Algebra 1 (DM 270) - a.a. 2013/14 - Corso di laurea in matematica

Oggetto:

Algebra 1 (DM 270) - a.a. 2013/14

Oggetto:

Algebra 1

Oggetto:

Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica

MFN1248

Docenti

Prof. Umberto Cerruti (Titolare del corso)
Prof. Margherita Roggero (Titolare del corso)
Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso)

Corso di studi

Laurea in Matematica

Anno

1° anno

Periodo didattico

Primo semestre

Tipologia

D.M. 270 TAF A - Base

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/02 - algebra

Modalità di erogazione

Tradizionale

Lingua di insegnamento

Italiano

Modalità di frequenza

Facoltativa

Tipologia d'esame

Orale

Prerequisiti

Nessuno, è un corso di base.

Oggetto:

Obiettivi formativi

Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche e le loro proprietà, in particolare gli anelli commutativi, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in concreto su C , nell'anello degli interi, nell'anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )

Conoscenza e capacità di comprensione Il corso introduce i primi concetti relativi al linguaggio matematico e all'algebra astratta (obiettivi 7 e 13). Particolare enfasi è data alla comprensione delle argomentazioni, alle difficoltà logiche e al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti. Il testo di riferimento è in italiano, ma viene altresì utilizzata durante le lezioni la terminologia in lingua inglese come avviamento alla consultazione di letteratura scientifica internazionale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione Le conoscenze teoriche presentate, vengono sempre applicate alla risoluzione di problemi specifici, anche di origine applicativa. Le esercitazioni e le attività di tutorato che affiancano il corso sono incentrate sulla risoluzione di esercizi e problemi, alcuni di tipo calcolativo, altri incentrate su ragionamenti e sulla costruzione autonoma di semplici dimostrazioni (obiettivi 1 e 3). Spesso dimostrazioni o metodi risolutivi vengono presentati anche sotto forma algoritmica, sviluppando negli studenti la capacità di strutturare procedure effettive utili in numerosi campi, non solo matematici (obiettivo 5).

Autonomia di giudizio Gli esercizi, che vengono proposti ogni settimana relativamente alla parte teorica svolta a lezione, possono venir risolti individualmente o in gruppo. Il confronto con i compagni di corso, nel lavoro a casa o durante le correzioni in aula, favorisce lo sviluppo di capacità logiche per riuscire a chiarire ai compagni o ai docenti le proprie argomentazioni (obiettivo 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. L'ascolto delle soluzioni proposta da altri permette di sviluppare la capacità di individuare strutture comuni al di là delle apparenti differenze, la capacità di affrontare il problema da un'angolazione differente ed anche la capacità di individuare errori o carenze nei ragionamenti (obiettivo 3) .

Abilità comunicative Le numerose discussioni sui diversi metodi per risolvere gli esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di comunicazione (obiettivo 1 per la lingua italiana). Vengono inoltre abitualmente utilizzate durante le spiegazioni (ed esplicitamente evidenziate in classe) alcune modalità di comunicazione matematica: presentazione dell'origine e motivazione (anche storica) dei probemi affrontati, spiegazione intuitiva del significato, definizioni rigorose, argomentazioni rigorose, illustrazione mediante esempi e contro-esempi dei risultati trovati e di quelli attesi.

Capacità di apprendimento La metodologia algebrica, che parte da problemi concreti, sviluppa metodologie risolutive, le esamina per evidenziare quali caratteristiche presenti siano irrilevanti e quali cruciali al fine di giungere alla generalizzazione delle nozioni usate e al raffinamento delle argomentazioni, costruisce negli studenti la capacità di apprendere in modo profondo e non soltanto superficiale e ripetitivo. Le conoscenze così acquisite non sono mai rigide e definitive, ma sono perfettametne adattabili ad ogni evoluzione e cambiamento di prospettiva e di contesto (obuiettivi 2,3,4).

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Saper utilizzare in modo appropriato il linguaggio insiemistico. Saper lavorare con classi di equivalenza e insiemi quozienti. Conoscere le strutture algebriche studiate, in particolare Z e C. Eseguire calcoli in anelli di classi di resto, saper risolvere congruenze e sistemi di congruenze lineari. Conoscere e utilizzare i principali risultati relativi alla fattorizzazione di polinomi nei vari anelli di polinomi considerati.Saper costruire piccole dimostrazioni, con rigore di argomentazione e precisione di linguaggio.

Oggetto:

Attività di supporto

Assegnazione settimanale di esercizi da svolgere a casa. Correzione degli esercizi svolti dal singolo studente. Tutorato in classe per la revisione di tali esercizi, la presentazione di metodi risolutivi alternativi e la discussione sugli errori più comunemente commessi.

Oggetto:

Teoria degli insiemi: notazioni, operazioni tra insiemi e loro proprietà. Corrispondenze e funzioni tra insiemi. Composizione di funzioni e proprietà relative.

Relazioni in un insieme: relazioni di ordine e di equivalenza. Insieme quoziente. Costruzione di Z e di Q.

I numeri complessi: costruzione del campo dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso. Radici n-sime dell’unità e loro proprietà.

L’anello Z dei numeri interi: proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Teorema fondamentale dell’aritmetica. L’anello delle classi di resto modulo n. Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero.

L’anello dei polinomi: Costruzione e proprietà dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Irriducibilità di polinomi in C, R, Q, Zp.

I gruppi: definizioni, esempi e proprietà generali. Il gruppo simmetrico, i gruppi diedrali e proprietà.

Gli anelli e i campi: definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell’anello di polinomi su un campo. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Caratteristica di un campo

Set theory: notations, operations and properties. Mappings and functions: composition and properties.

Relations: equivalence relations. Order relations. Quotient. Construction of Z and Q.

The field of complex numbers. De Moivre’s formula. Complex roots of unity.

The Integers: properties. Division algorithm. G.C.D and Bezout’s identity. Prime numbers. Fundamental theorem of arithmetic. Integers modulo n with applications. Fermat’s and Euler’s theorems. Linear congruences. Chinese remainder Theorem.

Polynomials: definition and properties. The division algorithm. Factorization of polynomial.

Rings and fields: definitions, examples and properties. Integral domains. Subrings. Homomorphism of rings. Ideals. Quotient rings. Quotient of Z and of polinomials rings. Field of quotients. Characteristic.

Groups: definition, examples and properties. Permutation groups. Finite symmetry groups.

Corso di laurea in matematica