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Oggetto:
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Geometria 4

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Geometry 4

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Anno accademico 2015/2016

Codice dell'attività didattica
MFN1419
Docente
Prof. Cristiana Bertolin (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

I corsi di geometria 1,2,3.

Geometry 1, Geometry 2 and Geometry 3.
Propedeutico a

Il corso è consigliato a chi intenda seguire un percorso di Geometria nella Laurea Magistrale in Matematica.

This course is recommended for those who are willing to enrol in a Master's degree in Geometry.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Studio approfondito delle Superfici differenziabili e presentazione completa del Teorema di Gauss-Bonnet. Studio del gruppo fondamentale con collegamenti all’ Analisi complessa.

1. Interpretazione delle curve ellittiche come luogo degli zeri di equazioni cubiche; Tale luogo degli zeri è munito di una legge di gruppo.

2. Studio delle funzioni ellittiche sui numeri complessi e capire il legame tra frunzioni ellittiche e curve ellittiche.

3. Applicazioni della teoria delle curve ellittiche in teoria dei numeri, criptografia e dinamica.

The fundamental group and its applications, for instance in complex geometry.

 1. An understanding of elliptic curves as projective cubic equations for arbitrary fields; that these possess a group structure; an ability to calculate this group for finite fields.
2. To understand elliptic functions over the complex numbers and to be able to relate these to elliptic curves.
3. Appreciation of elliptic functions and curves arising in applications such as number theory, cryptography and dynamics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

 

Lo studente sarà in grado di studiare in modo approfondito la Geometria delle superfici differenziabili e avrà dimestichezza con il gruppo fondamentale.

 Lo studente avrà dimestichezza con le curve ellittiche.

  The student shall aquire

1. Familiarity with abstract arguments
2. Ability to argue in general and apply the ideas to specific examples
3. Knowledge about topology and its role in mathematics
4. Familiarity with results that need topological ideas in their proofs
5. The ability to calculate with generators and relations of groups

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Modalità di insegnamento

 

 

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. 

  

 The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale.  Consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.
Final oral exam.  Questions dealing with the theory and the proofs of some of the main results

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Programma

 

 

·       Breve revisione dei concetti di base di geometria sulle superficie differenziali. Isometrie, applicazioni conformi.

·       Discussione approfondita della curvatura di Gauss e delle sue diverse interpretazioni geometriche. Derivazione covariante.

·       Geodetiche su una superficie, definizione, esistenza, unicità, esempi.

·       Il piano iperbolico, le sue isometrie e le sue geodetiche.

·       Una breve introduzione alle geometrie due dimensionali: sferica, ellittica,iperbolica, con cenni sulla descrizione delle loro isometrie.

·       Revisione del concetto di caratteristica di Eulero  Poincare. Il teorema di Gauss–Bonnet (enunciato della versione locale e deduzione della versione globale).

·       Applicazioni del teorema di Gauss–Bonnet alla  geometria sferica ed  iperbolica.

·       Il gruppo fondamentale, discussione approfondita delle sue proprieta'

·       Applicazioni alla geometria (per esempio: teoremi del punto fisso, teorema fondamentale dell'algebra la formula per il calcolo del residuo in analisi complessa)

         1. Curve ellittiche: origine.
2. Funzioni ellittiche: poli, zeri
3. Funzioni di Weierstrass e la loro struttura algebrica
4. Aspetto proiettivo.
5. Legge di gruppo per le curve ellittiche.
6. Curve ellittiche su campi finiti.

 

·       Gauss curvature. Covariant derivative.

·       Geodesics on a surface.

·       The hyperbolic plane.

·       Non-Euclidean geometries

·       The theorem of Gauss–Bonnet.

·       The fundamental group.

·       Applications. 

          1. Elliptic curves: where they come from.
2. Elliptic functions: poles, zeroes
3. Weierstrass functions and their algebraic structure.
4. Some projective geometry.
5. The addition formula for the elliptic curve.
6. Elliptic curves over finite fields.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

 

N. Hitchin: Geometry of Surfaces, M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, P.M.H. Wilson: Curved Spaces. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern differential Geometry of curves and surfaces.

J. H. Silverman: The arithmetic of elliptic curves

N. Hitchin: Geometry of Surfaces, M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, P.M.H. Wilson: Curved Spaces. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern differential Geometry of curves and surfaces.

J. H. Silverman: the arithmetic of elliptic curves



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Orario lezioni

GiorniOreAula
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Note

GEOMETRIA 4, MFN1419 (DM270), 6 CFU: 6 CFU, MAT/03, TAF D Libero, Ambito a scelta dello studente.

Modalità di verifica/esame: Esame orale.

 

Oral examination

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Altre informazioni

http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/home.pl/View?doc=Orario_LT.html
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Ultimo aggiornamento: 19/04/2016 10:28

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