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Equazioni Differenziali

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Differential Equations

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Anno accademico 2019/2020

Codice attività didattica
MFN1421
Docente
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti

Analisi matematica Uno, Due e 3. Geometria One.

Mathematical Analysis One, Two and 3. Geometry One.
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, questo corso si propone di presentare un'introduzione alle equazioni alle derivate parziali fondamentali che modellizzano fenomeni stazionari (equazione di Laplace e di Poisson), diffusivi (equazione del calore), di trasporto (equazione del trasporto) e ondulatori (equazione delle onde). Per tali problemi vengono discussi i principali risultati della teoria classica e alcuni metodi di risoluzione. La trattazione teorica è corredata dall'esposizione di alcune applicazioni. Pertanto tale corso ben si colloca sia in un percorso teorico, sia in un percorso modellistico-applicativo.

This course is intended to present an introduction to the fundamental partial differential equations describing stationary phenomena (Laplace and Poisson equation), propagation phenomena by diffusion (heat equation), by transport (transport equation) and wave motions (wave equation). On these issues the main results of the classical theory as well as some methods of resolution are discussed. Some applications are also displayed. Therefore this course is well suited both in a curriculum of Pure Mathematics and in a curriculum of Applied Mathematics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Dopo aver frequentato il corso, lo studente dovrà conoscere i principali risultati e i metodi classici per lo studio delle equazioni lineari e quasilineari del primo ordine, leggi di conservazione, equazioni di Laplace, di Poisson, del calore e delle onde.

After attending the course, the student should be able to know some fundamental results and classical methods for the study of linear and quasilinear first order equations, conservation laws, Laplace, Poisson, heat and wave equations.

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Programma

Per i risultati indicati con * è richiesta la dimostrazione all'esame.

1. Introduzione (da S. Salsa): Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Esempi di modellizzazione di fenomeni deterministici e di problemi di natura geometrica mediante le equazioni alle derivate parziali.

2. Equazioni lineari e quasilineari del primo ordine (da F. John): Metodo delle caratteristiche. Problema di Cauchy per un’equazione quasilineare del primo ordine. Teorema di esistenza ed unicità locale mediante il metodo delle caratteristiche*.

3. Leggi di conservazione scalari unidimensionali (da dispense prof. Caldiroli, S. Salsa): Esempi e modelli. Risultati di esistenza di soluzioni classiche (Proposizioni 3.4.3 e 3.4.4 dispense)*. Soluzioni deboli, onde d'urto, condizione di Rankine-Hugoniot.

4. Equazione delle onde (da L. Evans, dispense prof. Caldiroli): Derivazione del modello. La formula di d'Alembert*. Il problema della corda vibrante. Risoluzione con il metodo di separazione delle variabili e le serie di Fourier*. L'equazione delle onde in dimensione 3: Il metodo delle medie sferiche, l'equazione di Eulero-Poisson-Darboux e la formula di Kirchhoff *. L'equazione delle onde in dimensione 2: Il metodo della discesa di Hadamard e la formula di Poisson*. Cenni sull'equazione delle onde in R^n, n >3. Proprietà della soluzione: dominio di dipendenza e velocità finita di propagazione, perdita di regolarità rispetto ai dati iniziali. Il problema di Cauchy per l'equazione non omogenea, teorema di esistenza e unicità *.

5. Equazione del calore (da L. Evans, dispense prof. Caldiroli): La soluzione fondamentale e le sue proprietà*. Costruzione di una soluzione del problema di Cauchy per l'equazione omogenea mediante la soluzione fondamentale*. Proprietà della soluzione (effetto regolarizzante, velocità di propagazione infinita, permanenza del segno, conservazione della massa, decadimento per t grande. Il problema di Cauchy per l'equazione non omogenea in R^n*. Principio del massimo per l'equazione del calore su domini limitati e su R^n. Risultati di unicità della soluzione. La soluzione di Tychonov. Il problema di Cauchy-Dirichlet in dimensione 1 mediante le serie di Fourier*.

6. Funzioni armoniche (da dispense Prof. Caldiroli): Definizione ed esempi. Proprietà della media*, teorema di regolarità delle funzioni armoniche*, teorema di Liouville*, funzioni subarmoniche e superarmoniche, principio del massimo per le funzioni subarmoniche*.

7. Equazione di Poisson (da dispense Prof. Caldiroli): Soluzione fondamentale del laplaciano*. Identità di Stokes*.  Risoluzione dell’equazione di Poisson su R^n con dato C^2 *. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson. Riduzione al problema dell'estensione armonica. Il problema dell'estensione armonica. soluzione in serie di Fourier nel caso 2-dimensionale*. Formula integrale di Poisson. Il principio di Dirichlet.

8.  Classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine.

9. Complementi: Problemi ben posti e mal posti. Funzioni analitiche reali di più variabili e loro proprietà. Enunciato del teorema di Cauchy-Kowalewsky e del Teorema di Holmgren. Risultati di esistenza e non esistenza di soluzioni infinitamente derivabili per equazioni lineari: controesempio di H. Lewy, teorema di Malgrange-Ehrenpreis per operatori lineari a coefficienti costanti 

The proof of the results evidentiated with * is required at the exam.

  1. Introduction (from S. Salsa): Introduction to partial differential equations. Modelization of deterministic phenomena and geometric problems via partial differential equations.
  2. Linear and quasilinear first order equations (from F. John): The method of characteristics. Cauchy problem for quasilinear first order equations. Theorem of local existence and uniqueness of the solution * .
  3. Unidimensional scalar conservation laws (from lecture notes Prof. Caldiroli, S. Salsa): Examples and models. Results of existence of classical solutions (Propositions 3.4.3 and 3.4.4 lecture notes) *. Weak solutions, shock waves, the Rankine-Hugoniot condition.
  4. The wave equation (from L. Evans, lecture notes Prof. Caldiroli): Construction of the model in one-space dimension. The d'Alembert formula *. The vibrating string problem: resolution by separation of variables and Fourier series *. The wave equation in 3-space dimension:  Solutions by spherical means, the Euler-Poisson-Darboux equation and the Kirchhoff formula *. The wave equation in 2-space dimension: the Hadamard's method of descent and the Poisson formula *. Mention on the wave equation in arbitrary space dimension. Properties of the solution: domain of dependence, finite propagation speed, loss of regularity with respect to the initial data. The Cauchy problem for the non-homogeneous wave equation, theorem of existence and uniqueness *.
  5. The heat equation (from L. Evans, lecture notes Prof. Caldiroli): The fundamental solution and its properties *. Construction of a solution to the Cauchy problem for the homogeneous heat equation by using the fundamental solution *. Properties of the solution (smoothing effect, infinite propagation speed, conservation of the mass, decay for large t). The Cauchy problem for the non homogeneous equation in R^n *. Maximum principle for the heat equation on bounded domains and on R^n. Uniqueness and non-uniqueness results. The Tychonov solution. The Cauchy-Dirichlet problem in one space dimension via Fourier series *.
  6. Harmonic functions (from lecture notes Prof. Caldiroli): Definition and examples, mean-value formulas *, regularity theorem for harmonic functions *, Liouville theorem *, subharmonic and superharmonic functions, maximum principle for subharmonic functions *.
  7. The Poisson equation (from lecture notes Prof. Caldiroli): Fundamental solution of the Laplacian *, Stokes identity *, the solution of the Poisson equation in R^n with datum of class C^2 *. The Dirichlet problem for the Poisson equation. Reduction to the harmonic extension problem. Solution of the problem for the ball in the plane via Fourier series *. Poisson formula. The Dirichlet principle.
  8. Classification of second order linear equations.
  9. Complementary contents: Well posed and ill-posed problem. Real analytic functions of several variables and their properties. Statement of the Cauchy-Kowalewski theorem and Holmgren Theorem. Results of existence and non-existence of smooth solutions to linear equations: H. Lewy counterexample, the Malgrange-Ehrenpreis theorem for linear operators with constant coefficients.
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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali alla lavagna.

Frontal lectures at the blackboard.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale sui contenuti principali del corso. Agli studenti stranieri è garantita la possibilità di sostenere l'esame in inglese.

The exam consists in an oral test about the main topics of the course. Foreign students are allowed to give the exam in English if they so prefer.

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Testi consigliati e bibliografia

  • Dispense.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS (2010)
  • F. John, Partial Differential Equations, Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer (2010)
  • M. Renardy - R. Rogers, An introduction to partial differential equations, Springer-Verlag (1993)

  • Lecture Notes.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS (2010)
  • F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)
  • M. Renardy - R. Rogers, An introduction to partial differential equations, Springer-Verlag (1993)
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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 04/06/2019 09:51

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