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Oggetto:
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Equazioni Differenziali

Oggetto:

Differential Equations

Oggetto:

Anno accademico 2022/2023

Codice attività didattica
MFN1421
Docenti
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Elena Cordero (Titolare del corso)
Corso di studio
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Orale
Prerequisiti
Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi matematica precedenti e in quello di Geometria 1.
Knowledge of the topics covered in the previous courses of Mathematical Analysis and in the first course of Geometry is assumed.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso ha l'obiettivo di fornire agli studenti e alle studentesse un’introduzione alle equazioni alle derivate parziali (in particolare, le equazioni di Laplace, Poisson, calore, onde, trasporto) e una presentazione di alcuni strumenti matematici (teoria di Frobenius-Fuchs, serie di Fourier, trasformata di Fourier, spazi funzionali, distribuzioni) utili per lo studio di tali equazioni e indispensabili per la comprensione di argomenti avanzati della fisica, a partire dalla meccanica quantistica. Pertanto tale insegnamento ben si colloca sia in un percorso teorico, sia in un percorso modellistico-applicativo. L’insegnamento può essere opzionato come esame a scelta libera anche nella Laurea Magistrale in Matematica. Inoltre, nella Magistrale, gli studenti interessati potranno proseguire un percorso incentrato sulle equazioni differenziali sia approfondendone gli aspetti più propriamente modellistici (Equazioni Differenziali della Fisica Matematica) sia applicandovi gli strumenti propri dell’analisi funzionale per un approccio più avanzato (Analisi Superiore). Infine un tale percorso ideale può essere complementato con l’insegnamento magistrale di Equazioni Differenziali Stocastiche.
The course aims to provide the students with an introduction to partial differential equations (in particular, Laplace, Poisson, heat, wave, transport equations, Fuchsian differential equations) and a presentation of some mathematical tools (Frobenius-Fuchs theory, Fourier series, Fourier transform, functional spaces, distributions) useful for the study of such equations and indispensable for the understanding of advanced topics of physics, starting from quantum mechanics. Therefore this course is well suited both in a curriculum of Pure Mathematics and in a curriculum of Applied Mathematics. This course can also be chosen as a free optional exam in the Master’s Degree in Mathematics. In addition, in the Master Degree, interested students will be able to pursue a path focused on differential equations, both deepening the specific modelling aspects (Differential Equations of Mathematical Physics) and applying the tools of functional analysis for a more advanced approach (Advanced Analysis, Variational Methods). Finally such an ideal path can be complemented by the course Stochastic Differential Equations.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza di alcune equazioni alle derivate parziali (equazioni di Laplace, Poisson, calore, onde, trasporto) e di alcuni metodi classici utili per studiarle. Conoscenza del metodo di Frobenius-Fuchs dei fondamenti della teoria delle serie di Fourier, trasformata di Fourier, spazi funzionali e distribuzioni. Capacità di applicare gli strumenti matematici suddetti ad alcuni problemi specifici.
Knowledge of some partial differential equations of physical interest (Laplace, Poisson, heat, wave, transport equations) and of some classical methods useful to their study. Knowledge of Frobenius-Fuchs method and of basics on Fourier series, Fourier transform, functional spaces and distributions. Ability to apply the above mentioned mathematical tools to some specific problems.

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Programma

Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del primo e del secondo ordine.  Il metodo delle caratteristiche e il metodo di Lagrange per le equazioni quasilineari del prim'ordine. Equazione delle onde 1-dim: problema di Cauchy e formula di d'Alembert. Equazione del calore 1-dim: separazione delle variabili, metodo dell'energia, unicità. Equazioni ellittiche: proprietà fondamentali, principio del massimo, formula di Poisson, funzioni di Green e rappresentazioni integrali per l'equazione di Poisson. Problema agli autovalori per l'equazione di Laplace; metodo di Frobenius-Fuchs. Funzioni trigonometriche e serie di Fourier, con applicazione al problema dell'estensione armonica sul disco. Spazio L1. Trasformata di Fourier: definizione, proprietà fondamentali, applicazioni alle equazioni differenziali. Spazio L2, operatori autoaggiunti, basi hilbertiane in L2. Trasformata di Fourier in L2. Spazio di Schwartz. La delta di Dirac e cenni sulle distribuzioni.
First order and second order PDE's (classification). The method of characteristics and the Lagrange method for quasilinear first order PDE's. The one-dimensional wave equation: the Cauchy problem and d’Alembert’s formula. The one-dimensional heat equation: separation of variable, the energy methods, uniqueness. Elliptic equations: basic properties, the maximum principle, Poisson's formula, Green’s functions and integral representations for the Poisson equation. The eigenvalue problem for the Laplace equation; the Frobenius-Fuchs method. Trigonometric functions and Fourier series. Application to the problem of the harmonic extension on the disc. The L1 space. Fourier transform: definition, main properties, applications to differential equations. The L2 space, self-adjoint operators, Hilbertian basis in L2. The Fourier transform in L2. The Schwartz space. The Dirac delta and a concise introduction on distributions.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento consiste di 48 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni della durata, di norma, di 2 ore ciascuna, in base al calendario accademico.

Le lezioni si svolgeranno in presenza, salvo aggiornamenti sui provvedimenti adottati da UniTo e disponibili sul sito "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e.

La frequenza è facoltativa ma consigliata.

The course consists of 48 hours of lectures. Each lecture is of 2 hours, normally, according to the academic calendar.

Lectures will be held in person, subject to updates on the measures adopted by UniTo and available on the website "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e

Attendance is recommended but not compulsory.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame è una prova orale consistente nell’esposizione di argomenti richiesti dai docenti tra quelli elencati nel programma. È possibile sostenere l'esame in inglese. Il voto è in trentesimi. L'esame si svolge in presenza, salvo aggiornamenti sui provvedimenti adottati da UniTo e disponibili sul sito "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e. Agli studenti e alle studentesse che rientrino in una delle condizioni di seguito riportate, autocertificate nella fase di prenotazione all’appello:

  1. residenza fuori Regione
  2. situazione di fragilità
  3. positività al COVID-19

è garantita la possibilità di svolgere l’esame a distanza, secondo una delle modalità previste dall’Ateneo, avuto anche riguardo alle specifiche esigenze degli studenti e delle studentesse con disabilità e con disturbi specifici dell’apprendimento.

The exam is an oral test, in which the candidate is asked to present some topic chosen by the teachers among those ones listed in the programme. It is possible to sit the examination in English. The score is expressed out of 30. The exams are to be attended in person, subject to updates on the measures adopted by UniTo and available on the website "Disposizioni per chi studia e lavora in UniTo" https://www.unito.it/ateneo/gli-speciali/coronavirus-aggiornamenti-la-comunita-universitaria/disposizioni-chi-studia-e. To students who fall within one of the following conditions, self-certified in the booking phase of the exam:

  1. residence outside the region
  2. situation of fragility
  3. positivity to COVID-19

the possibility of attending the remote exam is guaranteed, according to one of the methods provided by the University, also having regard to the specific needs of students with disabilities and specific learning disabilities.

Testi consigliati e bibliografia



Oggetto:
Libro
Titolo:  
An Introduction to Partial Differential Equations
Anno pubblicazione:  
2005
Editore:  
Cambridge University Press
Autore:  
Y. Pinchover and J. Rubinstein
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Partial differential equations in action. From modelling to theory. Third edition
Anno pubblicazione:  
2016
Editore:  
Springer
Autore:  
S. Salsa
ISBN  
Obbligatorio:  
No


Oggetto:
Libro
Titolo:  
Partial differential equations. Second edition.
Anno pubblicazione:  
2010
Editore:  
American Mathematical Society, Providence, RI
Autore:  
L. C. Evans
ISBN  
Obbligatorio:  
No
Oggetto:

  • Dispense.
  • F. John, Partial Differential Equations, Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer (2010)
  • Lecture Notes.
  • F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)


Oggetto:

Insegnamenti che mutuano questo insegnamento

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Orario lezioniV

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    Ultimo aggiornamento: 14/08/2022 21:21

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