- Oggetto:
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Algebra e applicazioni
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Algebra and Applications
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Anno accademico 2020/2021
- Codice dell'attività didattica
- MAT0136
- Docente
- Prof. Andrea Mori (Titolare del corso)
- Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/02 - algebra
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
- E' richiesta una conoscenza della teoria delle strutture algebriche fondamentali (Algebra 1), dell'algebra lineare (Geometria 1) e della topologia associata ad uno spazio metrico (Geometria 2). Eventuali altre nozioni preliminari verranno discusse alla bisogna.
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Sommario insegnamento
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Obiettivi formativi
Obiettivo dell'insegnamento è di fornire un'introduzione ad alcune metodologie aritmetiche motivate dalla soluzione di problemi elementari.
The goal of the course is to provide an introduction to some techniques in arithmetic that are motivated by elementary problems.
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Risultati dell'apprendimento attesi
Ci si aspetta che gli studenti acquisiscano una conoscenza del materiale presentato che permetta la risoluzione di problemi ed esercizi e che possa servire da base per ulteriori approfondimenti.
It is expected that the students will acquire a knowledge of the material that would make them able to solve problems and exercises and that would serve a starting point for further developments.
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Modalità di insegnamento
Lezioni in presenza (se possibile)
Lectures in class (if possible)
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame consisterà di uno scritto ed un colloquio orale. Il voto sarà espresso in trentesimi.
The exam will consist of a written test followed by an interview. The vote will be given out of a scale of 30.
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Attività di supporto
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Programma
Terne pitagoriche, coniche e quadriche.
Richiami della teoria delle congruenze. Campi finiti. Legge di reciprocità quadratica.
Equazioni diofantee: considerazioni generali. L'equazione di Pell.
Il campo dei numeri p-adici e la sua struttura algebrica e topologica. Equazioni p-adiche. Il lemma di Hensel.
Proprietà locali e globali del simbolo di Hilbert. Studio delle forme quadratiche sul campo dei numeri p-adici e sul campo razionale. Principio di Hasse.
Rivisitazione di risultati classici di Gauss e Lagrange.
Pythagorean triples, conics and quadrics.
Review of the theory of congruences. Finite fields. Law of qadratic reciprocity.
Generalities about diophantine equations. Pell's equation.
The field of p-adic numbers, algebraic and topological structure. p-adic equations. Hensel's lemma.
Local and global properties of the Hilbert symbol. Quadratic forms over the p-adic numbers and the rationals. Hasse principle.
Reinterpretation of classical results of Gauss and Lagrange.
Testi consigliati e bibliografia
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Gli argomenti seguiranno la traccia dei primi capitoli di
J.P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer GTM 7.
Verranno distribuite note manoscritte ad integrazione.
The lectures will follow the exposition in the first chapters of
J.P. Serre, A course in Arithmetic, Springer GTM 7.
Also, some manuscript notes will be distributed.
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Note
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