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Oggetto:
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Algebra Due

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Algebra Due

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Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
MFN1617
Docenti
Prof. Alessandro Ardizzoni (Titolare del corso)
Prof. Yu Chen (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Conoscenza delle principali strutture algebriche (gruppo, anello, campo, spazio vettoriale), delle loro proprietà di base e di alcuni esempi significativi per ciascuna di esse (gruppi di permutazioni, di classi di resto e di matrici; anelli di polinomi; quozienti di Z modulo un primo; spazi vettoriali di dimensione finita su R e su C).

Basic knowledge of the main algebraic structures (group, ring, field, vector space) and of some relevant example (permutation goups, goups of matrices; goups, rings and fields of congruence classes; polynomial rings; finitely generated vector spaces over the real and the complex field).

Propedeutico a

Gli argomenti affrontati nell'insegnamento di Algebra DUE sono alla base dello studio dell'algebra, della geometria e delle loro applicazioni e forniscono il linguaggio e le proprietà basilari di tutta la matematica contemporanea. La teoria degli anelli, in particolare degli anelli di polinomi e degli anelli ottenuti a partire dall'anello dei numeri interi, è alla base della geometria algebrica e della teoria dei numeri, nonchè delle loro applicazioni, come la teoria dei codici e la crittografia. I concetti di gruppo e di azione di azione di gruppo sono trasversali a tutta la matematica, così come la teoria dei campi e delle equazioni algebriche.

Topics covered in the teaching of Algebra TWO are the basis of the study of algebra, geometry and their applications and provide the language and the basic properties of the whole contemporary mathematics. The ring theory, in particular polynomial rings and those arising from the ring of integer numbers, is the basis of the algebraic geometry and the theory of numbers, as well as of their applications, such as coding theory and cryptography. The concept of group and that of group action are transversal to whole mathematics, as well as the theory of fields and of the algebraic equations.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'algebra è una delle discipline fondamentali e indispensabili nella
matematica moderna. L'insegnamento di Algebra DUE si propone di approfondire lo studio dell'algebra, introdotto negli insegnamenti precedenti,  sviluppando le conoscenze delle strutture algebriche, dei loro isomorfismi, delle loro sottostrutture e dei loro quozienti. 

Particolare enfasi sarà data alla chiarezza dell'espressione formale, al rigore delle argomentazioni e alla precisione del linguaggio che sono competenze che caratterizzano la formazione di ogni matematico.

Lo studio dei teoremi e delle loro dimostrazioni permetterà di  apprendere metodologie dimostrative allo scopo di sviluppare  la capacità di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose necessarie per  risolvere problemi di moderata difficoltà che richiedano  l'elaborazione di  strategie risolutive non ripetitive.

Algebra is one of the key disciplines in modern mathematics. The course Algebra DUE  aims to deepen the study of modern algebra, introduced in previous courses, developing the knowledge of algebraic structures, their isomorphisms, their substructures and their quotients.

In addition to the knowledge of the theory,  the course aims to develope  the clarity and accuracy   of  arguments and  language that any mathematician must possess.  The study of theorems and their proofs develops the capacity to  make rigorous proofs autonomously and to solve problems of moderate difficulty that  also require  original  strategies and insight.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà conoscere in modo abbastanza approfondito le principali strutture algebriche, dovrà conoscere le loro proprietà, e dovrà saper usare queste conoscenze per risolvere problemi anche di tipo teorico, formulare congetture ed elaborare semplici  dimostrazioni relative agli argomenti svolti.

Sarà  in grado di esprimere quanto studiato o elaborato autonomamente utilizzando un linguaggio rigoroso.  Sarà  in grado di  leggere e consultare  testi relativi agli argomenti svolti, anche in lingua inglese.

Students shall acquire a sufficiently deep knowledge of the main algebraic structures and their features, and will be able to use this knowledge to solve problems both of practical and theoretical type, formulate conjecture and produce simple proofs related to the topics of this course.
They will be able to express what they have learnt or produced autonomously using a rigorous language. They also will be able to read texts and books related to the course,  also in English.

 

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento viene impartito mediante lezioni frontali tenute dai docenti alla lavagna, suddivise in modo sostanzialmente equivalente tra la trattazione teorica e lo svolgimento di esercizi finalizzati all'assimilazione e all'approfondimento della teoria illustrata.

Parte degli esercizi svolti dai docenti in classe saranno comunicati con qualche giorno di anticipo, per permettere agli studenti di cimentarsi loro stessi e di trovare   nel successivo svolgimento in classe una occasione di verifica o di correzione di quanto autonomamente elaborato.

The course is taught through lectures given by the teachers at the blackboard, one half dedicated to the develop of the theory and one half to exercises that aim to deepening the comprehension of the theoretical part.
Some of the exercises carried out by the teachers  will be announced  in advance to the students, so that they can try to  solve them autonomously and compare their solutions to those proposed by the teachers.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e di un colloquio orale.

La prova scritta è costituita da esercizi, uno almeno dei quali di tipo teorico in cui si richiede di costruire una semplice dimostrazione di proprietà di una delle strutture algebriche oggetto dell'insegnamento.

La prova orale consiste in una discussione relativa a quanto è stato oggetto della prova scritta ed al suo svolgimento da parte del candidato, il cui esito sarà la conferma, con minime modifiche, del voto conseguito nella prova scritta.

A richiesta del candidato, il colloquio potrà continuare per accertare in modo più approfondito la preparazione  teorica e la comprensione di quanto affrontato nell'intero insegnamento, con la possibilità di modificare in modo sostanziale il voto della prova scritta.

The exam consists of a written test and an oral discussion.

The written part consists of exercises, one of which at least theoretical type.

The oral exam consists of  a discussion about  the written part and the conduct thereof by the candidate. The final grade  will be a substantial confirmirmation of that of the written part, with possible minor changes

At the request of the candidate, the oral exam could be  continued to assess in more details  the theoretical knowledge and deep understanding of the entire program. In this way, the final grade  could be substantially different from that of  the written test.

 

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Programma

 

Teoria degli anelli.  Ideali, quozienti di anelli e omomorfismi.  Proprietà di fattorizzazione, in particolare anelli euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unica. 

Esempi di anelli non commutativi (anello delle matrici, algebre di quaternioni).

Teoria dei gruppi:  sottogruppi normali, gruppi quoziente e omomorfismi. Classificazione dei gruppi  ciclici e dei gruppi abeliani finiti. Laterali di un sottogruppo e teorema di Lagrange.   Azione di un gruppo su un insieme, stabilizzatori e orbite.

Teoria dei campi e delle equazioni algebriche: estensioni semplici, finite e algebriche. Elementi algebrici e trascendenti. Il campo dei numeri algebrici.

Cenni alla trascendenza del numero di Nepero e di  pi greco. Applicazioni a classici problemi geometrici di costruzione con riga e compasso, come  la quadratura del cerchio.

 

Il teorema fondamentale dell'Algebra. Campo di sopezzamento di un polinomio e classificazione dei campi finiti. 

 

Cenni alla teoria di Galois.

 

 

 

Ring theory.  Ideals, quotient rings, homomorphisms.  Some special commutative rings, as  euclidean domains, unique factorization domains, principal ideal domains. Non-commutative rings: some special example, as the rings of square matrices and the quaternion algebras.

Group theory: normal subgroups, quotients groups and homomorphisms. Classification of the cyclic groups and the finite Abelian groups. Permutation groups and  the dihedral groups. Lagrange's Theorem. Group actions, stabilizers and orbits.

Field theory and algebraic equations. Simple, finite and algebraic extensions of a field. Algebraic and transcendental elements. The field of algebraic numbers.

An overview of the transendence of e and π and the impossibility of squaring the circle. The fundamental theorem of Algebra.

Splitting field of a polynomial and classification of finite fields.


Some ideas about  Galois Theory.


 

 

 

 

Testi consigliati e bibliografia

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I testi consigliati per il corso sono:
1. Piacentini Cattaneo, Algebra, Decibel e Zanichelli;
2. M.A.Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-verlag;
3. Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-verlag.

4. A.Conte, L.Picco Botta, D.Romagnoli, Algebra Levrotto&Bella.

1. Piacentini Cattaneo, Algebra, Decibel e Zanichelli;
2. M.A.Armstrong, Groups and Symmetry, Springer-verlag;
3. Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-verlag.

4. A.Conte, L.Picco Botta, D.Romagnoli, Algebra Levrotto&Bella.





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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 26/02/2019 12:57