Corso di laurea in matematica

Una buona comprensione dei contenuti dei corsi di "Analisi Matematica 2" e "Geometria 2".

Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria delle superfici topologiche e differenziabili. Presentare lo studio della curvatura di Gauss e la geometria delle superfici a curvatura speciale.

Una parte del corso verrà dedicata alle forme differenziali, all’integrazione su superfici e al Teorema di Stokes.

Vi sarà anche una introduzione al gruppo fondamentale.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968)

Conoscenza e comprensione.  Il corso introduce i concetti fondamentali della teoria delle superfici differenziali, che saranno poi utilizzati negli studi successivi. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alla geometria delle superfici (obiettivo 1), le forme differenziali e gli strumenti di base per lo studio della geometria differenziale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. La struttura teorica del corso consiste di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante (obiettivo 1), di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo delle superfici (obiettivo 2).

Autonomia di giudizio. Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo. Il confronto con i compagni di corso, nel lavoro a casa, favorisce lo sviluppo di capacità logiche per riuscire a chiarire ai compagni le proprie soluzioni (obiettivi 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni di altri permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative (obiettivo 2).

Abilità comunicative. Le discussioni sui diversi metodi per risolvere gli esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di comunicazione (obiettivo 1). In particolare lo studio delle superfici permettono di modellizzare semplici realtà fisiche allenando lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento. La rigorosa metodologia scientifica con cui gli argomenti vengono trattati permette agli studenti di proseguire gli studi, sia in Matematica sia in altre discipline, con un alto grado di autonomia (obiettivo 1). L’apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di modelli matematici sarà  utile, anche a distanza di tempo, per la formalizzazione  matematica di realtà di svariata natura (obiettivo 4).

Lo studente sarà in grado di gestire gli strumenti di base per lo studio delle superfici differenziabili e avrà acquisito dimestichezza con l’integrazione su superfici. Lo studente sarà inoltre in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli superfici differenziabili. Inoltre avra' acquisito:

1. Familiarità con ragionamenti astratti
2. Capacità di argomantare in generale e di applicare le idee ad esempi specifici
3. Alcune conoscenza di topologia e il suo ruolo nella matematica
4. Familiarità con risultati che hanno bisogno di idee topologiche nelle loro dimostrazioni.

La prova scritta è costituita da esercizi e domande di tipo teorico. La prova è valutata in 30simi. Per superare l'esame occorre raggiungere il punteggio di 18/30. Normalmente non c'è prova orale, ma la Commissione d'esame può richiedere ad uno studente di rispondere ad alcune domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Non ci saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova orale ci sarà una discussione degli errori della prova scritta. Lo studente ha il diritto di chiedere lo svolgimento di una prova orale, con le modalità descritte sopra, per modificare il voto dello scritto.

Superfici differenziabili nello spazio (I parte)

Definizione di superficie parametrizzata regolare. Esempi di parametrizzazioni locali

(riprendendo gli esempi già noti dal corso di Geometria I ed introducendone altri). Carte locali sulla superficie sferica e sul toro. Grafici di funzioni a due variabili, superfici rigate, superfici di rotazione. Vettori tangenti ad una superficie, piano tangente e campi vettoriali. Orientabilità di una superficie: il nastro di Moebius (collegamento con il programma di topologia). Metrica su una superficie: la prima forma fondamentale.

Angoli e lunghezze di curve su una superficie. Area di porzioni di superficie. k-forme differenziali. Partizione dell’unita’. Integrali superficiali. Teorema di Stokes.

Superfici chiuse e loro orientamento. Teorema di Gauss. I teoremi di Stokes e di Gauss nel linguaggio dei campi vettoriali. L'applicazione di Gauss e l'operatore di forma. La seconda forma fondamentale. Le curvature gaussiana e media. Classificazione dei punti di una superficie in base alla loro curvatura gaussiana. Curvatura normale. Curvature principali e direzioni principali di curvatura. Le geodetiche su una superficie. Definizione di superficie minimali e qualche proprieta’. Applicazione differenziabile tra due superfici. Il differenziale. Isometrie (locali e globali) tra superfici e applicazioni conformi. La deformazione isometrica dall'elicoide al catenoide. Il Teorema Egregium di Gauss.

Conclusione (nella direzione dello studio delle varieta’).

La visualizzazione geometrica del piano proiettivo. Varieta’ topologiche. Triangolazioni.

Somma connessa. Caratteristica di Eulero. Classificazione topologica delle superfici

compatte. Il concetto di omotopia e la definizione di spazio topologico semplicemente

connesso (intersezione con un eventuale corso di Analisi Complessa). Cenni sul gruppo fondamentale, esempi significativi.

N. Hitchin: Geometry of Surfaces disponibile a questo indirizzo 

C. Kowsniowski: Introduzione alla Topologia Algebrica.

S. Console, A. Fino: Geometria Riemanniana delle Superfici.

W. Kuehnel: Differential Geometry, Second Edition, AMS.