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Oggetto:
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Analisi Matematica 3 (DM 270) - a.a. 2013/14

Oggetto:

Mathematical analysis 3

Oggetto:

Anno accademico 2013/2014

Codice dell'attività didattica
MFN0336
Docenti
Prof. Paolo Caldiroli (Titolare del corso)
Prof. Vivina Laura Barutello (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Per gli appelli consultare il campo 'Note' della pagina del Corso
Prerequisiti
Gli studenti devo aver assimilato i contenuti dei corsi di Analisi 1, Analisi 2, Geometria 1, Geometria 2.
Propedeutico a
Analisi 4, Equazioni Differenziali.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso presenta alcuni complementi del calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali, la teoria elementare delle equazioni differenziali ordinarie e i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue. Al termine del corso lo studente dovrà conoscere il Teorema della Funzione Implicita, la Teoria dei Moltiplicatori di Lagrange, i teoremi fondamentali sulle soluzioni di un problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale ordinaria, la teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue. 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studenti dovrà essere in grado di:

  • applicare il Teorema della Funzione Implicita, il Teorema di Invertibilità Locale, e il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange;
  • discutere le proprietà qualitative delle soluzioni di un’equazione differenziale;
  • risolvere problemi di passaggio al limite sotto il segno di integrale;
  • studiare integrali dipendenti da parametro;
  • risolvere semplici problemi teorici inerenti la teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue.
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Modalità di verifica dell'apprendimento

Verranno messe nella sezione "materiale didattico" schede di esercizi su ciascun argomento trattato a lezione. Alcuni di questi potranno essere discussi durante il tutorato.

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Attività di supporto

E' previsto un tutorato con cadenza settimanale (cfr. fogli di esercizi nella sezione "Materiale didattico").

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Programma

 

1. Indice generale degli argomenti 

(a) Spazi metrici e Teorema delle contrazioni.

  • Spazi metrici e spazi normati. Norme in dimensione finita, lo spazio delle funzioni continue su un compatto.

  • Completezza. Teorema delle contrazioni.

(b) Equazioni differenziali ordinarie: teoria qualitativa.

  • Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale. Pennello di Peano.

  • Prolungamento delle soluzioni. Esistenza globale. Studi qualitativi.

(c) Teorema delle funzione implicite e la Teoria dei moltiplicatori di Lagrange.

(d) Teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue

  • Il problema della misura di un insieme di Rn. Algebre e sigma-algebre. Misure astratte. Costruzione di misure (misure esterne, misurabilità secondo Carathéodory, misure esterne metriche). La misura di Lebesgue in Rn.
  • Funzioni misurabili. Integrazione di funzioni non negative. Teorema di Beppo Levi e lemma di Fatou. Integrazione di funzioni complesse. Lo spazio L1. Teorema di convergenza dominata. Teorema di Lusin.
    Densità delle funzioni semplici in L1. Integrali dipendenti da parametro: teoremi di continuità e derivabilità rispetto al parametro. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue. Confronto tra integrale improprio e integrale di Lebesgue.
  • Modi di convergenza: convergenza puntuale quasi ovunque, convergenza in misura, convergenza L1, convergenza quasi uniforme. Inverso del teorema di convergenza dominata. Teorema di Severini-Egoroff. 

2. Programma dettagliato con elenco delle dimostrazioni da sapere all'esame

Vedi file "Programma d'esame" nella sezione "Materiale didattico".

3. Programma dettagliato (con riferimenti bibliografici)

Spazi metrici e completezza

Spazi metrici e spazi normati: definizioni ed esempi.
Norme in dimensione finita e nello spazio delle funzioni continue su un compatto.
Norme equivalenti. Equivalenza delle norme in dimensione finita; norme equivalenti e non nello spazio delle funzioni continue.
Successioni convergenti e successioni di Cauchy in spazi metrici.
Spazi di Banach. Completezza di dello spazio delle funzioni continue rispetto alla norma dell'estremo superiore,
non completezza rispetto alla norma integrale.
Teorema delle contrazioni di Banach-Caccioppoli.

([BCFTV] Cap VII.1, VII.2, VII.3, VII.5)

Esistenza e unicità locali per il problema di Cauchy

Equazioni differenziali ordinarie: esempi, definizioni e terminologia. Regolarità delle soluzioni.
Problema di Cauchy e formulazione integrale equivalente.
Il pennello di Peano. Funzioni lipschitziane. Teorema di esistenza ed unicità locali. Miglioramento della stima dell'intervallo di esistenza tramite la norma esponenziale. Successione delle iterate di Picard.

([BCFTV] Cap. VIII.1, VIII.2, VIII.3 e [PS] Cap. 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3. [SaSq3] per gli esercizi)

Prolungabilità delle soluzioni del problema di Cauchy

Prolungamento di una soluzione; intervallo massimale di definizione. Teorema di esistenza ed unicità globali. Condizioni che implicano la sottolinearità. I sistemi lineari ([BCFTV] Teorema (VIII.24)). Un Teorema di confronto per equazioni differenziali ordinarie (Appunti del Docente).

([BCFTV] Cap. VIII.1, VIII.2, VIII.3 e [PS] Cap. 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.1.4. [SaSq3] per gli esercizi)

Teorema delle Funzoni Implicite e Ottimizzazione Vincolata

Teorema della funzioni Implicite (caso vettoriale, dimensione finita). Il Teorema di Inversione Locale. Ottimizzazione vincolata: il Teorema dei Moltiplicatori di Lagrange (caso vettoriale).

([BCFTV] Cap. VII.12, VII.13. [SaSq2] per gli esercizi)

Teoria della misura secondo Lebesgue

Il problema della misura di un insieme di Rn. Algebre e sigma-algebre. Insiemi boreliani. Misure astratte. Costruzione di misure (misure esterne, misurabilità secondo Caratheodory, misure esterne metriche). La misura di Lebesgue in Rn. L’insieme di Vitali. L’insieme ternario di Cantor. La funzione di Cantor-Vitali.

([F], [dispensa])


Teoria dell’integrazione secondo Lebesgue.

Funzioni misurabili. Integrazione di funzioni non negative. Teorema di Beppo Levi. Integrazione di funzioni reali estese e complesse. Lemma di Fatou. Teorema di convergenza dominata. Integrali dipendenti da parametro: teoremi di continuità e derivabilità rispetto al parametro. Confronto tra integrale di Riemann e integrale di Lebesgue. Confronto tra integrale improprio e integrale di Lebesgue. Lo spazio L1 . Teorema di Lusin. Densità delle funzioni semplici in L1. Modi di convergenza: convergenza puntuale quasi ovunque, convergenza in misura, convergenza L1, convergenza quasi uniforme. Inverso del teorema di convergenza dominata. Teorema di Severini-Egoroff.

([F], [dispensa])

(a) Metric spaces and Banach fixed-point Theorem.

  • Norms in R^N and equivalence of norms in finite dimentional spaces. 

  • The space of continuous functions on a compact set.

  • Banach fixed point Theorem and applications: the Implicit Function Theorem and Lagrange multipliers.

(b) Ordinary differential equations: qualitative theory.

  • Cauchy problem. Local existence and uniqueness. Peano phenomenon.

  • Extension of solutions. Global existence.

  • Qualitative Theory.

(c) Measure and Integration: Lebesgue Theory.

  • The problem of the measure of a set of Rn. Algebras and sigma-algebras. Abstract measures. Construction of measures (outer measures, Carathéodory measurability, outer metric measures). The n-dimensional Lebesgue measure.
  • Measurable functions. Integration of nonnegative functions. Monotone convergence theorem and Fatou lemma. Integration of complex functions. The L1 space. The dominated convergence theorem. Lusin Theorem. Density of simple functions in L1. Integrals depending on a parameter: continuity and differentiability with respect to the parameter. Riemann integral versus Lebesgue integral. Improper integral versus Lebesgue integral.
  • Modes of convergence: pointwise a.e. convergence, convergence in measure, L1 convergence, almost uniform convergence. The inverse of the dominated convergence theorem. Severini-Egoroff Theorem.
 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

[BCFTV] V. Barutello, M. Conti, DL. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.

[PS] C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi Matematica 2, Masson Editore.

[SaSq2] S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte seconda, Zanichelli.

[SaSq3] S. Salsa e A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Parte terza, Zanichelli.

[F] G. B. Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience.

[dispensa] Note del docente sulla teoria della misura e dell'integrazione. (disponibili nella sezione "Materiale didattico")

 



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Note

 

Regole per l’esame di Analisi matematica 3 - A.A. 2013/2014

 

Norme generali 

 

Nell’anno accademico in corso sono previsti cinque appelli d’esame, ripartiti in tre sessioni. L’esame consiste di una prova scritta e una orale. Date, orari e luoghi di svolgimento delle prove sono indicati sulla pagina web di iscrizione all'esame. L’orale può essere svolto previo superamento dello scritto. 

 

Modalità di iscrizione 

 

L’iscrizione alla prova scritta va effettuata per via elettronica secondo le modalità previste. Gli studenti interessati a svolgere l’esame sono pregati di iscriversi sia alla prova scritta sia a quella orale. Gli studenti che, avendo superato lo scritto, intendono sostenere l’esame orale devono presentarsi all’inizio dell’orale. In quel momento verrà fatto l’appello e verrà definito il calendario di svolgimento degli orali. 

 

Validità dello scritto 

 

Nella sessione ad appello unico, lo scritto, se superato, vale solo per l’orale dello stesso appello. Nelle sessioni a doppio appello lo scritto superato al primo appello viene considerato valido per entrambe le prove orali della stessa sessione a meno che lo studente superi il primo orale ma rifiuti il voto. In questo caso dovrà rifare lo scritto. Se invece sostiene il primo orale ma con esito negativo, lo scritto gli viene tenuto valido anche per il secondo orale. Se in una sessione a doppio appello uno studente supera il primo scritto e non sostiene l’orale dello stesso appello oppure lo sostiene con esito negativo, pur mantenendo valido lo scritto per il secondo orale, può svolgere anche il secondo scritto ma in tal caso, a meno che non si ritiri, invalida automaticamente il primo scritto. 

 

Norme di svolgimento dello scritto 

 

Durante la prova scritta non è possibile utilizzare calcolatrici o altro, né consultare testi o appunti eccezion fatta per un foglio A4 su cui lo studente si sia preliminarmente appuntato qualsiasi informazione utile (formule, teoremi, tabelle, etc.). Di norma, durante lo svolgimento dello scritto, non è possibile uscire dall’aula fino al termine della prova o alla consegna definitiva dell’elaborato. Il testo dello scritto va sempre consegnato, anche in caso di ritiro. L’eventuale ritiro va dichiarato esplicitamente e personalmente al docente presente in aula. Gli elaborati degli studenti che si ritirano dalla prova non vengono corretti. Gli studenti che superano lo scritto ne prendono visione nel momento in cui sostengono l’orale. Gli studenti che non superano lo scritto e intendono prenderne visione, possono farlo solo in occasione dell’orale dello stesso appello. 

 

Norme di svolgimento dell’orale 

 

L’orale consiste in una breve discussione della prova scritta, nell’esposizione di teoremi o nella presentazione di argomenti del programma. 

 

AVVERTENZA IMPORTANTE PER GLI STUDENTI FUORI CORSO

Tutti gli studenti iscritti ad un esame vengono di norma esaminati sul programma corrente. Quelli che desiderano essere esaminati sul programma dell'a.a. 2012/13 (o precedenti) devono avvisare i docenti al momento dell'iscrizione al primo esame scritto che intendono sostenere. Tale decisione è irrevocabile.

Si fa presente che a partire dall'a.a. 2014/15 il corso di Istituzioni di Analisi Matematica della Laurea Magistrale prevede come prerequisiti argomenti attualmente nel programma del corso di Analisi 3 che NON verranno ripresi in altri corsi.

 



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Ultimo aggiornamento: 26/03/2015 12:47

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