- Oggetto:
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Analisi Matematica 4 (DM 270) - a.a. 2013/14
- Oggetto:
Mathematical analysis 4
- Oggetto:
Anno accademico 2013/2014
- Codice dell'attività didattica
- MFN0338
- Docenti
- Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Gianluca Garello (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
- Analisi Matematica 1,2,3.
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di perfezionare la conoscenza dell’analisi matematica di base, allo scopo di fornire maggiori strumenti agli studenti che intraprendono un percorso di studio della matematica di tipo teorico.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza più approfondita delle equazioni differenziali ordinarie e delle loro applicazioni.
Conoscenza delle proprietà delle funzioni di una variabile complessa e loro applicazione.
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
Scritto e orale. Importante: 1) Gli studenti che hanno superato la prima prova scritta della sessione di giugno-luglio possono sostenere l'orale in una delle due prove orali della sessione di giugno-luglio.Gli studenti che hanno superato la seconda prova scritta della sessione di giugno-luglio possono sostenere l'orale solo nella sessione di giugno-luglio. 2) Chi si presenta al primo orale e risulta insufficiente o si ritira dopo la proclamazione del voto deve ripetere lo scritto. 3) Gli studenti che hanno superato la prova scritta di settembre, gennaio, febbraio possono sostenere l'orale solo in settembre, gennaio, febbraio rispettivamente. Gli studenti che hanno seguito il corso in anni precedenti rispettano le modalita' d'esame dell'anno in cui hanno frequentato.
- Oggetto:
Programma
1. Complementi sul Problema di Cauchy per Equazioni Differenziali Ordinarie: lemma di Gronwall, dipendenza continua della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali, dipendenza derivabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali [PSV].
2. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Matrice Wronskiana. Teorema di Liouville (Cf. [BCFTV],[PS],[HS], [HK]). Oscillazioni libere, smorzate e forzate. Risonanza (Cf. [PS]).
3. Equazioni differenziali autonome. Le nozioni di punto di equilibrio e di stabilità (Cf. [HK],[HS]). Equazioni differenziali autonome in R^2. (Cf. [BCFTV],[HS]). Integrali primi. Orbite di un sistema piano. Studio dell'equazione del pendolo semplice nel piano delle fasi.
4. Sistemi lineari piani del tipo x'=Ax. Esponenziale di una matrice. Studio della stabilità dell'origine mediante gli autovalori di A (Cf. [BCFTV],[PS],[HS]). Sistemi non lineari piani. Il metodo di linearizzazione (Cf. [HK]).
5. Serie di potenze in campo complesso. Funzioni olomorfe e condizioni di Cauchy-Riemann.
6. Integrazione di funzioni complesse lungo curve. Indice di avvolgimento. Teorema di Cauchy e sue applicazioni. Formula integrale di Cauchy e teoremi fondamentali sulle funzioni olomorfe.
7. Teorema dei residui, singolarità e serie di Laurent.
1. More on the Cauchy problem: Gronwall's lemma, Continuous dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data, differentiable dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data.
2. Linear differential equations of order n. Systems of first order linear differential equations. Wronskian. Liouville theorem. Oscillations and the concept of resonance.
3. Autonomous ordinary differential equations. Equilibris and their stability. Equations in R^2. First integrals. Orbits of a planar systems. The simple pendulum and the Lotka-Volterra system in the phase plane.
4. Planar linear systems of the form x'=Ax. Exponential of a matrix. Stability of the origin through the eigenvalues of A. Nonlinear planar systems. The linearization method.
5. Complex power series. Elementary trascendental functions in the complex plane.
6. Cauchy-Riemann equations. Analytic functions. Analiticity of power series. Analytic prolongation principle. Zeros of analytic functions. Meromorphic functions and their poles.
7. Index of a path with respect to a point. Cauchy theorem and Cauchy integral formula. Analiticity of holomorphic functions. Liouville theorem. Fundamental thoerem of algebra. Laurent series. Residual theorem. Computation of integrals by the residues method.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica - Con elementi di geometria e calcolo vettoriale - Vol.2, Apogeo (Capitolo VIII).
- Cecconi-Stampacchia, Analisi Matematica 2, Liguori.
- Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi matematica 2, Masson Editore.
- Piccinini-Stampacchia-Vidossich: Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.
- Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill.
- M. Spiegel, Variabili Complesse, Collana Schaum, McGraw-Hill.
- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
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Note
ANALISI MATEMATICA 4, MFN0338 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.
Modalità di verifica/esame: scritto e orale.
Per una piena comprensione degli argomenti svolti dalla prof. Capietto e' indispensabile avere gia' (almeno) seguito Analisi Matematica 3. Il programma non presenta sovrapposizioni con il corso di Equazioni Differenziali, che tutta via e' consigliato soprattutto agli studenti interessati all'Analisi Matematica e alle sue applicazioni. Per informazioni, approfondimenti ed esercizi relativi alla parte svolta dalla prof. Capietto si veda
http://www.personalweb.unito.it/anna.capietto/AnalisiQuattro.html
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