Istituzioni di Analisi Matematica - a.a. 2008/09 - Corso di laurea in matematica

Oggetto:

Istituzioni di Analisi Matematica - a.a. 2008/09

Oggetto:

Anno accademico 2008/2009

Codice dell'attività didattica

Vedi Avvalenza

Docente

Prof. Angelo Negro (Titolare del corso)

Corso di studi

Laurea Specialistica in Matematica

Anno

4° anno 5° anno

Periodo didattico

Primo semestre

Tipologia

Altre attività

Crediti/Valenza

SSD dell'attività didattica

MAT/05 - analisi matematica

Mutuato da

Cod. MFN0070 Ambito A - Cod. MFN0071 Ambito B

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione dei concetti, delle strutture e dei risultati fondamentali dellAnalisi funzionale e della Teorie della misura, attraverso unampia ed articolata visione panoramica dei numerosi temi principali e delle loro interconnessioni, accompagnata da dimostrazioni rigorose di molti teoremi, selezionati sia per la loro importanza, sia per il valore paradigmatico delle dimostrazioni . Queste conoscenze sono essenziali per uno studio di livello magistrale ed eventualmente successivo in molte discipline matematiche.
Lallievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di dimostrare i teoremi fondamentali del programma desame con capacità critica di analizzare sia il ruolo relativo delle ipotesi, sia la portata conseguente delle tesi.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Spazi di Banach. Operatori lineari continui. Spazi di Hilbert. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti
Spazi di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza. Teoremi di Baire.
Teoremi fondamentali dellAnalisi funzionale.
Covergenze forti e deboli.
Teoremi di punto fisso. Teoremi di min-max. Equilibri di Nash.
Spazi di misura. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue astratto.
Spazi L^p

Oggetto:

Programma

Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita

Pre-requisiti (in ingresso)	Insegnamenti fornitori
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di variabili reali	Analisi Matematica I, II, III e IV
Qualche cenno sugli spazi di probabilità e sulle variabili aleatorie	Calcolo delle Probabilità I
Algebra lineare e Geometria Euclidea	Geometria I e II
Elementi di topologia generale	Geometria III

Competenze minime (in uscita)	Insegnamenti fruitori
Spazi di Banach. Operatori lineari continui. Spazi di Hilbert. Autovalori di operatori autoaggiunti compatti	Gran parte dei corsi della Laurea Magistrale, particolarmente quelli di Analisi Matematica
Spazi di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza. Teoremi di Baire.
Teoremi fondamentali dell’Analisi funzionale. Covergenze forti e deboli.
Teoremi di punto fisso. Teoremi di min-max. Equilibri di Nash.
Spazi di misura. Funzioni misurabili. Integrale di Lebesgue astratto. Spazi L^p

Programma, articolazione e carico didattico

Argomento	Ore Lezione	Totale Ore di Carico Didattico
Spazi di Banach. Operatori lineari continui.	6	6
Spazi di Hilbert.	5	5
Autovalori di operatori autoaggiunti compatti.	4	4
Spazi di funzioni continue su compatti: Stone-Weierstrass, Equicontinuità e compattezza.	7	7
Teoremi di Baire.	2	2
Uniforme limitatezza, applicazione aperta e grafico chiuso.	4	4
Spazi localmente convessi. Hahn-Banach e sue prime conseguenze.	3	3
Covergenze forti e deboli.	2	2
Teoremi di punto fisso.	3	3
Cenni alla teoria dei giochi. Min-max. Equilibri di Nash.	5	5
Spazi di misura. Funzioni misurabili.	5	5
Integrale di Lebesgue astratto. Sigma additività, assoluta continuità, passaggio al limite sotto segno di integrale	7	7
Spazi L^p. Completezza. Cenni sulla dualità.	3	3
Totale	56	56

Funzioni continue: teorema di Stone-Weierstrass e teoremi di Ascoli su equicontinuità e compattezza.
Spazi di Banach, operatori lineari, equazioni integrali.
Teoria elementare degli spazi di Hilbert.
Cenni sugli autovalori e le autofunzioni degli operatori autoaggiunti.
Punti fissi e punti di equilibrio.
I teoremi fondamentali dell'analisi funzionale.
Duale topologico, convergenza debole, compattezza sequenziale.
Spazi di misura. Funzioni misurabili. Misure prodotto. Completameto di misure. Misure regolari e misure di Radon.
Integrale di Lebesgue astratto. Spazi Lp. Convergenza in norma, debole, q.o. , in misura.

Programma d'esame: v.Materiale didattico

Descrizione

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

A. NEGRO, Teoria della misura, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica dellUniversità di Torino n. 7, giugno 2001
A. NEGRO, Elementi di Analisi Funzionale, Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica dellUniversità di Torino n. 32, aprile 2005

Oggetto:

Note

L'esame si svolge, di norma, come segue:

Esame orale, durante il quale il candidato dovrà saper esporre i concetti fondamentali e i risultati fondamentali con unanalisi critica dei loro collegamenti e del contesto nel quale si collocano. Il candidato dovrà inoltre essere in grado di esporre in modo chiaro e convincente qualche dimostrazione rigorosa.

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