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Oggetto:
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Analisi Matematica 3 (DM 270) - a.a. 2014/15

Oggetto:

Mathematical Analysis 3

Oggetto:

Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN0336
Docenti
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Vivina Laura Barutello (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Analisi matematica 1, Analisi matematica 2, Geometria 1, Geometria 2.
Mathematical Analysis 1, Mathematical Analysis 2, Geometry 1, Geometry 2.
Propedeutico a
Analisi 4, Equazioni Differenziali.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso ha lo scopo di presentare alcuni complementi del calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali, alcuni  risultati basici della teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

The aim of this course is to show some advanced topics of the calculus for vector valued functions, some main results of the ODE theory, and basics of the Lebesgue measure and integration theory.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà essere in grado di:

- applicare il teorema della funzione implicita, il teorema di invertibilità locale e il teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
- discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale;
- conoscere i teoremi fondamentali della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue;
- risolvere problemi di passaggio al limite sotto il segno di integrale;
- studiare integrali dipendenti da parametro;
- risolvere semplici problemi teorici inerenti la teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.

Students should be able to:

- apply the implicit function theorem, the local inverse function theorem, and the Lagrange multiplier theorem.
- discuss the qualitative properties of a differential equation.
- know the fundamental theorems of the Lebesgue measure theory.
- solve problems concerning the limit of integrals.
- study integrals depending on a parameter.
- solve simple exercises on the Lebesgue measure theory.

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Modalità di insegnamento

Tradizionale, lavagna e gesso.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

 La prova scritta è costituita da esercizi. La prova è valutata in 30simi e dà luogo all'ammissione all'orale. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. In funzione del risultato della prova scritta, ci potranno essere una discussione degli errori della prova scritta e domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.

Written exam with exercises. Minimum to acceed to the oral exam 18/30. Oral exams on theories and proofs studied in the course.

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Attività di supporto

E' previsto un tutorato con cadenza settimanale (cfr. verranno svolti alcuni degli esercizi dei "fogli di esercizi" nella sezione "Materiale didattico").

Nota bene: gli esercizi proposti nelle schede settimanali hanno un ruolo assai importante nello studio degli argomenti del corso. Costituiscono infatti il banco di prova più affidabile per verificare se gli argomenti esposti a lezione sono stati assimilati in maniera sufficientemente profonda da riuscire a risolvere problemi che siano di un gradino appena più elevato rispetto all’applicazione automatica di definizioni e formule. È chiaro che se da un lato va bene (e, anzi, è incoraggiato) che tra compagni di classe si discuta degli esercizi proposti, d’altro lato è auspicabile che ciascuno arrivi a risolvere i problemi per proprio conto e non collettivamente o attendendo la presentazione dello svolgimento da parte del docente o di altri.

Every week some homework exercises related to the topics discussed in class will be placed in the folder "materiale didattico". 

Note: The homework problems play an important part in the study of the topics of the course; they are easily the most reliable check of your progress in assimilating the material in a manner which is sufficiently deep to allow you to solve problems which are at least one level removed from routine application of definitions and formulae. While it is quite O.K. (and even encouraged) for you to discuss the problems in general terms with your peers, it is expected that what you hand in is your own work, and not a joint project of several people or waiting for the solution from the professor or others. 

 

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Programma

1. Indice generale degli argomenti 

(a) Spazi metrici e Teorema delle contrazioni.

  • Spazi metrici e spazi normati. Norme in dimensione finita, lo spazio delle funzioni continue su un compatto.

  • Completezza. Teorema delle contrazioni.

(b) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.

  • Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.

  • Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. Studi qualitativi.

(c) Teorema delle funzione implicite e la Teoria dei moltiplicatori di Lagrange.

(d) Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue

  • Il problema della misura di un insieme di Rn. Algebre e sigma-algebre. Misure astratte. Costruzione di misure (misure esterne, misurabilità secondo Carathéodory, misure esterne metriche). La misura di Lebesgue in Rn.
  • Funzioni misurabili. Integrazione di funzioni non negative. Teorema di Beppo Levi e lemma di Fatou. Integrazione di funzioni complesse. Lo spazio L1. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Lusin. 
    Densità delle funzioni semplici in L1. Integrali dipendenti da parametro: teoremi di continuità e derivabilità rispetto al parametro. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue. Confronto tra integrale improprio e integrale di Lebesgue. 
  • Modi di convergenza: convergenza puntuale quasi ovunque, convergenza in misura, convergenza L1, convergenza quasi uniforme. Inverso del teorema di convergenza dominata. Teorema di Severini-Egoroff. 

2. Programma dettagliato con elenco delle dimostrazioni da sapere all'esame

Vedi file "Programma d'esame" nella sezione "Materiale didattico".

3. Programma dettagliato (con riferimenti bibliografici)

Spazi metrici e completezza

Spazi metrici e spazi normati: definizioni ed esempi.
Norme in dimensione finita e nello spazio delle funzioni continue su un compatto. 
Norme equivalenti. Equivalenza delle norme in dimensione finita; norme equivalenti e non nello spazio delle funzioni continue.
Successioni convergenti e successioni di Cauchy in spazi metrici. 
Spazi di Banach. Completezza di dello spazio delle funzioni continue rispetto alla norma dell'estremo superiore, 
non completezza rispetto alla norma integrale.
Teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli.

([BCFTV] Cap VII.1, VII.2, VII.3, VII.5)

Esistenza e unicità locali per il problema di Cauchy

Equazioni differenziali ordinarie: esempi, definizioni e terminologia. Regolarità delle soluzioni.
Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente.
Il pennello di Peano. Funzioni lipschitziane. Teorema di esistenza ed unicità locali. Miglioramento della stima dell'intervallo di esistenza tramite la norma esponenziale. Successione delle iterate di Picard.

([BCFTV] Cap. VIII.1, VIII.2, VIII.3 e [PS] Cap. 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3. [SaSq3] per gli esercizi)

Prolungabilità delle soluzioni del problema di Cauchy

Prolungamento di una soluzione; intervallo massimale di definizione. Teorema di esistenza ed unicità globali. Condizioni che implicano la sottolinearità. I sistemi lineari ([BCFTV] Teorema (VIII.24)). Un Teorema di confronto per equazioni differenziali ordinarie (Appunti del Docente).

([BCFTV] Cap. VIII.1, VIII.2, VIII.3 e [PS] Cap. 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.1.4. [SaSq3] per gli esercizi)

Teorema delle Funzoni Implicite e Ottimizzazione Vincolata

Teorema della funzioni Implicite (caso vettoriale, dimensione finita). Il Teorema di Inversione Locale. Ottimizzazione vincolata: il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange (caso vettoriale).

([BCFTV] Cap. VII.12, VII.13. [SaSq2] per gli esercizi)

Teoria della misura secondo Lebesgue

Il problema della misura di un insieme di Rn. Algebre e sigma-algebre. Insiemi boreliani. Misure astratte. Costruzione di misure (misure esterne, misurabilità secondo Caratheodory, misure esterne metriche). La misura di Lebesgue in Rn. L’insieme di Vitali. L’insieme ternario di Cantor. La funzione di Cantor-Vitali.

([F], [dispensa])


Teoria dell’integrazione secondo Lebesgue.

Funzioni misurabili. Integrazione di funzioni non negative. Teorema di Beppo Levi. Integrazione di funzioni reali estese e complesse. Lemma di Fatou. Teorema di convergenza dominata. Integrali dipendenti da parametro: teoremi di continuità e derivabilità rispetto al parametro. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue. Confronto tra integrale improprio e integrale di Lebesgue. Lo spazio L1 . Teorema di Lusin. Densità delle funzioni semplici in L1. Modi di convergenza: convergenza puntuale quasi ovunque, convergenza in misura, convergenza L1, convergenza quasi uniforme. Inverso del teorema di convergenza dominata. Teorema di Severini-Egoroff.

([F], [dispensa])

(a) Metric spaces and Banach fixed-point Theorem.

  • Norms in R^N and equivalence of norms in finite dimentional spaces. 

  • The space of continuous functions on a compact set.

  • Banach fixed point Theorem and applications: the Implicit Function Theorem and Lagrange multipliers.

(b) Ordinary differential equations: qualitative theory.

  • Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon.

  • Extension of solutions. Global existence.

  • Qualitative Theory.

(c) Measure and Integration: Lebesgue Theory.

  • The problem of the measure of a set of Rn. Algebras and sigma-algebras. Abstract measures. Construction of measures (outer measures, Carathéodory measurability, outer metric measures). The n-dimensional Lebesgue measure. 
  • Measurable functions. Integration of nonnegative functions. Monotone convergence theorem and Fatou lemma. Integration of complex functions. The L1 space. The dominated convergence theorem. Lusin Theorem. Density of simple functions in L1. Integrals depending on a parameter: continuity and differentiability with respect to the parameter. Riemann integral versus Lebesgue integral. Improper integral versus Lebesgue integral. 
  • Modes of convergence: pointwise a.e. convergence, convergence in measure, L1 convergence, almost uniform convergence. The inverse of the dominated convergence theorem. Severini-Egoroff Theorem.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

- V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.
- S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte seconda e parte terza, Zanichelli.
- G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience.
- Dispense sulla teoria della misura e dell'integrazione (a cura del docente)

- V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.
- S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte seconda e parte terza, Zanichelli.
- G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience.
- Lecture notes on the Lebesgue measure theory (by the lecturer)



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Orario lezioni

GiorniOreAula
Lezioni: dal 29/09/2014 al 16/01/2015

Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html

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Note

Regole d’esame

Gli appelli d’esame sono tenuti secondo il regolamento didattico del Corso di Laurea, nelle date, orari e aule indicate nella pagina web per l’iscrizione agli esami stessi. 

L'esame consta di una prova scritta e di un orale. Il voto dell’esame tiene conto dell’esito di entrambe le prove. 

All'orale si accede solo se si supera lo scritto. Lo scritto vale solo per la sessione corrispondente. 

Nelle sessioni con doppio appello (gennaio/febbraio e giugno/luglio) è possibile sostenere entrambi gli scritti. Se il candidato supera il primo e, per migliorare il voto dello scritto, partecipa anche al secondo, la consegna di quest’ultimo invalida automaticamente il primo scritto. Per mantenere valido il voto del primo, il candidato deve ritirarsi dal secondo. Il ritiro dalla prova scritta richiede una firma attestata dal docente, entro la fine dello svolgimento della prova stessa. 

Lo scritto consiste nello svolgimento di alcuni esercizi analoghi a quelli presentati a lezione. Durante la prova non si possono utilizzare calcolatrici, computer, cellulari, etc. e non si possono consultare libri, quaderni o appunti, eccezion fatta per un foglio di formato A4 su cui il candidato si sia segnato qualsiasi informazione utile per lo svolgimento degli esercizi.

L'orale consiste nell'esposizione di qualche argomento del programma, con particolare riguardo ai teoremi o altri risultati significativi elencati nel programma.

Chi non supera lo scritto, può prendere visione del proprio elaborato solo in occasione dell’orale dello stesso appello.  

AVVERTENZA IMPORTANTE PER GLI STUDENTI CHE HANNO SEGUITO IL CORSO NELL'A.A. 2012/13 O PRECEDENTI

Tutti gli studenti iscritti ad un esame vengono di norma esaminati sul programma corrente. Quelli che desiderano essere esaminati sul programma dell'a.a. 2012/13 (o precedenti) devono avvisare i docenti al momento dell'iscrizione al primo esame scritto che intendono sostenere. Tale decisione è irrevocabile.

Si fa presente che a partire dall'a.a. 2014/15 il corso di Istituzioni di Analisi Matematica della Laurea Magistrale prevede come prerequisiti argomenti attualmente nel programma del corso di Analisi 3 che NON verranno ripresi in altri corsi.

 

Exam rules

Examinations are held according to the didactic regulations of the Corso di Laurea, at the dates, times and locations indicated in the webpage for the exam registration. The exam consists of a written test and an oral. The final mark takes into account of both of the parts. 

To sit the oral, a candidate must get a positive mark to the written test. Any written test with a positive mark is valid only for the corresponding session.

At the sessions with two exams (January/February and June/July), a candidate can take both of the written tests; if he or she gets a positive mark at the first one, sits also the second written exam to improve the mark, and submits the second test for correction, the first one is automatically invalidated. Otherwise the candidate can withdraw and in this case the first written part stays valid (just for the corresponding session). Withdrawing to a written test needs a signature testified by the professor, before the end of the exam. 

The written test consists in solving some exercises similar to those presented during the lectures. At the written test, a candidate cannot use calculators, computers, or wireless communication devices.

A candidate must not bring any books, notes (in any form), except for a single A4 sized, aid sheet for his or her personal use during the exam. Both sides of the sheet may be used.

The oral part of the exam consists in displaying some topic of the program, particularly with regard to theorems or other meaningful results listed in the program.

A candidate with a negative mark to the written test can look at this only the day of the corresponding oral.

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Ultimo aggiornamento: 06/07/2015 17:14

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