Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Geometria 1 (DM 270) - a.a. 2012/13

Oggetto:

Anno accademico 2012/2013

Codice dell'attività didattica
MFN0347
Docenti
Prof. Elsa Abbena (Titolare del corso)
Prof. Cinzia Casagrande (Titolare del corso)
Dott. Alessandra Bernardi (Esercitatore)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 - TAF B
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base per risolvere problemi di algebra lineare e geometria analitica, di fornire abilità rivolte alla soluzione di esercizi ed alla comprensione di teorie più avanzate. Ulteriore finalità è la preparazione dello studente all’applicazione delle nozioni apprese ad altre discipline scientifiche.

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà acquisire le principali nozioni teoriche e la capacità di svolgere esercizi su spazi vettoriali, applicazioni lineari, forme bilineari, forme quadratiche, coniche, geometria analitica nel piano e nello spazio.

Oggetto:

Programma

 

 

Sistemi lineari: risoluzione mediante il metodo di riduzione di Gauss. Matrici: rango e operazioni con le matrici. Determinanti e regola di Laplace. Teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.

Calcolo vettoriale nello spazio: operazioni tra vettori, basi ortonormali; prodotti scalare, vettoriale e misto di vettori.

Spazi vettoriali su un campo K: definizione, sottospazi vettoriali; somma ed intersezione di sottospazi; somma diretta di sottospazi. Generatori e basi e dimensione di uno spazio vettoriale.

Spazi vettoriali Euclidei ed Hermitiani: prodotti scalari, disuguaglianze di Cauchy-Schwartz e Minkovsky. Ortogonalità, basi ortonormali, procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, complemento ortogonale. Matrici associate a prodotti scalari.

Applicazioni lineari: definizione, matrici associate alle applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di sottospazi vettoriali, nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Endomorfismi ed isomorfismi di spazi vettoriali.

Autovalori, autovettori e autospazi di un endomorfismo; polinomio caratteristico, somma diretta di autospazi. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione e conseguenze. Endomorfismi autoaggiunti e teorema spettrale per le matrici simmetriche. Isometrie di spazi vettoriali con prodotto scalare.

Forme lineari e bilineari. Forme lineari e spazio duale. Spazio biduale, isomorfismo canonico ed applicazione lineare trasposta.. Forme bilineari simmetriche: matrici associate, forme quadratiche reali e loro classificazione. Forma canonica e forma normale di una forma quadratica. Segnatura di una forma quadratica e teorema di Sylvester.

Geometria analitica nel piano e nello spazio: coordinate cartesiane, rette, piani, sfere circonferenze e loro rappresentazioni. Fasci di  piani e di sfere. Posizioni reciproche, distanze ed angoli fra rette e piani. Coniche e quadriche: forma canonica e riduzione a forma canonica.

 

Linear systems: solutions with the Gauss reduction method. Matrices: rank and operations with matrices.

Determinants and Laplace’s rule. Theorems of Rouchè-Capelli and Cramer.

Vector calculus in space: operations with vectors, othonormal basis. Scalar, vector and mixed product of vectors.

Vector spaces over a field K: definition, linear subspaces. Sum and intersection of linear subspaces. Direct sum of subspaces. Generators, basis and dimensions of vector spaces.

Euclidean and Hermitian vector spaces: inner products, Cauchy-Schwartz and Minkovsky inequalities. Orthogonality, orthonormal basis, Gram-Schmidt orthogonalisation process, orthogonal complement. Matrices associated to inner products.

Linear maps: definitions, matrices associated to linear maps. Image and inverse image of subspaces, kernel and image of a linear map. Isomorphisms of linear spaces.

Eigenvalues, eigenvectors and eigenspaces of an endomorphism. Characteristic polynomial, direct sum of eigenspaces. Diagonalizable endomorphisms and matrices. Diagonalization criteria and consequences. Selfadjoint endomorphisms and spectral theorem for symmetric matrices. Isometries of inner product spaces.

Linear and bilinear forms. Linear forms and dual space. Bidual space, canonical isomorphism and transpose of a linear map. Symmetric bilinear forms: associated matrices, real quadratic forms and their classification. Canonical and normal form of a quadratic form. Signature of a quadratic form and Sylvester theorem.

Analytic geometry in plane and space: cartesian coordinates, lines, planes spheres and circles and their representations. Pencils of planes and spheres. Reciprocal positions, distances and angles between lines and planes. Conics and quadrics: canonical form and reduction to canonical form.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

H. Anton, Elementary linear algebra, Wiley and Sons. Ed., 2005 K. Nicholson, Algebra lineare, McGrow-Hill Ed., 2002 S. Greco, P. Valabrega, Algebra Lineare, Levrotto e Bella Editore, 2009 S. Greco, P. Valabrega, Geometria analitica, Levrotto e Bella Editore, 2009



Oggetto:

Note

GEOMETRIA 1, MFN0347 (DM270), 12 CFU: 12 CFU, MAT/03, TAF B (Caratterizzante), Ambito Formazione Teorica

Modalità di verifica/esame: L'esame consiste in una prova scritta seguita da una prova orale nella stessa sessione d'esame.

Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 17/12/2014 10:30

Non cliccare qui!