- Oggetto:
Geometria
- Oggetto:
Anno accademico 2007/2008
- Codice dell'attività didattica
- MF014
- Docenti
- Prof. Gian Mario Gianella (Titolare del corso)
Dott. Elisabetta Ambrogio (Esercitatore) - Corso di studi
- Laurea Triennale Interfacoltà in Matematica per la Finanza e l'Assicurazione
- Anno
- 1° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- Di base
- Crediti/Valenza
- 12
- SSD dell'attività didattica
- MAT/03 - geometria
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Questo corso di propone di fornire agli studenti le nozioni base sulle varietà differenziabili e sulla geometria
Riemanniana, prestando una particolare attenzione agli esempi significativi. Queste conoscenze sono
propedeutiche a diversi argomenti, quali: lo studio delle varietà simplettiche e complesse, la teoria delle
rappresentazioni e la fisica matematica.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Lallievo dovrà acquisire una sufficiente padronanza degli argomenti trattati che gli consenta di risolvere
esercizi su classi particolari di varietà differenziabili e Riemanniane. Inoltre dovrà essere in grado di
affrontare in modo autonomo lo studio delle teorie matematiche e fisiche basate su varietà differenziabili o
pseudo-Riemanniane.- Oggetto:
Programma
I filoni proposti sono: Calcolo vettoriale elementare (nello spazio) e Algebra lineare (su R e su C). Geometria analitica nel piano e nello spazio e riduzione delle coniche e delle quadriche a forma canonica (dal punto di vista affine euclideo).Algebra lineare Sistemi lineari e matrici (sia a coefficienti reali sia a coefficienti complessi). L’insieme dei numeri complessi. Rappresentazione cartesiana e polare di un numero complesso (legame con la geometria analitica nel piano). Equazioni lineari. Sistemi lineari. Sistemi equivalenti e metodo di riduzione di Gauss. Definizione di matrice. Somma di due matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice. Prodotto di matrici. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. Rango di una matrice ridotta per righe. Rango di una matrice qualsiasi (solo come calcolo). Teorema di Rouche-Capelli. Sistemi lineari omogenei. Matrice inversa e proprieta’. Legame tra una matrice invertibile e il rango. Calcolo della matrice inversa con il metodo di riduzione. Trasposta di una matrice. Matrici di tipo particolare: diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche, ortogonali. La traccia di una matrice quadrata. Definizione di determinante mediante la prima regola di Laplace. Proprieta’ dei determinanti. Legami tra l'inversa di una matrice ed il suo determinante. Calcolo dell’inversa e seconda regola di Laplace. Legame tra rango e determinante. Teorema di Cramer.Calcolo vettoriale nello spazio. Definizione di vettore. Somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. Dipendenza lineare. Basi e dimensione. Interpretazione geometrica della dipendenza, indipendenza lineare. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Cambiamento di base. Angolo tra due vettori. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Calcolo in componenti. Proiezione ortogonale di un vettore su un altro vettore e su un piano vettoriale. Il cambiamento di base nello spazio (tra basi qualsiasi, tra basi ortonormali). Le matrici ortogonali. Caso del piano: le rotazioni.Spazi vettoriali e sottospazi. Definizione di spazio vettoriale costruito su un campo (evidenziando il caso reale e complesso, ma facendo anche esempi nel caso di qualche campo finito). Sottospazi vettoriali. Sottospazi notevoli degli spazi vettoriali delle matrici. Intersezione di sottospazi. Somma di sottospazi. Somma diretta e teoremi relativi. Generatori di uno spazio vettoriale. Vettori linearmente indipendenti e non. Basi e dimensione. Rango di una matrice. Teorema di nullita’ piu’ rango. Cambiamento di base. Iperpiani vettoriali. Spazio vettoriale quoziente, definizione e teoremi relativi (legame con Algebra).Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare tra due spazi vettoriali. Prime proprieta’. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali. Definizione di ker f e di im f e teoremi relativi. Teorema fondamentale delle applicazioni lineari; matrice associata ad un'applicazione lineare ed equazioni di un'applicazione lineare. Determinazione di ker f e di im f. Determinazione dell'immagine e della controimmagine di sottospazi vettoriali. Teorema del Rango: ossia dim ker f + dim im f = dim V. Isomorfismi di spazi vettoriali.Il cambiamento di base come esempio di isomorfismo. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra due spazi. Matrice associata alla composizione di applicazioni lineari e conseguenze. Legame tra le infinite matrici associate alla stessa applicazione lineare. Matrici simili e loro proprieta’ comuni. Definizione di autovalore, autovettore e autospazio di un'applicazione lineare. Equazione caratteristica. Somma diretta di autospazi. Relazione tra la dimensione di un autospazio e la molteplicita’ dell'autovalore relativo. Applicazioni lineari semplici e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e loro conseguenze. Il Teorema di Cayley-Hamilton (solo enunciato).Spazi vettoriali Euclidei e Hermitiani. Definizione di spazio vettoriale euclideo. Norma di un vettore, teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare, angolo tra due vettori. Ortogonalita’, basi ortonormali. Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale. Matrici ortogonali e cambiamento di base. Definizione di spazio vettoriale Hermitiano ed esempi. Versione nel caso Hermitiano dei risultati sopra elencati. I gruppi di matrici:GL(n,R), GL(n,C), SL(n,R), SL(n,C), O(n), SO(n),U(n). Matrici Hermitane e matrici simmetriche. Definizione di endomorfismo aggiunto e di endomorfismo autoaggiunto, proprieta’. Il teorema spettrale (caso complesso e caso reale).Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale: definizione, base duale. Isomorfismo canonico tra uno spazio vettoriale e il suo duale nel caso degli spazi euclidei. Spazio biduale, isomorfismo canonico. Applicazione lineare trasposta, proprieta’. Forme bilineari simmetriche reali, matrice associata, relazione tra le matrici associate alla stessa forma bilineare simmetrica, dopo un cambiamento di base. Forme quadratiche e loro classificazione. Forme canoniche di una forma quadratica. Forma normale. Segnatura e Teorema di Sylvester (senza dimostrazione). Cenni sul caso complesso.Geometria Analitica nel piano e nello spazio:Geometria analitica nel piano.(Ripasso delle nozioni impartite nella scuola secondaria superiore se non sono state oggetto del precorso) Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimento polare, coordinate polari. Equazione della retta: rappresentazione cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette nel piano. Distanza di un punto da una retta. Asse di un segmento. La circonferenza: rappresentazione cartesiana, equazioni parametriche. Posizione reciproca retta/circonferenza e tra due circonferenze. Potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Fasci di circonferenze. Studio delle equazioni di secondo grado in due incognite. Matrici associate ad una conica. Invarianti di una conica per rototraslazione del sistema di riferimento. Coniche degeneri. Classificazione affine euclidea delle coniche. Riduzione dell'equazione di una conica in forma canonica. Determinazione delle equazioni del relativo cambiamento di riferimento. Il gruppo delle isometrie del piano (affine).Geometria analitica nello spazio. Riferimento cartesiano. Coordinate cartesiane. Riferimenti polari: coordinate cilindriche e sferiche. Il piano: rappresenatazione parametrica e cartesiana. La retta: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche. Fasci di piani. Distanze. Angoli. Perpendicolare comune a due rette sghembe. La sfera: rappresentazione parametrica e cartesiana. Posizioni reciproche: piano-sfera (piano tangente), retta-sfera. La circonferenza nello spazio: rappresentazione parametrica e cartesiana. Coni, cilindri, superfici di rotazione. Quadriche (rigate e non). Quadrighe ridotte a forma canonica.Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
Note
Modalità di verifica/esame
Lesame consiste in una prova orale sugli argomenti trattati nel corso. Prima dellorale gli studenti devono aver consegnato gli esercizi assegnati durante le lezioni.- Oggetto:
