Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Logica Matematica 2

Oggetto:

Mathematical logic 2

Oggetto:

Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
MAT0066
Docente
Prof. Matteo Viale (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
1° anno 2° anno 3° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/01 - logica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti

Familiarità con le nozioni apprese nell'insegnamento di logica del primo semestre del terzo anno della LT.

The student should be familiar with the contents of the logic course held during the first semester of the third year of the LT.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, l'insegnamento si propone di permettere allo studente di familiarizzare con alcune nozioni centrali della logica e di vedere come queste nozioni siano collegate al resto della matematica. Verranno anche studiate applicazioni alla topologia generale ed alla combinatoria infinita.

Through the course, the student will be acquainted with central notions in logic, in order to see how these notions are entangled in the remainder of mathematics. The course will also present basic applications to general topology and infinite combinatorics.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà mostrare di essere in grado di applicare le tecniche apprese nello studio di problemi elementari quali: uso dell'assioma di scelta nello studio di problemi di topologia generale e combinatoria infinita, uso della compattezza in problemi algebrici e analitici.

The student should be able to apply the techniques taught in the course to tackle elementary problems such as: using the axiom of choice for problems in general topology and infinite combinatorics, using compactness for algebraic and analytic problems.

Oggetto:

Modalità di insegnamento

Lezioni alla lavagna o mediante diapositive, ed esercitazioni. In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, la didattica sarà garantita in remoto e sarà costituita da attività sincrone e asincrone.

Lectures at the blackboard, possibly with slides, and exercises. Following regulations in the midst of the Covid-19 pandemic, online lectures and exercises will be provided, both live and in streaming.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prove scritta e orale costituite da esercizi e problemi riguardanti argomenti svolti a lezione e a esercitazioni. La prova scritta è valutata in 30simi.

In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, gli esami potranno essere svolti a distanza, mediante la piattaforma istituzionale Webex e Moodle.

There will be a written and oral exam, consisting of exercises and questions about the contents of the lectures and the exercises. The grade is on a scale of 0 to 30.

Following regulations in the midst of the Covid-19 pandemic, online exams could be held, on Webex and Moodle.

Oggetto:

Attività di supporto

Verranno assegnati esercizi e problemi da risolvere da soli o in gruppo. Questi serviranno sia come attività tutoriale che come bonus per la valutazione finale.

We will give exercises and problems that can be solved as a group work. These will serve both pedagogically, and could also serve as bonus in the final exam.

Oggetto:

Programma

TOPOLOGIA GENERALE:

Algebre di Boole

-algebre di Boole, anelli booleani e dualità di Stone con la categoria degli spazi compatti zero-dimensionali

-completezza dell’algebra degli insiemi Lebesgue misurabili/modulo Lebesgue nulli

-algebre di Boole complete, loro rappresentazione come algebre di aperti regolari di uno spazio topologico e loro dualità con la categoria degli spazi compatti estremamente disconnessi


Compattezza

-Nozioni di base sulla convergenza generalizzata (nets e loro proprietà e caratterizzazioni della compattezza per spazi topologici non primo numerabili)

-Teorema di Tychonoff sulla compattezza per gli spazi prodotto

-Teorema di compattificazione di Stone-Cech per spazi di Tychonoff

 

A seconda degli interessi degli studenti sarà approfondito qualcuno tra i seguenti temi:

COMBINATORIA INFINITA (Teoremi di Ramsey e di Hindman e qualche applicazione)
MODELLI BOOLEANI (Semantica e sintassi dei modelli booleani, teorema di correttezza e teorema di Los per modelli booleani, loro correlazione con ultraprodotti e con il metodo del forcing, esempi e controesempi)
QUALCHE CENNO DI TEORIA DELLE CATEGORIE (in particolare i concetti necessari a apprezzare in pieno la portata della dualità di Stone, e.g. aggiunzioni e equivalenze categoriali)

 

 

GENERAL Topology:

Boolean Algebras

-Boolean algebras, boolean rings, Stone duality

-Completeness of  the algebra of Lebesgue measurable sets modulo Lebesgue null sets.

-Complete Boolean algebras, their representation as algebras of regular open sets and their duality with  the category of compact extremally disconnected spaces.


Compactness

-Basic notion on generalized convergence (nets and their basic properties, characterization of compactness for spaces which are not first countable)

-Tychonoff's theorem on the compactness of product spaces

-Stone-Cech's comaptification theorem for Tychonoff spaces

 

Depending on the interests of the students we will develop some of the following topics:

INFINITE COMBINATORICS (Ramsey and Hindman's Theorems with some applications)
BOOLEAN VALUED MODELS (Semantics and syntax of boolean valued models, correctness theorem and Los theorem for boolean valued models, correlation of boolean valued models with the usual ultraproduct construction and with forcing, examples and counterexamples)
ELEMENTS OF CATEGORY THEORY (A focus on the concepts needed to fully appreciate the import fo Stone duality, e.g. adjunctions and categorial equivalences)

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

Dispense dei docenti. Testi ausiliari possono essere:

G.K. Peters, Analysis now, GTM, Springer, 1989

Lecture notes distributed by the teachers. Auxiliary texts could also be:

G.K. Peters, Analysis now, GTM, Springer, 1989

 

 



Oggetto:

Orario lezioni

Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 09/02/2021 13:44

Non cliccare qui!