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Geometria 3 (DM 270) - a.a. 2012/13

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Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN0349
Docenti
Prof. Alberto Collino (Titolare del corso)
Prof. Michele Rossi (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF B
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Presentare i concetti fondamentali della topologia delle superficie compatte e quelli elementari  della teoria delle superfici differenziabili. Si affronta inoltre  lo studio della curvatura di Gauss e la Geometria delle superfici a curvatura speciale. Una parte del corso verrà dedicata alle forme differenziali, all’integrazione su superfici e al Teorema di Stokes.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente sarà in grado di gestire gli strumenti di base per lo studio delle superfici differenziabili e avrà acquisito dimestichezza con l’integrazione su superfici. Lo studente saprà    descrivere la geometria di alcune notevoli superfici e conoscera' la classificazione delle superficie topologiche.

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Programma

Superfici differenziabili nello spazio (I parte)

Definizione di superficie parametrizzata regolare. Esempi di parametrizzazioni locali

(riprendendo gli esempi già noti dal corso di Geometria I ed introducendone altri). Carte locali sulla superficie sferica e sul toro. Grafici di funzioni a due variabili,  superfici rigate, superfici di rotazione. Vettori tangenti ad una superficie, piano tangente e campi vettoriali. Orientabilità di una superficie: il nastro di Moebius (collegamento con il programma di topologia). Metrica su una superficie: la prima forma fondamentale.

Angoli e lunghezze di curve su una superficie. Area di porzioni di superficie. k-forme differenziali. Partizione dell’unita’. Integrali superficiali. Teorema di Stokes.

Superfici chiuse e loro orientamento. Teorema di Gauss. I teoremi di Stokes e di Gauss nel linguaggio dei campi vettoriali. L'applicazione di Gauss e l'operatore di forma. La seconda forma fondamentale. Le curvature gaussiana e media. Classificazione dei punti di una superficie in base alla loro curvatura gaussiana. Curvatura normale. Curvature principali e direzioni principali di curvatura. Le geodetiche su una superficie. Definizione di superficie minimali e qualche proprieta’. Applicazione differenziabile tra due superfici. Il differenziale. Isometrie (locali e globali) tra superfici e applicazioni conformi. La deformazione isometrica dall'elicoide al catenoide. Il Teorema Egregium di Gauss.

Conclusione (nella direzione dello studio delle varieta’).

La visualizzazione geometrica del piano proiettivo. Varieta’ topologiche. Triangolazioni.

Somma connessa. Caratteristica di Eulero. Classificazione topologica delle superfici

compatte. Il concetto di omotopia e la definizione di spazio topologico semplicemente

connesso (intersezione con un eventuale corso di Analisi Complessa). Cenni sul gruppo fondamentale, esempi significativi.

Differentiable surfaces. Definition of regular surface. Examples of local charts. Local charts in the torus and the standard sphere.

Tangent vectors on a surface, tangent plane and vectors fields. 

Orientation of a surface and the study of the Moebius strip. Metric on a surface: the first fundamental form.

k-differential forms. Partition of the unity. Integrals on surfaces. Stokes’ Theorem.

Closed surfaces. The theorem of Gauss.

The Gauss operator. The second fundamental form. The Gauss and the mean curvature.

Principal curvature and principal directions.

Geodesics. Minimal surfaces. Maps between surfaces. Isometries. Gauss Egregium Theorem.

Topological manifolds. Topological classification of surfaces.

Topics on the fundamental group.

Testi consigliati e bibliografia

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(A) PER LA PARTE SULLE  1-FORME DIFFERENZIALI :

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone:

(i) Elementi di Analisi Matematica due                LIGUORI ED.

(ii) Esercizi di Matematica Volume II - Tomo 4    LIGUORI ED.

(B)  PER LA PARTE SULLA TOPOLOGIA E GEOMETRIA DIFFERENZIALE DELLE  SUPERFICIE:

Hitchin: Geometry of Surfaces  ( si trovano qui: http://people.maths.ox.ac.uk/hitchin/hitchinnotes/hitchinnotes.html ).   

(C) Un testo del nostro dipartimento: P.M. Gandini, S. Garbiero: Appunti di Geometria III.

(D) Si consiglia fortemente agli studenti di scaricare inoltre (per esempio su una 'chiavetta') il materiale didattico del corso. Si trovano li' note ed appunti di cui faremo spesso uso o riferimento nelle lezioni e che in ogni caso e' utile consultare.

 

 

 

 

 



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Note

GEOMETRIA 3, MFN0349 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/03, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

Modalità di verifica/esame: Esame orale.

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Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 10:31

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