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Calcolo delle Probabilità 2 (DM 270) - a.a. 2014/15

Oggetto:

Probability 2

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Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN0344
Docente
Prof. Laura Sacerdote (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

L’aver acquisito I concetti presentati nel corso di Calcolo delle probabilità
e Statistica è indispensabile per una buona comprensione di questo corso. Non è indispensabile aver già superato l’esame.

Concepts introduced in the Probability and Statistics course is mandatory
for a good comprehension of this course. It is not mandatory having passed the exam of that course.
Propedeutico a

I concetti introdotti in questo corso sono utili a quanti proseguano con la laurea magistrale, specie se in in ambito probabilistico. Non sono però indispensabili e lo studente potrà recuperare alcune abilità che si acquisiscono in questo corso autonomamente, seppure con un maggiore sforzo.

Contents of this course are useful to students that will pursue their career in the Master program. This is particularly true for those who want to choose a probabilistic curriculum. However this choice mandatory and the student will be able to attain by himself the abilities that are developed in this course. Of course this will request his a special effort.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di sviluppare negli studenti le capacità necessarie per formulare modelli probabilistici di situazioni di interesse applicativo. Lo studio di processi stocastici e delle relative proprietà verrà finalizzata alla formulazione di modelli relativi a situazioni reali. Tra gli obiettivi del corso vi è lo sviluppo delle capacità necessarie per la formulazione e lo studio di semplici modelli probabilistici.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",

 http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )

Conoscenza e capacità di comprensione Il corso, partendo dalle conoscenze di base relative al calcolo delle probabilità (obiettivo 3), introduce i primi concetti relativi ai processi stocastici, utili per lo sviluppo di semplici modelli stocastici e per il loro studio (obiettivo 17). Alcuni esercizi proposti, legayi alla simulazione di modelli, richiedono la scrittura di semplici programmi con software scelti dallo studente in base alle sue competenze computazionali e informatiche (obiettivo 18). Il corso utilizza un testo in inglese, adottato in larghissimo numero di università nel mondo. Questa scelta favorisce l’abitudine alla lettura di letteratura matematica in lingua inglese.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione  Il corso presenta nozioni relative ai processi stocastici, evitando l’utilizzo della teoria della misura, non vengono quindi presentati alcuni risultati che richiederebbero mezzi astratti. Si considerano solo risultati trattabili con i mezzi a disposizione a uno studente triennale. Questo non impedisce allo studente di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria importanza. lavorandoci in modo rigoroso e riuscendo a dimostrare autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula (obiettivo 1). Il corso è orientato alla soluzione di problemi, che vengono regolarmente assegnati, corretti dal docente e poi discussi in aula. Tali esercizi sono parte integrante della prova d’esame (obiettivi 2,3,4). In alcuni casi la soluzione degli esercizi può svvenire anche con l’ausilio di strumenti computazionali o informatici (obiettivo 5)


Autonomia di giudizio  Gli esercizi che vengono proposti possono venir risolti individualmente o in gruppo. Il confronto con i compagni di corso, nel lavoro a casa o durante le correzioni in aula, favorisce lo sviluppo di capacità logiche per riuscire a chiarire ai compagni le proprie soluzioni (obiettivo 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni di altri permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative (obiettivo 3) .


Abilità comunicative Le numerose discussioni sui diversi metodi per risolvere gli esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di comunicazione (obiettivo 1 pwe la lingua italiana). Inoltre la formalizzazione in modelli di semplici realtà fisiche, informatiche o biologiche allena lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico, presentando risultati di studi matematici (obiettivo 2). Il corso utilizza un testo in lingua inglese, rendendo familiare per lo studente l’uso scientifico di tale lingua (obiettivo 3)

Capacità di apprendimento Il corso fornisce alcuni concetti di base della teoria dei processi stocastici che saranno utili a quanti proseguiranno per avere in mente semplici esempi che illustreranno concetti più astratti (obiettivo 1). Gli stessi concetti, specie quelli relativi alla modellizzazione, potranno essere di estrema utilità in ambito lavorativo (obiettivo 2). L’apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di modelli matematici potrà poi rivelarsi utile, anche a distanza di tempo, per la formalizzazione logica o matematica di realtà di svariata natura (obiettivo 4).

Students will develop the necessary skills to write down simple
probabilistic models of applied interest. The introduction of stochastic
processes and their properties is always motivated by the wish to
develop models for observed phenomena. Aim of the course include the
development of the abilities for the formulation and the study of simple
stochastic models

DUBLIN DESCRIPTORS (see

http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )

Knowledge and understanding: The course introduces first topics in
Stochastic Processes Theory making use of basic knowledge learnt in the
Probability and Statistics course (goal 3). The aim is to give to the
student the necessary tools for the development of simple stochastic
models and for their study (goal 17). Some model simulation exercises
request the development of simple software programs. The choice of the
software is made by the student in accordance with his computational
and computer science skills (goal 18). The textbook is in English and its
use is common to many universities in the world. This choice helps the
student to get used to English for scientific purposes

Applying knowledge and understanding:
The introduction of stochastic processes theory is performed avoiding the
use of measure theory concepts. Too abstract concepts are not
considered in this course. The discussed results can be dealt at the level
of an undergraduate student. This approach is not incompatible with a
good understanding of important concepts and with a rigorous work on
them. The student becomes used to proof by himself results analogous to
those discussed during the lessons (goal 1). Main goal of the course is to
help the student to develop skills necessary for stochastic problem
solving. To attain this aim exercises are regularly assigned and
individually corrected. A discussion in class on the most interesting
mistakes helps to improve individual criticism. These exercises are
considered as part of the final exam (goals 2,3,4). Sometimes the
solution of exercises requests the use of computational tools or suitable
software (goal 5)

Making judgements:
Teamwork is allowed for the solution of assigned exercises. Group
discussions home or during the lessons are encouraged to develop logic
abilities and to improve communication skills (goals 1 and 4). Often the
solution technique for the proposed exercises is not unique. Students are
invited to present their solution to the class. Abilities in recognizing possible mistakes and understanding details in alternative proofs are developed through exercises discussions (goal 3)

Communication
Communication skills are improved defending individual approach to the
exercise solution (goal 1 for Italian language). The student improves his
ability to communicate with non mathematical people through his effort
to model features of physical, computer science or biological facts and
reporting the results suggested by the formulated model (goal 2). The
textbook is in English, making the student used to English for scientific
purposes (goal 3)


Learning skills .
The concepts introduced in this course will be useful to students that will
pursue their studies at the master level. Indeed they will have clear
examples in their mind for the more abstract concepts that will be part of
their future studies (goal 2). The same concept, with special regard to
modeling skills, will be useful for many different job activities (goal 2).
Learning the scientific method is basic to develop mathematical models
and it will be useful in the future activities of the student, to formalize
different facts (goal 4).

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi
di processi stocastici a tempo e spazio discreti. Capacità di utilizzare le
proprietà del Processo di Poisson e i processi Markoviani in ambito
modellistica. Sviluppo delle abilità necessarie per la formulazione di
modelli stocastici di interesse per le applicazioni.

Knowledge of methods useful to study some classes of stochastic processes. Ability in using Poisson and Markov processes to model observed facts. Development of abilities useful to propose and study stochastic models of applied interest.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Durante il corso verranno distribuiti 4 fogli di esercizi la cui soluzione è parte integrante dell'esame. Prima dell'apertura della sessione esami lo studente verrà informato della valutazione globale degli esercizi consegnati. Tale voto risulterà il voto massimo per l'esame, qualora lo studente decida di non risolvere esercizi durante la seduta di esame. Chi non avesse consegnato gli esercizi durante l'anno o chi non fosse soddisfatto della valutazione ottenuta, dovrà risolvere degli esercizi prima di sostenere la parte orale dell'esame, che comprende due domande sulla teoria. E' ammesso il lavoro di gruppo per la soluzione degli esercizi distribuiti durante l'anno.
During the course exercises are regularly requested (4 sheets of exercises). Grading of these exercises is part of the final grade that cannot overtake this initial grade. Oral exam, solution of exercises is request during the test to students that did not the requested exercises during the semester or to those wishing to improve their initial grade. Group work is admitted to solve distributed exercises
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Programma

Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni (tempo medio per il riapparire di un pattern). 
Catene di Markov: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite; applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore. 
Distribuzione esponenziale e processo di Poisson: principali proprietà ed esempi di applicazioni: problemi di code, di affidabilità. Processo di Poisson composto .
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte. 
Moto Browniano e processi stazionari: distribuzione del massimo, tempo di prima uscita. Moto Browniano geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo delle opzioni e modello di Black and Scholes. 

 

Jointly distributed random variables;  conditional probability and conditional expectation; examples (mean time for patterns)

Markov chains; Chapman Kolmogorov equation; classification of states; limiting probabilities; examples (random walk, gambler’s ruin).

 

The exponential distribution and the Poisson process; examples (queue problems; reliability problems); compound Poisson process.

Continuos-time Markov chains: birth and dead processes.

Brownian motion and stationary stochastic processes; maximum variable; geometric Brownian motion; example: Black and Scholes option pricing formula.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Ross S.M. Introduction to probability models. Academic Press, 2003.



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Orario lezioni

GiorniOreAula
Lezioni: dal 29/09/2014 al 16/01/2015

Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html

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Note

CALCOLO DELLE PROBABILITA' 2, MFN0344 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/06, TAF B (caratt.), Ambito formazione modellistico-applicativa.

Modalità di verifica/esame (scritto, orale, scritto e orale congiunti, scritto e orale separati, voto o giudizio): Esame: orale comprende la soluzione di esercizi.

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Ultimo aggiornamento: 06/07/2015 17:14

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