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Oggetto:
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Matematiche Elementari p.v.s.

Oggetto:

Anno accademico 2007/2008

Codice dell'attività didattica
S8518
Docente
Prof. Livia Giacardi (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea Magistrale in Matematica
Anno
4° anno 5° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
A scelta dello studente
Crediti/Valenza
7
SSD dell'attività didattica
MAT/04 - matematiche complementari
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

- Presentare gli aspetti teorici e fondazionali di alcuni importanti capitoli della teoria dei numeri mostrando le connessioni con altri rami della matematica e delle scienze in genere
- Illustrare l’evoluzione storica dei concetti e dei metodi
- Avviare alla ricerca attraverso lo studio e l’analisi di articoli e attraverso esercizi e problemi
Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

L’allievo deve essere in grado di
- padroneggiare dal punto di vista teorico gli argomenti di teoria elementare dei numeri affrontati nel corso
- usare le conoscenze acquisite per risolvere esercizi e problemi
- conoscere l’evoluzione storica dei principali concetti e metodi presentati
Oggetto:

Programma

. Pre-requisiti in ingresso e competenze minime in uscita

 

Pre-requisiti (in ingresso)

Insegnamenti fornitori

Conoscenze di base di algebra e di analisi

Algebra 1

 

Analisi 1




 


competenze minime (in uscita)

Insegnamenti fruitori

Conoscenza degli aspetti teorici, fondazionali e storici di alcuni importanti capitoli della teoria dei numeri

Storia delle matematiche

 

 

Fondamenti delle matematiche

 

Didattica della matematica

Programma, articolazione e carico didattico

 

Argomento

Ore

Lez.

Ore

Esercit.

Ore

Seminario

Totale Ore di Car. Didattico

Le origini arcaiche; la Scuola pitagorica; La scoperta delle grandezze incommensurabili e il problema di Teodoro di Cirene; Euclide: l'algoritmo euclideo; infinità dei numeri primi; numeri perfetti; Archimede e il problema dei buoi; Diofanto: algebra sincopata, equazioni indeterminate; Aryabhata e le equazioni diofantee lineari; Bhaskara II e il metodo ciclico per risolvere equazioni del tipo

x2 =Ny2 + 1  ; Dagli arabi a Fibonacci; P. de Fermat: metodo della discesa infinita, dai numeri perfetti al piccolo teorema di Fermat, lettere a Carcavi, a Mersenne e a Frenicle de Bessy; Alcuni contributi di  Lagrange, di  Euler e di Gauss.

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1

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Introduzione alle frazioni continue. L’algoritmo di Euclide e le frazioni continue sviluppo di razionali. Ridotte e loro proprietà. Equazioni diofantee lineari e frazioni continue.

Sviluppo in frazioni continue di irrazionali quadratici. Ridotte di una frazione continua illimitata. Teoremi di approssimazione. Interpretazione geometrica delle frazioni continue. L'equazione   x2 = ax + 1 , digressioni sulla sezione aurea. Frazioni continue periodiche pure. Teoremi.

Irrazionali quadratici ridotti. Rappresentazione grafica del carattere periodico dei quozienti completi.

Il teorema di Lagrange. La frazione continua sviluppo di N (N >0, non quadrato perfetto). L’equazione di Pell  x2_ Ny2 = +- 1. Teorema di Legendre sull’equazione

x2 - Ny2 = - 1. Come ottenere le altre soluzioni dell’equazione di Pell a partire da quella minima.

8

4

2

14

Alcuni teoremi relativi all’approssimazione diofantea. Il teorema di Hurwitz.

4

1

1

6

Introduzione alle congruenze. Loro proprietà. Congruenze lineari. Il piccolo teorema di Fermat: la dimostrazione di J. Ivory, la generalizzazione di Euler. Proprietà della funzione phi(m) di Euler. Il teorema cinese dei resti. Teorema di Euler e teorema di Wilson. Le congruenze e i criteri di divisibilità. Congruenze algebriche. Congruenze relative a un modulo primo.

Residui k-esimi rispetto al modulo p, residui quadratici: generalità. Radici primitive, indici e loro utilizzo. I residui quadratici, il simbolo di Legendre per la caratteristica quadratica di un intero a rispetto a un primo p. Criterio di Euler per la caratteristica quadratica di a. Il lemma di Gauss. La legge di reciprocità quadratica.

I fondamenti dell’aritmetica secondo Dedekind e Peano

8

 

 

 

4

 

 

6

4

 

 

 

1

2

14

 

 

 

5

 

 

6

 

Introduzione alla teoria dei numeri. Aspetti storici e fondazionali

I temi  affrontati:
 Fattorizzazione e numeri primi - Frazioni continue - Alcune equazioni diofantee - Congruenze e loro applicazioni - Residui quadratici e reciprocità
Aspetti storici connessi :
Le origini arcaiche; la Scuola pitagorica; La scoperta delle grandezze incommensurabili e il problema di Teodoro di Cirene; Euclide: l'algoritmo euclideo; infinità dei numeri primi; numeri perfetti; Archimede e il problema dei buoi; Diofanto: algebra sincopata, equazioni indeterminate; Aryabhata e le equazioni diofantee lineari; Dagli arabi a Fibonacci; P. de Fermat: metodo della discesa infinita, dai numeri perfetti al piccolo teorema di Fermat, lettere a Carcavi, a Mersenne e a Frenicle de Bessy; Alcuni contributi di J.-L. Lagrange e di L. Euler.
Aspetti fondazionali:
I fondamenti dell’aritmetica in Dedekind e in Peano
Esercizi, applicazioni e lettura di testi opportunamente scelti

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

I testi base consigliati per il corso sono:
H. DAVENPORT, Aritmetica superiore. Un’introduzione alla teoria dei numeri, Bologna, Zanichelli, 1994
C.D. OLDS, Frazioni continue, Bologna, Zanichelli, 1963
K. ROSEN, Elementary Number Theory and its Applications, Addison-Wesley, 1993
A. WEIL, Number Theory. An Approach through History from Hammurabi to Legendre, Boston, Birkhäuser 1983.

È consigliato l’utilizzo del seguente materiale per approfondimenti e integrazioni:
G.H. HARDY, E. M. WRIGHT, An introduction to the theory of numbers, Oxford, Clarendon Press, 1960
L. E. DICKSON, History of the theory of numbers, Washington, Carnegie Institution of Washington, 1919-1923, 3 voll.
C. BREZINSKI, History of Continued Fractions and Padé Approximants, Springer-Verlag, 1991
Infine sono di seguito indicati siti internet di interesse:
http://www.numbertheory.org/ntw/
http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/cerruti/
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Indexes/Number_Theory.html



Oggetto:

Note

. Modalità di verifica/esame

L'esame si svolge, di norma, come segue:
Seminario tenuto dallo studente su temi complementari alle lezioni scelti in accordo col docente
Prova orale in cui si mira a valutare le competenze teoriche sulla materia del corso, quelle storiche e la capacità di applicarle a esercizi o problemi.

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Ultimo aggiornamento: 19/06/2008 11:13

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