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Equazioni Differenziali

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Differential Equations

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MAT0301
Docenti
Paolo Caldiroli (Titolare)
Elena Cordero (Titolare)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi matematica precedenti e in quello di Geometria 1.
Knowledge of the topics covered in the previous courses of Mathematical Analysis and in the first course of Geometry is assumed.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti e alle studentesse un’introduzione ad alcune equazioni alle derivate parziali (in particolare, le equazioni del trasporto, delle onde e del calore) e una presentazione di alcuni strumenti matematici (serie di Fourier, trasformata di Fourier, spazi funzionali, distribuzioni, teoria di Frobenius-Fuchs) utili per lo studio di tali equazioni e indispensabili per la comprensione di argomenti avanzati della fisica, a partire dalla meccanica quantistica. Pertanto tale insegnamento è importante sia per un curriculum teorico sia per un curriculum applicativo. Inoltre può essere considerato un insegnamento fondamentale nell'ambito di un percorso ideale incentrato sulle equazioni differenziali, insieme ad altri insegnamenti di settori scientifico-disciplinari più applicativi che trattano lo stesso argomento da punti di vista diversi. Gli studenti interessati possono proseguire questo percorso ideale nella Laurea magistrale sia approfondendo aspetti modellistici (equazioni differenziali della fisica matematica) sia applicando gli strumenti dell'Analisi funzionale per un approccio più avanzato (Analisi superiore, metodi variazionali, etc.) sia completandolo con un corso sulle equazioni differenziali stocastiche.
The course aims to provide the students with an introduction to some partial differential equations (in particular, transport, wave, heat equations) and a presentation of some mathematical tools (Fourier series, Fourier transform, functional spaces, distributions, Frobenius-Fuchs theory) useful for the study of such equations and indispensable for the understanding of advanced topics of physics, starting from quantum mechanics. Therefore this course is well suited both in a curriculum of Pure Mathematics and in a curriculum of Applied Mathematics. Moreover, it can be considered a fundamental course within a path focused on differential equation, jointly with other courses of different mathematical sectors, which deal with this topic from different point of view. In the Master Degree, interested students will be able to pursue this path, both deepening the specific modelling aspects (Differential Equations of Mathematical Physics), applying the tools of functional analysis for a more advanced approach (Advanced Analysis, Variational Methods) and completing with a course on Stochastic Differential Equations.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza di alcune equazioni alle derivate parziali in due variabili (equazioni del trasporto, delle onde, del calore) e di alcuni metodi classici utili per studiarle. Conoscenza dei fondamenti della teoria delle serie di Fourier, trasformata di Fourier, spazi funzionali e distribuzioni, e del metodo di Frobenius-Fuchs. Capacità di applicare gli strumenti matematici suddetti ad alcuni problemi specifici.
Knowledge of some partial differential equations of physical interest (transport, wave, heat equations) and of some classical methods useful to their study. Knowledge of basics on Fourier series, Fourier transform, functional spaces and distributions, and of the Frobenius-Fuchs method. Ability to apply the above mentioned mathematical tools to some specific problems.

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Programma

Funzioni trigonometriche e serie di Fourier, con applicazione al problema dell'estensione armonica sul disco. Spazio L1. Trasformata di Fourier: definizione, proprietà fondamentali, applicazioni alle equazioni differenziali. Spazio L2, operatori autoaggiunti, basi hilbertiane in L2. Trasformata di Fourier in L2. Spazio di Schwartz. La delta di Dirac e cenni sulle distribuzioni. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del primo e del secondo ordine. Equazioni quasilineari del prim'ordine in due variabili: metodo delle caratteristiche, fenomeni di rottura dell'onda, soluzioni deboli. Equazione delle onde 1-dim: problema di Cauchy e formula di d'Alembert, problema di Cauchy-Dirichlet su un intervallo compatto e metodo di separazione delle variabili. Equazione del calore 1-dim: esistenza e unicità, metodo dell'energia, problema di Cauchy-Dirichlet su un intervallo compatto e metodo di separazione delle variabili. Teoria di Frobenius-Fuchs per le equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine a coefficienti analitici. Applicazione alle equazioni di Hermite, Bessel e Legendre.
Trigonometric functions and Fourier series. Application to the problem of the harmonic extension on the disc. The L1 space. Fourier transform: definition, main properties, applications to differential equations. The L2 space, self-adjoint operators, Hilbertian basis in L2. The Fourier transform in L2. The Schwartz space. The Dirac delta and a concise introduction on distributions. Classification of first order and second order PDE's. Quasi-linear first order PDE's in two variables: the method of characteristics, wave breaking, weak solutions. The one-dimensional wave equation: the Cauchy problem and d’Alembert’s formula. The Cauchy-Dirichlet problem on a compact interval and the method of separation of variables. The one-dimensional heat equation: existence and uniqueness for the Cauchy problem, the energy method; the Cauchy-Dirichlet problem on a compact interval and the method of separation of variables. The Frobenius-Fuchs theory for second order linear ordinary differential equations with analytic coefficients; application to Hermite, Bessel and Legendre equations.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico. La frequenza è facoltativa ma consigliata. 

The course consists of 48 hours of lectures. According to the academic calendar, each lecture is of 2 hours. Attendance is recommended but not compulsory. Lectures will be held in person.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è orale e consiste in due parti, una per ciascuna delle due metà del corso. Per entrambe le parti viene chiesto di esporre argomenti tra quelli elencati nel programma. Le due parti di esame vanno svolte durante i periodi delle sessioni di esami, in momenti distinti, preferibilmente ma non necessariamente nella stessa sessione. La data di svolgimento di ciascuna parte va concordata con il rispettivo docente con debito anticipo. Il voto per ciascuna parte di esame è espresso in trentesimi. Il voto finale è la media aritmetica tra quelli delle due parti. L'esame viene verbalizzato una volta superate le prove di entrambe le parti del corso. Ciascuna delle due parti di esame resta valida fino all'ultima sessione utile del relativo anno accademico (sessione invernale dell'anno accademico successivo a quello in cui il corso viene svolto). Eventuali ulteriori dettagli sulla modalità d'esame di ciascuna parte sono definiti dai rispettivi docenti e riportati sulla pagina Moodle dell'insegnamento. 

 

È possibile sostenere l'esame in inglese. 

The exam is oral and consists of two parts, one for each of the two halves of the course. For both parts the student is asked to present topics among those listed in the program. The two parts of the exam must be carried out during the periods of examination sessions, at distinct times, preferably but not necessarily in the same session. The date of each part of the exam must be agreed with the respective teacher in good time before. For each part of the exam the vote is expressed in thirties. The final grade is the arithmetic mean and can be registered after that both parts have been overcome. Each part is valid until the last useful session of the corresponding academic year (winter session of the next year). For further details, see the moodle page of the course. 

 

It is possible to take the exam in English.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
Partial Differential Equations - An Introduction
Anno pubblicazione:  
1992
Editore:  
John Wiley & Sons
Autore:  
Walter A. Strauss
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Fourier Analysis: An Introduction.
Anno pubblicazione:  
2011
Editore:  
Princeton Lectures in Analysis. Princeton University Press
Autore:  
Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami.
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Introduction to Ordinary Differential Equations
Anno pubblicazione:  
1966
Editore:  
Academic Press
Autore:  
Albert L. Rabenstein
Permalink:  
Capitoli:  
4 (Series solutions)
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
An Introduction to Partial Differential Equations
Anno pubblicazione:  
2005
Editore:  
Cambridge University Press
Autore:  
Y. Pinchover and J. Rubinstein
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Partial Differential Equations
Anno pubblicazione:  
1978
Editore:  
Springer
Autore:  
F. John
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

  • L.C. Evans, Partial differential equations. Second edition, American Mathematical Society (2010)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer (2010)
  • S. Salsa, Partial differential equations in action. From modelling to theory. Third edition, Springer (2016)


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    Oggetto:
    Ultimo aggiornamento: 12/09/2023 10:23

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