologico, aperti, chiusi, intorni. Topologie indotte da una metrica. Basi di aperti e basi di intorni. Funzioni continue, omeomorfismi. Sottospazi, topologia prodotto e topologia quoziente. Azioni di gruppo e quoziente associato. Assiomi di separazione. Connessione e connessione per archi. Compattezza. Assiomi di numerabilità. Successioni, convergenza.

2. Omotopia e gruppo fondamentale (1.5 CFU): omotopia fra funzioni. Spazi omotopicamente equivalenti. Retratti e retratti di deformazione. Cammini, omotopia fra cammini. Il gruppo fondamentale. Il teorema di Van Kampen sui generatori. Le sfere di dimensione almeno 2 sono semplicemente connesse. Il gruppo fondamentale della circonferenza.

3. Classificazione delle superfici topologiche (1.5 CFU): definizione di varietà topologica. Enunciato del teorema di triangolazione delle superfici. Somma connessa. L’algoritmo del “taglia e incolla”. Orientabilità di superfici. La caratteristica di Eulero e il teorema di classificazione delle superfici compatte.

4. La forma canonica di Jordan (1.5 CFU): polinomio minimo e polinomio caratteristico di un'applicazione lineare. Il teorema di Cayley-Hamilton. La forma canonica di Jordan. Diagonalizzazione simultanea di matrici. Esponenziale complesso. Esponenziale di matrici complesse.

5. Geometria proiettiva (3 CFU): Proiettivizzazione di uno spazio vettoriale. Coordinate omogenee, sottospazi, proiettività. Geometria affine geometria proiettiva, punti propri e impropri. Birapporto. Spazio proiettivo duale, sistemi lineari di iperpiani. Curve algebriche piane affini e proiettive: grado, componenti irriducibili. Molteplicità di intersezione tra una curva e una retta, punti lisci e singolari, retta tangente. Trasformazione di una curva per affinità/proiettività. Classificazione delle coniche: casi affine/proiettivo, reale/complesso. Curve proiettive di grado d, condizioni lineari. Sistemi lineari e fasci di coniche.

1. General topology (4.5 CFU): definition of topological space, open and closed sets, neighborhoods. Topologies induced by a metric. Basis of a topology. Continuous functions, homeomorphisms. Subspaces, product topology and quotient topology. Group actions and associated quotients. Axioms of separation. Connectedness and path-connectedness. Compactness. Axioms of countability. Sequences, convergence.

2. Homotopy and fundamental group (1.5 CFU): Homotopy between functions. Omotopically equivalent spaces. Retractions, deformation retracts. Paths and homotopy between paths. The fundamental group. Van Kampen theorem on generators. The sphere of dimension at least 2 is simply connected. The fundamental group of the circle.

3. Classification of topological surfaces (1.5 CFU): definition of topological manifold. Orientable manifolds. Statement of the triangulation theorem for surfaces. Connected sum. The "cut and paste" algorithm. Orientable surfaces. The Euler characteristic and the classification theorem of compact surfaces.

4. The Jordan canonical form (1.5 CFU): minimal polynomial and characteristic polynomial of a linear operator. The Cayley-Hamilton theorem. The Jordan canonical form. Simultaneous diagonalization. Exponential of a complex number. Exponential of a complex matrix

5. Projective geometry (3 CFU): projectivization of a vector space. Homogeneous coordinates, subspaces, projective transformations. Affine and projective geometry, points at infinity. Cross ratio. Dual projective space, linear systems of hyperplanes. Affine and projective plane algebraic curves: degree, irreducible components. Intersection multiplicity of a curve and a line, smooth and singular points, tangent line. Action of affine/projective transformations on algebraic curves. Classification of conics: affine/projective, complex/real. Projective curves of degree d, linear conditions. Linear systems and pencils of conics.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è svolto nel primo semestre e consiste in 96 ore (12 CFU) di didattica frontale articolate in lezioni ed esercitazioni.

The course is taught in the first semester and consists of 96 hours (12 CFU) of classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie.

La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e dura solitamente 3 ore. Gli studenti possono consultare i propri libri e appunti durante la prova, ma non in forma elettronica;  è consentito l'uso di calcolatrici di base.

Per accedere alla prova orale si deve aver raggiunto il punteggio di almeno 18/30 alla prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d'esame  in cui si è superata la prova scritta. Se non si supera la prova orale si deve ripetere anche la prova scritta.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentati nell'insegnamento e spesso comprende una discussione della prova scritta. 

Per maggiori dettagli e per i testi delle prove scritte degli anni passati si rimanda alla pagina web del corso su moodle. 

The exam consists in a written examination and an oral examination, both mandatory.

The written examination consists in exercises to solve, and usually lasts 3 hours. The students can consult their own books and notes during the exam, but not in electronic form; a basic calculator is allowed.

For admission to the oral examination, it is necessary to get a grade of at least 18/30 at the written examination. The oral examination must be taken in the same exam session of the written examination.  If a student fails the oral examination, s/he must repeat also the written examination.

The oral examination consists of questions on the theory and the proofs treated in the course, and ofter includes a discussion of the written examination.

For more details, and for the written examinations of the previous years, please see the web page of the course on moodle.

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Attività di supporto

L'insegnamento prevede un'attività di tutorato, articolata come segue.
Ogni settimana viene assegnato agli studenti (via moodle) un foglio di esercizi da svolgere a casa. Gli studenti consegnano gli esercizi svolti al tutore, che li corregge (senza valutazione); di solito il tutore è uno studente della Laurea Magistrale in Matematica. Il tutore incontra gli studenti ogni due settimane per restituire i fogli di esercizi corretti e discutere gli esercizi proposti. Lo svolgimento e la consegna dei fogli di esercizi settimanali non sono obbligatori, ma sono parte integrante dell'insegnamento.

The course has a tutoring activity, articulated as follows.
Once every  week, the professor assigns a homework sheet of exercises (via moodle). The students hand in the sheets to the tutor, who corrects them (without grading); usually the tutor is a senior student in Mathematics.  The tutor meets the students once every two weeks to return the corrected sheets and to discuss the exercises. The homework sheets are not mandatory, but they are an integral part of the course.

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Testi consigliati e bibliografia

M. Manetti, Topologia, Springer per le parti 1. e 2.

C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, per le parti 1 e 2.

G. Occhetta, Geometria III scaricabile liberamente per le parti 2 e 3.

N. Hitchin, Geometry of surfaces  scaricabile liberamente per la parte  3.

Vi sono delle note del Prof. Albano, disponibili su moodle, per la parte 4.

E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri, capitolo 3 - Geometria proiettiva, per la parte 5.

S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2 - Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, disponibili su moodle.

E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer. 

M. Manetti, Topologia, Springer for parts 1. e 2.

C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli, for parts 1 and 2.

G. Occhetta, Geometria III, freely downloadable, for parts 2 and 3.

N. Hitchin, Geometry of surfaces,  freely downloadable, for part 3.

There are notes by Professor Albano for part 4, available on Moodle.

E. Sernesi, Geometria 1, Boringhieri, chapter 3 - Geometria proiettiva, for part 5.

S.Console - A.Fino, Note di Geometria 2 - Geometria Proiettiva e Curve Algebriche piane, available on moodle.

E. Fortuna, R. Frigerio, R. Pardini, Geometria proiettiva - Problemi risolti e richiami di teoria, Springer. 

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Corsi che mutuano questo insegnamento

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    Ultimo aggiornamento: 18/06/2019 14:14

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