Corso di laurea in matematica

 

·     Revisione dei concetti di base di geometria sulle superficie differenziali. Il concetto di spazio tangente, differenziale di una funzione e curvatura di Gauss.

·     L'equazione delle geodetiche come equazione di Eulero-Lagrange del funzionale lunghezza. Derivazione covariante e gruppo di olonomia. 

·     Geodetiche su una superficie, definizione, esistenza, unicità, esempi.

·     Esisetenza di intorni convessi.

·     Il Teorema di Hopf-Rinow.

·     Coordinate geodetiche e classificazione delle superfici a curvatura costante.

·     Campi vettoriali su superfici. Curve integrali. L'indice di un campo vettoriale. Integrali primi di un campo vettoriale.

·     Il teorema di Poincaré-Hopf. 

·     Nozioni di funzioni olomorfe in una variabile.  

·     Modelli di spazio iperbolico: Il disco e il semipiano di Poincaré. Geodetiche e isometrie dello spazio iperbolico 

·     Il gruppo fondamentale, discussione approfondita delle sue proprieta'

·     Applicazioni alla geometria (per esempio: teoremi del punto fisso, teorema fondamentale dell'algebra la formula per il calcolo del residuo in analisi complessa)