- Oggetto:
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Fondamenti della Matematica
- Oggetto:
Anno accademico 2007/2008
- Codice dell'attività didattica
- M8571
- Docente
- Prof. Flavio Previale (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 5
- SSD dell'attività didattica
- MAT/04 - matematiche complementari
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di illustrare il moderno metodo assiomatico attraverso lesposizione di alcuni significativi frammenti dellAritmetica e della Teoria degli Insiemi. Tale metodo consiste nella presentazione degli assiomi non logici caratterizzanti una certa teoria e nella deduzione puramente logica, a partire da tali assiomi, dei teoremi della teoria. Il ragionamento logico può venir sviluppato (e di fatto viene sviluppato) senza passare attraverso un esplicito formalismo, ma secondo i canoni del rigore informale, stabiliti per la prima volta, con sufficiente precisione, dai Grundlagen der Geometrie di D. Hilbert.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Un obiettivo secondario del corso, che si aggiunge a quelli strettamente legati alla comprensione degli specifici argomenti trattati, e quello di fornire materiale esemplificativo per il corso di Logica Matematica, in cui la natura del ragionamento logico, nel suo duplice aspetto intuitivo e formale, viene discussa da un punto di vista teorico.- Oggetto:
Programma
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)
Insegnamenti fornitori
Discreta familiarità con il ragionamento matematico astratto
Analisi Matematica I e II, Algebra I
Competenze minime (in uscita)
Insegnamenti fruitori
Familiarità con l’uso del “rigore informale”
Tutti quelli a base matematica
Conoscenza rigorosa dei primi elementi dell’Aritmetica e della Teoria degli Insiemi
Corsi avanzati a contenuto aritmetico o insiemistico
Programma, articolazione e carico didatticoArgomento
Ore
Lezione
Totale Ore di Carico Didattico
Aritmetica del primo ordine
18
18
Teoria assoluta degli insiemi
12
12
Estensioni della teoria assoluta. Definizione e proprietà dei numeri ordinali e cardinali
15
15
Totale
45
45
Elementi di logica e cenni sulla deduzione naturale. Assiomi dell’aritmetica del 1° ordine. Primi sviluppi di tale teoria. Proprietà della divisione. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Numeri relativamente primi. Teorema cinese del resto. Ricorsione primitiva. Funzione esponenziale e gerarchia superesponenziale. Fattorizzazione prima. Numeri di sequenza. Cenni sulle teorie aritmetiche con induzione limitata.
Assiomi della teoria assoluta degli insiemi. Primi sviluppi della teoria. Insiemi induttivi o ben fondati. Principi di induzione. Insiemi e classi. Numeri ordinali e naturali. Confronto di buoni ordini. Assioma di scelta e teorema del buon ordinamento di Zermelo. Chiusura transitiva di un insieme. Principio di ricorsione. Operazioni aritmetiche sugli ordinali. La nozione di finito e l’assioma dell’infinito. Numeri cardinali. Teorema di Cantor. Operazioni aritmetiche sui cardinali. Ordinali iniziali e alephs. Teorema di Hartogs. Gerarchia degli alephs. Insiemi eredit. ben fondati. Complementi sull’assioma di scelta.Testi consigliati e bibliografia
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- Quaderni curati dal docente
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Note
Modalità di verifica/esame:
l'esame si svolge, di norma, come segue: in forma di prova orale.
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