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Algebra 2 (DM 270) - a.a. 2012/13

Oggetto:

Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN1415
Docenti
Prof. Yu Chen (Titolare del corso)
Dott. Alessandra Bernardi (Esercitatore)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF B
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Per la parte di Algebra il corso si propone di fornire agli studenti un approfondimento dello studio delle strutture algebriche astratte iniziato con il corso del primo anno generale con particolare attenzione ai fenomeni legati alla non-commutatività ed al concetto fondamentale di azione. Queste conoscenze sono basilari e propedeutiche a tutta la matematica moderna, sia teorica che applicata.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà essere in grado di risolvere esercizi sulla teoria di base e padroneggiare gli esempi significativi che verranno illustrati nel corso.

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Programma

 

(per la parte di Algebra)

Estensioni algebriche e trascendenti. Il campo dei numeri algebrici. Cenni sulla trascendenza di e e di π e sull’impossibilità della quadratura del cerchio. Il teorema fondamentale dell’Algebra.

Il teorema di omomorfismo per gli anelli e sue applicazioni.

Domini euclidei, PID, UFD.

Esempi di anelli non commutativi (anello delle matrici, algebre di quaternioni)

Corpi e teorema di Wedderburn.

Gruppi ciclici e loro struttura.

Laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Coniugio. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi.

Struttura dei gruppi abeliani finiti.

Azione di un gruppo su un insieme. Stabilizzatori e orbite. Formula di Burnside.

 

Altri argomenti (tempo permettendo):

Semplicità del gruppo alterno su almeno 5 lettere.

Non invertibilità del Teorema di Lagrange. I p-gruppi. Teoremi di Cauchy e Sylow.

Lettere, alfabeti e parole. Gruppi liberi. Presentazione di un gruppo libero come generatori e relazioni.

 

 

(for the Algebra part)

Algebraic and transcendental extensions. The field of algebraic numbers. An overview of the transendence of e and π and the impossibility of squaring the circle. The fundamental theorem of Algebra.

The homomorphism theorem for rings and applications.

Euclidean domains, PIDs, UFDs.

Examples of non-commutative rings (the ring of matrices, quaternion algebras).

Skew-fields and the theorem of Wedderburn.

Cyclic groups and their structure.

Laterals of a subgroup. Lagrange’s theorem. Group conjugation. Normal subgroups. Quotient group. Group homomorphisms.

Structure of finite abelian groups.

Group actions. Stabilizers and orbits. Burnside’s formula.

 

Other topics as time permits:

Simplicity of the alternating group on 5 letters at least.

Non-invertibility of the theorem of Lagrange. p-groups. The theorems of Cauchy and Sylow.

Letters, alphabets and words. Free groups. Presentation of a group as generators and relations.

 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

M. Artin, Algebra (Boringhieri) G. M. Piacentini-Cattaneo, Algebra, Decibel (Zanichelli) 1996 A. Mori, Lezioni di teoria dei gruppi, note manoscritte (distribuite online)



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Note

ALGEBRA 2, MFN1415 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/02, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

 

Modalità di verifica/esame: L’esame consiste di una prova scritta (risoluzione di alcuni problemi) seguita da una discussione orale.

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Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 10:20

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