Geometria II - a.a. 2008/09 - Corso di laurea in matematica

Oggetto:

Geometria II - a.a. 2008/09

Oggetto:

Anno accademico 2008/2009

Codice dell'attività didattica

MFN0182 - mutuato

Docenti

Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso)
Prof. Federica Galluzzi (Esercitatore)
Prof. Sergio Garbiero (Titolare del corso)
Prof. Marcella Palese (Tutor)
Prof. Mario Valenzano (Esercitatore)

Corso di studi

Laurea in Matematica

Anno

1° anno

Periodo didattico

Secondo semestre

Tipologia

Caratterizzante

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/03 - geometria

Mutuato da

4 CFU Ambito B - 3 CFU Ambito A

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi dell Algebra Lineare e della Geometria Analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi e teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente allapplicazione delle nozioni apprese alle altre discipline scientifiche.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Lobiettivo principale e lapprendimento delle metodologie dell'Algebra Lineare e della Geometria Analitica, nel piano e nello spazio. Lo studente acquisirà, in particolare, la competenza e labilità di svolgimento degli esercizi che coinvolgono gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari, le forme bilineari, le forme quadratiche, le coniche, la Geometria Analitica nel piano e nello spazio. Le nozioni descritte sono fondamentali, non solo per studi più approfonditi di Geometria e Algebra Lineare, ma anche per le loro applicazioni a tutte le discipline che si fondano sulla matematica.

Oggetto:

Programma

Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita

Pre-requisiti (in ingresso)	Insegnamenti fornitori
Le nozioni di Matematica propedeutiche ai Corsi Universitari di indirizzo Scientifico.	Nozioni di base di Matematica impartite nelle scuole Medie Superiori.
Conoscenze di base di Geometria Euclidea. Concetto di relazio-ne di equivalenza in un insieme. Soluzione di sistemi di equazio-ni lineari di due o tre equazioni in due incognite.	Precorso di Algebra e Geometria

Competenze minime (in uscita)

Insegnamenti fruitori

Le nozioni di Matematica propedeutiche a Corsi

Universitari di indirizzo Scientifico.

Tutti gli insegnamenti successivi della Laurea Triennale in Matematica sono da considerarsi fruitori, dato il carattere fondamentale del corso: in particolare Corsi di Analisi e di Geometria

Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Prime proprieta’. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali. Definizione di ker f e di im f e teoremi relativi. Teorema fondamentale delle applicazioni lineari; matrice associata ad un'applicazione lineare ed equazioni di un'applicazione lineare. Determinazione di ker f e di im f. Determinazione dell'immagine e della controimmagine di sottospazi vettoriali. Teorema del Rango: ossia dim ker f + dim im f = dim V. Isomorfismi di spazi vettoriali.Il cambiamento di base come esempio di isomorfismo. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi. Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari e conseguenze. Legame tra le infinite matrici associate alla stessa applicazione lineare. Matrici simili e loro proprieta’ comuni. Definizione di autovalore, autovettore e autospazio di un'applicazione lineare. Equazione caratteristica. Somma diretta di autospazi. Relazione tra la dimensione di un autospazio e la molteplicità dell'autovalore relativo. Applicazioni lineari semplici e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e loro conseguenze. Il Teorema di Cayley-Hamilton (solo enunciato).

Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani. Definizione di spazio vettoriale euclideo. Norma di un vettore, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angolo tra due vettori. Ortogonalita’, basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Matrici ortogonali e cambiamento di base. Definizione di spazio vettoriale Hermitiano ed esempi. Versione nel caso Hermitiano dei risultati sopra elencati. I gruppi di matrici:GL(n,R), GL(n,C), SL(n,R), SL(n,C), O(n), SO(n),U(n). Matrici Hermitane e matrici simmetriche. Definizione di endomorfismo aggiunto e di endomorfismo autoaggiunto, proprieta’. Il teorema spettrale (caso complesso e caso reale).

Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale: definizione, base duale. Isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale e il suo duale nel caso degli spazi euclidei. Spazio biduale, isomorfismo canonico. Applicazione lineare trasposta, proprieta’. Forme bilineari simmetriche reali, matrice associata, relazione tra le matrici associate alla stessa forma bilineare simmetrica, dopo un cambiamento di base. Forme quadratiche e loro classificazione. Forme canoniche di una forma quadratica. Forma normale. Segnatura e Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Cenni sul caso complesso.

Geometria analitica nel piano.(Ripasso delle nozioni impartite nella scuola secondaria superiore se non sono state oggetto del precorso) Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimento polare, coordinate polari. Equazione della retta: rappresentazione cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette nel piano. Distanza di un punto da una retta. Asse di un segmento. La circonferenza: rappresentazione cartesiana, equazioni parametriche. Posizione reciproca retta/circonferenza e tra due circonferenze. Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Fasci di circonferenze. Studio delle equazioni di secondo grado in due incognite. Matrici associate ad una conica. Invarianti di una conica per rototraslazione del sistema di riferimento. Coniche degeneri. Classificazione affine euclidea delle coniche. Riduzione dell'equazione di una conica in forma canonica. Determinazione delle equazioni del relativo cambiamento di riferimento. Il gruppo delle isometrie del piano (affine).

Geometria analitica nello spazio. Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimenti polari: coordinate cilindriche e sferiche. Il piano: rappresenatazione parametrica e cartesiana. La retta: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche. Fasci di piani. Distanze. Angoli. Perpendicolare comune a due rette sghembe. La sfera: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche: piano-sfera (piano tangente), retta-sfera. La circonferenza nello spazio: rappresentazione parametrica e cartesiana. Coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche (rigate e non). Quadrighe ridotte a forma canonica.

Descrizione

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

I testi consigliati sono indicati nel sito i-learn del corso

Oggetto:

Note

Il corso è mutuato da Geometria 1 (ultimi 7 CFU) attivo nel presente a.a.

Oggetto:

Altre informazioni

http://math.i-learn.unito.it/login/index.php

Oggetto: