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Oggetto:
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Algebra 1 (DM 270) - a.a. 2012/13

Oggetto:

Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN1248
Docenti
Prof. Daniela Romagnoli (Titolare del corso)
Prof. Margherita Roggero (Titolare del corso)
Prof. Marco Burzio (Esercitatore)
Prof. Alberto ALBANO (Esercitatore)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
1° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF A
Crediti/Valenza
9
SSD dell'attività didattica
MAT/02 - algebra
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Conoscere il linguaggio della teoria degli insiemi per formulare correttamente affermazioni matematiche e costruire in modo rigoroso semplici dimostrazioni. Saper riconoscere in astratto le principali strutture algebriche e le loro proprietà, in particolare gli anelli commutativi, i domini di integrità e i campi. Saper lavorare in concreto su C , nell'anello degli interi, nell'anello delle classi di resto e negli anelli di polinomi a coefficienti in C,R,Q e nel campo delle classi di resto modulo un primo.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Saper utilizzare in modo appropriato il linguaggio insiemistico. Saper lavorare con classi di equivalenza e insiemi quozienti. Conoscere le strutture algebriche studiate, in particolare Z e C. Eseguire calcoli in anelli di classi di resto, saper risolvere congruenze e sistemi di congruenze lineari. Conoscere e utilizzare i principali risultati relativi alla fattorizzazione di polinomi nei vari anelli di polinomi considerati.

Oggetto:

Programma

 

 

Teoria degli insiemi: notazioni, operazioni tra insiemi e loro proprietà. Corrispondenze e funzioni tra insiemi. Composizione di funzioni e proprietà relative.

Relazioni in un insieme: relazioni di ordine e di equivalenza. Insieme quoziente. Costruzione di Z e di Q.

I numeri complessi: costruzione del campo dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Radici n-sime di un numero complesso. Radici n-sime dell’unità e loro proprietà.

L’anello Z dei numeri interi:  proprietà di Z. Algoritmo di divisione. M.C.D e identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Teorema fondamentale dell’aritmetica. L’anello delle classi di resto modulo n. Invertibilità delle classi di resto. Campi Zp. Applicazioni delle congruenze. Il piccolo teorema di Fermat e applicazioni. Congruenze lineari e loro risoluzione. Il teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero e il teorema di Eulero.

L’anello dei polinomi: Costruzione e  proprietà dell’anello di polinomi in una variabile a coefficienti in un campo: divisione tra polinomi, M.C.D, fattorizzazione. Irriducibilità di polinomi in C, R, Q, Zp.

I gruppi: definizioni, esempi e proprietà generali. Il gruppo simmetrico, i gruppi diedrali e proprietà.

Gli anelli e i campi: definizioni ed esempi, proprietà generali. Sottoanelli. Omomorfismi tra anelli. Ideali. Anello quoziente. I teoremi di omomorfismo e di isomorfismo tra anelli. Ideale generato da un sottoinsieme. Ideali primi e massimali e teoremi relativi. Ideali di Z e dell’anello di polinomi su un campo. Campo dei quozienti di un dominio di integrità. Caratteristica di un campo

 

Set theory: notations, operations and properties. Mappings and functions: composition and properties.

Relations: equivalence relations. Order relations. Quotient. Construction of Z and Q.

The field of complex numbers. De Moivre’s formula. Complex roots of unity.

The Integers: properties. Division algorithm. G.C.D and Bezout’s identity. Prime numbers. Fundamental theorem of arithmetic. Integers modulo n with applications. Fermat’s and Euler’s theorems. Linear congruences. Chinese remainder Theorem.

Polynomials: definition and properties. The division algorithm. Factorization of polynomial.

Rings and fields: definitions, examples and properties. Integral domains. Subrings. Homomorphism of rings. Ideals. Quotient rings. Quotient of Z and of polinomials rings. Field of quotients. Characteristic.

Groups: definition, examples and properties. Permutation groups. Finite symmetry groups.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

A.Conte-L.Picco Botta-D.Romagnoli ALGEBRA Levrotto & Bella Torino



Oggetto:

Note

ALGEBRA 1, MFN1248 (DM270), 9 CFU: 9 CFU MAT/02, TAF A (Base), Ambito Formazione matematica di base 

Modalità di verifica/esame: L'esame consiste in una prova scritta articolata in due parti: la prima prevede lo svolgimento di esercizi e la seconda domande di tipo teorico. E' possibile sostenere più volte la prova scritta ma ogni scritto consegnato annulla lo scritto precedente . Al superamento della prova scritta può seguire una eventuale prova orale a richiesta dello studente oppure della commissione d'esame.

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Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 10:19

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