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Calcolo delle Probabilità e Statistica (DM 270) - a.a. 2010/11

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Anno accademico 2010/2011

Codice dell'attività didattica
MFN0341
Docenti
Prof. Angelo Negro (Titolare del corso)
Prof. Walter Dambrosio (Titolare del corso)
Prof. Roberta Sirovich (Tutor)
Prof. Elena Cordero (Esercitatore)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
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Sommario del corso

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli elementi fondamentali della moderna Teoria del calcolo delle probabilità e della Statistica matematica, attraverso una rigorosa definizione dei termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara discussione dei teoremi principali, per alcuni dei quali con dimostrazioni complete e per altri con indicazione delle linee essenziali della dimostrazione. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame. Dovrà saper risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo, condizionamento ed indipendenza Chiara nozione di variabile aleatoria, distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro principali caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici). Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte. Conoscenza degli schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper discutere la Legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare le linee essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper utilizzare con disinvoltura le principali regole del calcolo. Risolvere problemi che di norma richiedono un’interpretazione dell'enunciato e la selezione o l'adattamento di modelli noti. Saper costruire stimatori, intervalli di confidenza e test di ipotesi. Capacità ad affrontare teoricamente problemi statistici riconoscendo i mezzi più idonei per lo studio teorico e pratico del problema.

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Programma

Struttura di spazio di probabilità, esempi elementari, prime regole di calcolo, condizionamento ed indipendenza. Probabilità condizionate. Continuità della misura di probabilità e teorema di Borel-Cantelli. Prime nozioni sulle variabili aleatorie. Variabili discrete. Distribuzione e densità. Media, varianza, momenti, funzione generatrice. Distribuzioni e densità discrete classiche (Binomiale, ipergeometrica, geometrica, binomiale negativa, di Poisson, multinomiale). Scomposizione in variabili elementari e condizionamenti. Disuguaglianze di Markov e di Chebychev. Prima introduzione al teorema del limite centrale: frequenza e probabilità. Cenni sulle variabili aleatorie generali e sull’integrazione rispetto ad una misura di probabilità. Variabili indipendenti. Condizionamento. Variabili aleatorie continue. Densità, densità congiunta e densità marginali. Distribuzioni congiunte tramite condizionamento. Distribuzioni continue classiche (Uniforme, di Cauchy, esponenziale e processi di Poisson, normale, gamma, chi-quadro, di Student). Legge debole dei grandi numeri: teorema di Markov. Cenni alla legge forte al teorema di Kolmogorov. Funzioni caratteristiche. Presentazione del teorema di Lévy-Cramér. Deduzione del più semplice teorema del limite centrale dal risultato di Lévy-Cramér.

Introduzione alla Statistica: il campionamento casuale con rimpiazzo. Costruzione dello spazio campionario e definizione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e Varianza dei momenti campionari. Caso particolare della media campionaria. Legame tra la media campionaria e la media della popolazione. Varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti campionari. Stima puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio. Stimatori lineari e stimatore lineare a varianza minima. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema di Cramer-Rao. Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di fattorizzazione e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi composte e rapporto generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali: analisi della varianza, regressione. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e caso scorrelato. Teorema di Gauss-Markov.

Probability spaces, elementary examples, first rules of computation, conditioning and independence. Conditional probability. Continuity of probability measures and the Borel-Cantelli theorem. Introduction  to random variables. Discrete random variables. Distribution and density. Expected value, variance, moments, gene rating function. Classical distributions and densities (binomial, hypergeometric, geometric, negative binomial, Poisson, multinomial). Decomposition in elementary variables and conditioning. Markov’s and Chebychev’s inequalities.  First introduction to the central limit theorem: frequency and probability. Fist notions on general random variables and on integrations with a probability measure. Independent variables. Conditioning, continuous random variables. Joint density and marginals. Classical continuous distributions (uniform, Cauchy, exponential and Poisson processes, normal, gamma, chi-square, Student). Weak law of large numbers: Markov’s theorem. Some notices on Kolmogorov result on strong law. Characteristic functions. Discussion of the Lévy-Cramér theorem. Derivation of one of the simplest central limit theorem from Lèvy-Cramér result.

Introduction to Statistics: random sampling with replacement. Construction of the sampling space and definition of the random sample from a population. Statistics and sample moments. Mean and variance of the sample moments. Sample mean and sample variance. Distribution of the sample moments. Point estimation, definition of an estimator. Moments and maximum likelihood methods. Properties of the estimators: unbiasedness, mean square error. Linear estimator and linear estimator  with minimum variance. UMVU estimators. Cramer-Rao Theorem. Asymptotic properties of the estimators: asymptotic unbiasedness, consistency.  Sufficient estimators. Factorization theorem and Blackwell-Rao Theorem. Interval estimation: definition of confidence interval. Pivotal quantity method. Hypothesis testing: definition of statistical hypothesis, critical region, first and second kind errors, power and level of significance of the test. Neyman-Pearson Lemma. Composite hypothesis and genralized likelihood ratio. General linear model: analysis of variance, regression. Estimation in the general linear models: Gaussian and uncorrelated cases. Gauss-Markov theorem.

 

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Testi consigliati e bibliografia

Negro A., Elementi di Calcolo delle Probabilità, Quaderni del Dipartimento di Matematica, n.33, Aprile 2005

Baldi P., Calcolo delle Probabilità e Statistica 2/ed, McGraw-Hill

 

Altri testi

Dall'Aglio G., Calcolo delle Probabilità

Gnedenko B., Theory of Probability. Mir, Moscow, 1973

Galambos J., Introductory Probability Theory. Marcel Dekker, New York, 1984

Galambos J., Advanced Probability Theory. Marcel Dekker, New York, 1984

M. H. DeGroot, M. J. Schervish, Probability and Statistics

 

A. Di Crescenzo, L. M. Ricciardi, Elementi di Statistica

P. J. Doksum, K. A. Bickel, Mathematical Statistics

A. M. Mood, F. A. Graybill, D. C. Boes, Introduzione alla statistica

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Note

CALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA, MFN0341 (DM 270) , 12 CFU: 12 CFU, MAT/06, TAF B (caratt.), Ambito formazione modellistico-applicativa.

Modalità di verifica/esame: 

Prova scritta con voto. Prova orale a richiesta dello studente o, in caso di prova scritta quasi sufficiente, dei docenti.

Nella prova scritta verranno proposti sia quesiti teorici e richieste di dimostrazioni, sia problemi da risolvere secondo gli schemi appresi nelle esercitazioni.

 

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Ultimo aggiornamento: 30/04/2013 13:19

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