Corso di laurea in matematica

Analisi Matematica 1 - a.a. 2008/09

Anno accademico 2008/2009

Sommario insegnamento

• Obiettivi formativi
• Risultati dell'apprendimento attesi
• Programma
• Testi consigliati e bibliografia
• Note
• Strumenti didattici

Obiettivi formativi

Risultati dell'apprendimento attesi

Programma

Cenni di teoria degli insiemi.Prodotto cartesiano. Relazioni e funzioni:relazioni binarie, relazioni di ordine; funzioni iniettive, suriettive, biettive; funzione composta, funzione inversa.

2. GLI INSIEMI NUMERICI

 Gli insiemi numerici N, Z, Q ; gli assiomi di Peano, il principio di induzione, non razionalità di radice di 2 (dim).

Maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo.

Esistenza in Q di insiemi limitati privi di sup e inf.

Definizione assiomatica di R: struttura di corpo commutativo, ordinamento, assioma di completezza e la proprietà dell’estremo superiore.

Classi separate e contigue. Teorema degli intervalli incapsulati (dim).

Proprietà di Archimede, densità di Q in R (dim),esistenza della radice n.esima,potenza ad esponente reale.

Cardinalità: insiemi finiti ed infiniti; numerabilità di Q (dim); la proprietà del continuo di R (dim); il paradosso di Russel.

3. FUNZIONI REALI

Proprietà generali:Operazioni con le funzioni,funzioni limitate, monotone, pari e dispari, periodiche.

Alcune classi di funzioni elementari : Valore assoluto, segno e parte intera; polinomi e funzioni razionali; funzioni trigonometriche e loro inverse; esponenziali e logaritmi; funzioni iperboliche e loro inverse.

4.  TOPOLOGIA,CONTINUITA’, LIMITI

La topologia di R:Intorni, insiemi aperti e chiusi, punti di aderenza e di accumulazione. Teorema di

Weierstrass (4.1.25, dim)

Funzioni continue e limiti : definizione ed esempi; teorema di unicità del limite (4.3.16, dim) ;Caratterizzazione della continuità mediante il limite .Teorema della permanenza del segno (dim),teorema della limitatezza locale (dim), teorema del confronto (dim).

Algebra dei limiti e delle funzioni continue (dim), Continuità della funzione composta (dim).

5. ESTENSIONI DEL CONCETTO DI LIMITE

Limiti infiniti e all’infinito. Forme indeterminate. I teoremi di composizione dei limiti ed il cambiamento di variabile.

I teoremi di confronto per limiti infiniti . Teorema di regolarità per le funzioni monotone (dim).

Vari tipi di discontinuità, tipi di discontinuità per le funzioni monotone.

Limiti notevoli, confronto locale di funzioni, calcolo dei limiti.

6. SUCCESSIONI DI NUMERI REALI

Successioni convergenti, divergenti, indeterminate.Teorema di limitatezza di una successione convergente (dim).

Successioni monotone , teorema di regolarità per le successioni monotone ( dim) e, come applicazione la successione che converge al numero “ e” di Nepero.

Caratterizzazione della continuità e del limite mediante le successioni (dim).

Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass (dim)

Successioni di Cauchy, Criterio di convergenza di Cauchy (dim).

Cenno alle successioni definite per ricorrenza.

7.  FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI

Teorema di Weierstrass (dim); teorema di esistenza degli zeri (dim); teorema dei valori intermedi (proprietà di Darboux, dim). Proposizioni sull’immagine continua di intervalli. Continuità della funzione inversa (dim).

Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine- Cantor (dim).

Funzioni lipschitziane. La lipschitzianità come condizione sufficiente per l’uniforme continuità (dim).

8.  CALCOLO DIFFERENZIALE

La derivata di una funzione: definizione, significato geometrico e fisico. Derivata destra, derivata sinistra. Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili (dim). Differenziale ; la differenziabilità come condizione equivalente alla derivabilità (dim).

Punti di non derivabilità : angolosi, cuspidi, a tangente verticale.

Algebra delle derivate (dim); derivata della funzione composta (dim), derivata della funzione inversa (dim).

Derivate d’ordine superiore.

9.  FUNZIONI DERIVABILI IN UN INTERVALLO

Massimi e minimi relativi; teorema di Fermat (dim). Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy (dim).

Conseguenze del teorema di Lagrange: criteri di monotonia mediante il segno della derivata prima; condizioni sufficienti per gli estremi relativi: metodo di crescenza e decrescenza.

L’esistenza del limite finito della derivata come condizione sufficiente per la derivabilità (dim) e generalizzazione al caso infinito. Studio del grafico di funzione e schema relativo.

10.  LA FORMULA DI TAYLOR

Formula di Taylor con il resto di Peano (dim).Polinomi di Taylor di alcune funzioni elementari. Applicazioni al calcolo di limiti di forme indeterminate.

Formula di Taylor con il resto di Lagrange (dim). Calcoli numerici approssimati.

Covessità, concavità, flessi: metodi di studio mediante la derivata seconda.

Teorema delle derivate successive per lo studio degli estremi relativi (dim)

Teorema delle derivate successive per lo studio dei flessi (dim).

11.  INTEGRAZIONE

Costruzione dell’integrale di Riemann : definizione, proprietà.

Criterio di integrabilità; teorema di integrabilità delle funzioni continue (dim);teorema di integrabilità delle funzioni monotone (dim).

Integrale orientato. Funzioni primitive e loro caratterizzazione (dim).Teorema della media (dim).Teorema su continuità e lipschitzianità della funzione integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Formula fondamentale del calcolo integrale (dim).

Tabella degli integrali indefiniti immediati. Metodi di integrazione: decomposizione in somma, parti, sostituzione.

12.  INTEGRALI IMPROPRI

Integrali impropri su intervalli non limitati. Integrali impropri di funzioni non limitate. Esempi fondamentali.

Studio del carattere dell’integrale per funzioni di segno costante: teorema del confronto,(dim), criterio dell’ordine di infinitesimo e di infinito.(dim).

Studio del carattere dell’integrale per funzioni di segno qualsiasi: criterio dell’assoluta integrabilità .

13.  SERIE NUMERICHE

Definizione. La serie di Mengoli, la serie geometrica, la serie armonica, la serie armonica generalizzata.

La condizione necessaria di convergenza;(dim), il criterio di convergenza di Cauchy.

Studio delle serie a termini di segno costante: criterio del confronto e del confronto asintotico (dim),criterio della radice e della radice asintotico, criterio del rapporto e del rapporto asintotico, criterio integrale, criterio dell’ordine di infinitesimo (dim).

Studio delle serie a termini di segno qualsiasi : criterio della convergenza assoluta (dim).

Studio delle serie a termini di segno alterno : il criterio di Leibnitz.

14.  EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Generalità. Soluzione di un equazione differenziale :integrale generale, integrale particolare, integrale singolare.Problema di Cauchy.

Alcuni tipi di equazioni del primo ordine: a variabili separabili, lineari a coefficienti continui.

Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e alcuni casi di non omogenee.

Alcuni brevi appunti complementari:

Il materiale didattico e il programma dettagliato del corso
è reperibile sul sito:
http://math.i-learn.unito.it/

Esercizi:
- P.Marcellini, C.Sbordone. Esercitazioni di Matematica, Vol. I , parte prima - parte seconda, Liguori Editore.

Note

REGOLE dell’esame di Analisi Matematica 1 (A.A. 2009-2010)

Il regolamento attuale del CCS di Matematica prevede 3 sessioni d’esame all’anno (a Febbraio, a Giugno-Luglio, a Settembre), ogni sessione prevede 2 appelli, ogni appello è costituito da una prova scritta ed una orale.
Gli studenti si possono presentare a qualsiasi prova scritta. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per sostenere la prova orale.
L’esame scritto, una volta superato, resta valido unicamente per la sessione d’esami in cui è stato superato.
Lo studente che ha superato il primo scritto di una sessione può ripresentarsi al secondo. In tal caso, una volta consegnato, fa fede l’esito del secondo scritto.

L’iscrizione via web alla prova scritta e a quella orale sono obbligatorie

Durante la prova verranno controllate le generalità degli studenti ed è quindi necessario avere con sé il libretto universitario o un documento.

La durata della prova scritta è di 3 ore; è consentito consultare al più un foglio protocollo di appunti. Non è consentito l'uso di calcolatrici tascabili. Si richiede di usare esclusivamente penne o biro di colore blu o nero. I fogli “di bella” verranno distribuiti dalla Commissione e saranno i soli ad essere valutati. I fogli “di brutta” non vanno consegnati. Non è consentito uscire e poi rientrare. I telefoni cellulari devono essere spenti e lasciati nella borsa.

E’ necessario al momento della prova orale avere con se libretto universitario e statino.

E’ consentuto ripetere l’esame (scritto ed orale) ad ogni appello.

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