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Istituzioni di Algebra

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Anno accademico 2006/2007

Codice dell'attività didattica
S8510
Docente
Prof. Alberto Albano
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica
Anno
4° anno 5° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
A scelta dello studente
Crediti/Valenza
7
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Sommario insegnamento

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Programma

1. Teoria degli insiemi: il sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel, principio del buon ordinamento, lemma di Zorn, il paradosso di Banach-Tarski.
2. Moduli su anelli commutativi: costruzioni fondamentali (somma diretta e prodotti tensoriale, simmetrico ed esterno), cenni di algebra omologica, proprietà di esattezza del prodotto tensoriale, teorema di classificazione dei moduli finitamente generati su un PID, forma canonica di Jordan, teorema della base di Hilbert.
3. Anelli non commutativi: esempi fondamentali di anelli non commutativi: l'algebra di gruppo K[G], quaternioni, algebre di matrici, algebre di divisione, algebre tensoriali, esterne e algebre di Clifford. Algebre di divisione finite e teorema di Wedderburn. Ideali in algebre di endomorfismi.
4. Teoria delle Rappresentazioni di Gruppi: Una rappresentazione lineare di un gruppo G è un omomorfismo di G in un gruppo di matrici, e cioè è una presentazione degli elementi di G come operatori su uno spazio vettoriale. Questa teoria è alla base di moltissima matematica e fisica contemporanea (per esempio, un modo per spiegare cosa sono le particelle elementari come i  quark, ecc. è di considerarle opportune rappresentazioni di un gruppo). Gruppi finiti: teorema di Maschke sulla riducibilità completa di una rappresentazione di un gruppo finito,  teoria dei caratteri di Frobenius, rappresentazioni di gruppi finiti di ordine piccolo.  Il teorema di Burnside sui gruppi di ordine paqb. Tabelle di Young e rappresentazioni del gruppo simmetrico Sn.

Testi consigliati e bibliografia

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Per le parti 1, 2, 3:
I.R. SHAFAREVICH, Basic Notions of Algebra (in biblioteca c'è una copia sotto il nome di Algebra I, EMS vol. 11), Springer
T.W. HUNGERFORD, Algebra, Springer GTM 73
B. L. VAN DER WAERDEN, Algebra, vol. I e II, Springer
Dispense a cura del docente.
Per la parte 4:
W. FULTON, J. HARRIS, Representation Theory, Springer GTM 129
J.-P. SERRE, Linear Representation of Finite Groups, Springer GTM 42
M.A. NAIMARK, A.I. ŠTERN, Teoria delle rappresentazioni dei gruppi, Editori Riuniti (in biblioteca c'è una copia della versione in inglese, Theory of group representations, Springer GMW 246)


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Altre informazioni

http://www.dm.unito.it/personalpages/albano/IstAlg_index.htm
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Ultimo aggiornamento: 28/08/2007 10:59

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