- Oggetto:
- Oggetto:
Geometria Algebrica
- Oggetto:
Anno accademico 2007/2008
- Codice dell'attività didattica
- S8504
- Docente
- Prof. Alberto Collino (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea Magistrale in Matematica
- Anno
- 4° anno 5° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- A scelta dello studente
- Crediti/Valenza
- 7
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria della risoluzione di sistemi di equazioni polinomiali. La geometria algebrica studia queste soluzioni da un punto di vista globale, mediante la teoria delle varietà algebriche. Si definiranno le varietà algebriche e si tratterà delle loro prime proprietà significative.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria elementare di alcune notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare i concetti di dimensione e la costruzione di opportune corrispondenze di incidenza per provare che le superficie di grado 3 di necessità contengono rette- Oggetto:
Programma
Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita
Pre-requisiti (in ingresso)
Insegnamenti fornitori
Teoria elementare degli anelli
Algebra I
Algebra lineare elementare
Geometria II
Elementi di topologia e di geometria differenziale
Geometria III e IV
Competenze minime (in uscita)
Insegnamenti fruitori
Conoscenza dei concetti fondamentali elementari della teoria delle varietà algebriche.
i corsi di geometria e topologia della laurea magistrale
. Programma, articolazione e carico didattico
Argomento
Ore
Lezione
Totale Ore di Carico Didattico
Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert.
Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini.12
12
Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali, equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un'ipersuperficie. Prodotti.
12
12
Dimensione ed altre proprieta’.Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in una varietà algebrica. Punti singolari, i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell'intersezione con un'ipersuperficie. Il teorema sulla dimensione delle fibre.Rette su una superficie. Rette su una generica superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.
18
18
Varieta’ Algebriche notevoli
14
14
Totale
56
56
Lo studente sarà in grado di descrivere la geometria elementare di alcune
notevoli varietà algebriche, quali la grassmanniana delle rette, la varietà di Veronese e la varietà di Segre. Maneggerà i concetti di morfismi ed isomorfismi delle varietà algebriche quasi proiettive. Sarà in grado di usare i concetti di dimensione e la costruzione di opportune corrispondenze di ‘incidenza’ per provare che le superficie di grado 3 di necessità contengono rette
Richiami di algebra commutativa.
Varietà affini. Topologia di Zariski sullo spazio affine, insiemi algebrici irriducibili. Lemma di normalizzazione di Noether. Il Nullstellensatz di Hilbert.
Anello delle coordinate e applicazioni affini, morfismi e isomorfismi, varietà affini.
Varietà proiettive. Topologia di Zariski nello spazio proiettivo. Chiusura proiettiva di una varietà affine. Varietà quasi--proiettive, campo delle funzioni razionali, funzioni regolari. Morfismi e applicazioni razionali, equivalenza birazionale, varietà razionali. Ogni varietà è birazionale a un'ipersuperficie. Prodotti. L'immagine di una varietà proiettiva è chiusa.
Spazio tangente e non-singolarità, dimensione. Anello locale di un punto in una varietà algebrica. Punti singolari, i punti nonsingolari sono un aperto denso. Dimensione dell'intersezione con un'ipersuperficie. I sottoinsiemi di codimensione $1$ dello spazio affine e proiettivo sono ipersuperficie. Il teorema sulla dimensione delle fibre.
Rette su una superficie. Rette su una generica superficie. Le 27 rette sulla cubica piana.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- NOTE DATTILOSCRITTE IN ITALIANO, per consultazione:
M. REID, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press
J. HARRIS, Algebraic Geometry, Springer
SHAFAREVIC, Basic Algebraic Geometry 1, Springer - Oggetto:
Note
L'esame si svolge, di norma, come segue: prova orale.- Oggetto:
