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Logica

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Logic

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Anno accademico 2018/2019

Codice dell'attività didattica
MFN1619
Docente
Prof. Matteo Viale (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF C - Affine o integrativo
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/01 - logica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Si consiglia di avere familiarità con le nozioni apprese nei corsi di base di algebra, geometria, analisi.
The student should have familiarity with the notions taught in the basic courses of algebra, geometry, analysis.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Logica Matematica, con particolare riferimento alle nozioni di base, tra cui:  linguaggi formali e semantica, teorie del prim'ordine,  definibilità, calcolabilità. Verranno anche introdotte nozioni basilari di teoria degli insiemi, quali ordinali e cardinali, assioma della scelta e lemma di Zorn. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche di logica matematica alle altre discipline scientifiche.
 
The first aim is to teach basic methods and techniques in Mathematical Logic, including formal languages and semantics, first order theories, definability, computability. Some of the basic notions of set theory will be introduced: ordinals, cardinals, the axiom of choice and Zorn's lemma. A further aim is to apply  techniques from logic to other scientific disciplines .
 

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente dovrà mostrare di aver essere in grado di applicare le tecniche apprese nello studio di problemi elementari qiuali: formalizzazione di enunciati matematici in un linguaggio del prim'ordine, uso della definibilità nello studio di problemi algebrici. Lo studente dovrà mostrare di essere in grado di riconoscere quando una data funzione è effettivamente calcolabile. Inoltre lo studente si dovrà familiarizzare con il Lemma di Zorn e le sue varianti che sono fondamentali nello sviluppo della matematica moderna.

Tthe student must show to be able to apply the techniques to the study of elementary problems such as: formalization of mathematical statements in a first order theory, use of definability in the study of algebraic problems. The student must show to be able to recognize when a function is effectively computable. Moreover the student must be aquainted with Zorn's Lemma and its variants which play a prominent role in modern mathematics.

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Modalità di insegnamento

Lezioni alla lavagna o mediante diapositive

Lectures at the blackboard, and/or with slides

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Modalità di verifica dell'apprendimento

 La prova scritta è costituita da esercizi. La prova è valutata in 30simi e dà luogo all'ammissione all'orale. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 16/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. In funzione del risultato della prova scritta, ci potranno essere una discussione degli errori della prova scritta e domande che richiedono lo svolgimento di esercizi.

 The written exam consists of exercises. The test is evaluated as X/30 and gives right to the oral exam if the score of 16/30 is reached. The oral exam consists of questions related to the theory and proofs expounded in the course. Depending on the result of the written exam, there can be a discussion of the errors of written test and questions that require to solve exercises.

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Programma

 

Linguaggi del prim'ordine e formalizzazione.

Teorie del prim'ordine. Definibilità.

(1) Teorema di compattezza e finita assiomatizzabilità.

(2) Elementi di teoria degli insiemi:

La costruzione degli insiemi numerici (interi, razionali, reali).

Aritmetica di Peano e gli interi. 

Cenni sulla teoria dei cardinali infiniti.

Assioma della scelta e lemma di Zorn e sue applicazioni: non-esistenza di insiemi Lebesgue misurabili, uso della scelta in varie dimostrazioni di analisi ed algebra.

 

 

First order languages and formalization.

(1) First order theories. Definability.

The compactness theorem and finite axiomatizability.

(2) Introduction to set theory:

The integers and Peano arithmetic. 

Set theoretic construction of real numbers.

Cardinals.

The axiom of choice and  Zorn's lemma and some of their applications: existence of non-Lebesgue measurable sets, use of choice in prooffs in analysis and algebra. 

 

Testi consigliati e bibliografia

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M. Viale, Notes on propositional and first order logic  (note, con numerosi esercizi)

K. Hrbacek - T. Jech, Introduction to Set Theory - third edition, Dekker, 1999

A. Andretta, Elementi di Logica Matematica (dispense, con numerosi esercizi)

H. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, Harcourt/Academic Press, 2001

E. Schimmerling, A course in Set Theory, Cambridge university press, 2011

M. Viale, Notes on propositional and first order logic (notes, with many exercises)

K. Hrbacek - T. Jech, Introduction to Set Theory - third edition, Dekker, 1999

A.Andretta, Elementi di Logica Matematica (notes, with many exercises)

H. Enderton, A Mathematical Introduction to Logic, Harcourt/Academic Press, 2001

E. Schimmerling, A course in Set Theory, Cambridge university press, 2011



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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 08/06/2018 09:53

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