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Oggetto:
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Analisi Matematica 4

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Mathematical Analysis 4

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Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MFN0338
Docenti
Prof. Joerg Seiler (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Mista
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e più variabili. Campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma esponenziale. Elementi di algebra lineare e matrici.
I prerequisiti sono forniti negli insegnamenti di Algebra, Analisi Matematica e Geometria che precedono Analisi Matematica 4.

Basic topics of differential and integral calculus, in one and several variables;
basic elements of topology;
complex numbers and their representation in exponential form;
Elements of linear algebra and matrices.
The above described topics are provided in the courses of Algebra, Mathematical Analysis and Geometry held before Mathematical Analysis 4.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di perfezionare la conoscenza dell'analisi matematica di base, tramite l'approfondimento della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e l'introduzione delle funzioni di una variabile complessa.  Gli argomenti trattati sono essenziali per gli  studenti che intraprendono un percorso di studio della matematica di tipo teorico e allo stesso tempo utili per una trattazione rigorosa di aspetti modellistici.

Gli argomenti del corso vengono tutti trattati in in modio approfondito, anche per quanto riguarda i teoremi che richiedono dimostrazioni più articolate. Questo permette allo studente da un lato di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria importanza, dall'altro di riuscire a dimostrare autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula. 

Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo. o in gruppo. 

  The course aims to improve the knowledge  of mathematical analysis, through the deepening of the theory of ordinary differential equations and the introduction of the function of one complex variable. The covered topics are essential for the  students addressed to theoretical mathematics, and in the meantime useful for modellistics arguments.

 

The topics of the course are all rigorously treated , also with regard to the theorems that require more complex demonstrations. This allows students from one side to understand and master concepts of primary importance, the other to be able to show yourself some results similar to those discussed in the classroom.

For each topic covered in the course,  many exercises are offered to students.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di:
- riconoscere i punti in cui una funzione di variabile complessa è olomorfa e/o analitica;
- saper spiegare accuratamente il legame tra il concetto di derivabilità e analiticità di una funzione;
- integrare esplicitamente esempi basilari di funzioni olomorfe;
- applicare la teoria delle equazioni differenziali a particolari modelli.
At the end of the course the student will be able to:
- recognize the points at which a complex variable function is holomorphic and/or analytical;
- accurately explain the link between the concept of differentiability and analyticity of a function;
- explicitly integrate basic examples of analytic functions;
- apply the theory of differential equations to particular models.

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Programma


Analisi complessa
Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni trascendenti elementari. Operatori di Wirtinger. Funzioni olomorfe e funzioni conformi. Integrazione in campo complesso. Indice di un cammino chiuso. Teorema di Cauchy dell'integrale nullo. Formula integrale di Cauchy.  
Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio di identità per funzioni olomorfe. Singolarità isolate di funzioni olomorfe. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione delle singolarità isolate. Teorema dei residui ed applicazione al calcolo degli integrali. Principio dell'argomento. 

Equazioni differenziali ordinarie
Complementi sul Problema di Cauchy: il lemma di Gronwall e la dipendenza continua e differenziabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali.
Equazioni differenziali lineari di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Matrice Wronskiana. Teorema di Liouville.
Equazioni differenziali autonome.  Le nozioni di punto di equilibrio e di stabilità. Sistemi piani: integrali primi, orbite, stabilità.  


Complex variable functions
Reminders on holomorphic functions, Cauchy-Riemann equations, elementary transcendental functions. Wirtinger operators. Conformal and holomorphic functions. Integration in the complex field. Index of a closed curve. Cauchy Theorem. Cauchy integral formula. Holomorphic functions are analytic. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Principle of identity for holomorphic functions. Isolated singularities of holomorphic functions. Laurent expansions and classification of singularities. Residue theorem and applications to the calculation of integrals. Principle of the argument. 
 
Differential equations
The Cauchy problem: Gronwall's lemma, continuous dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data, differentiable dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data.
Linear differential equations of order n. Systems of first order linear differential equations. Wronskian. Liouville theorem.
Autonomous ordinary differential equations. Equilibria and their stability. Planar systems: first integrals, orbits, stability.

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Modalità di insegnamento

Il corso è di 48 ore di lezione (6 CFU). Il corso verrà erogato in presenza, con collegamento via webex alle pagine personali dei docenti. Si rimanda alla pagina Moodle del corso per i dettagli.

The course includes 48 lectures (6 CFU). The course will be given in presence with webex connection on the personal teachers' pages. For further details see the Moodle page.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

  • L’esame è costituito da una prova scritta ed una orale.
  • La prova scritta consiste nello svolgimento alcuni esercizi, simili a quelli svolti in classe o assegnati a casa agli studenti. Questa prova ha la durata di 2 ore e il voto è espresso in trentesimi. Durante lo scritto non si possono utilizzare calcolatrici, computer, etc. e non si possono consultare libri, quaderni, appunti o formulari. Per essere ammessi all'orale bisogna superare la prova scritta con almeno 18 punti. Lo scritto vale solo per l'orale immediatamente successivo. 

  • La prova orale consiste nell'esposizione di alcuni argomenti di carattere più teorico, richiesti dai docenti. 

  • Queste regole valgono anche per studenti che hanno seguito il corso in anni precedenti. 

 

  • Written and oral examination.
  • The written test is made up by some exercises similar to the ones discussed in the lectures or proposed to students throughout the course. During the test, electronic devices, books, notes (in any form) cannot be used. The minimum score to pass the written test is 18/30.
  • The oral part consists of questions related to the theory and proofs presented in the course. 
  • The oral exam has to be held in the same session of the written test.
  • These rules are valid also for students who attended this course in previous academic years.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
- Piccinini-Stampacchia-Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.
- Vitali, Lezioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie (disponibile all'indirizzo http://www-dimat.unipv.it/vitali/AM3/dispensa_prel_eq_diff-gennaio2013.pdf)
- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
- Piccinini-Stampacchia-Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.
- Vitali, Lezioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie (aveilable at the web page http://www-dimat.unipv.it/vitali/AM3/dispensa_prel_eq_diff-gennaio2013.pdf)



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Note

Il programma del corso non presenta sovrapposizioni con il corso di Equazioni Differenziali. Tale corso  è consigliato soprattutto agli studenti interessati all'Analisi Matematica e alle sue applicazioni.

Per maggiori informazioni e per il materiale didattico accedere alla pagina moodle del corso (link sotto).

The course has no overlap with the course of differential equations. This course is recommended especially for students interested in  Mathematical Analysis  and its applications.

 To have more information use the moodle page of the course (see the link below)

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 08/06/2022 14:00