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Oggetto:
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Geometria 4

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Geometry 4

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Anno accademico 2019/2020

Codice dell'attività didattica
MFN1419
Docenti
Prof. Michele Rossi (Titolare del corso)
Dott. Elena Martinengo (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

I corsi di geometria 1,2,3.

Geometry 1, Geometry 2 and Geometry 3.
Propedeutico a

Il corso è consigliato a chi intenda seguire un percorso di Geometria nella Laurea Magistrale in Matematica.

This course is recommended for those who are willing to enrol in a Master's degree in Geometry.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento sviluppa, per circa metà del corso, la teoria dei  rivestimenti topologici con applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Si continua quindi con il Teorema di Seifert-Van Kampen ed ulteriori applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Un'applicazione importante sarà il calcolo del gruppo fondamentale e del suo abelianizzato per tutte le superfici topologiche connesse e compatte. 

Tutti questi argomenti sono di estrema importanza per intraprendere ogni tipo di ulteriore studio delle strutture gemetriche algebro-differenziali. 

L'ultima parte del corso è un'introduzione allo studio delle curve algebriche piane, ai loro punti lisci e singolari e dei principali e elementari teoremi che le descrivono. Questa introduzione ha lo scopo di avvicinare lo studente al linguaggio e ai primi concetti della geometria algebrica.

 

La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia generale ed algebrica.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia generale e algebrica.
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

 

 

 

The course develops, in a first half part, the basic concepts of the theory of covering spaces in algebraic topology, with application to computing the fundamental group of a sufficiently general topological space. Then the course will go on treating the Seifert-Van Kampen Theorem with further application to the computation of the fundamental group. A very important application will be computing the fundamental group and its abelianization, for every compact and connected topological suface.

All these arguments are extremely important for every further study of algebraic and differential geometric structures.

The last part of the course is an introduction to the study of algebraic curves, their smooth and singular points and of the main and elementary theorems that descrive them. The aim i salso to introduce the student to the language and the first concepts in algebraic geometry.

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of general and algebraic topology.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to general and algebraic topology
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in the class.

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

 

Lo studente acquisirà:

1. consapevolezza del ruolo della topologia in matematica,

2.  un consistente bagaglio di tecniche per il calcolo del più basilare invariante topologico dato dal gruppo fondamentale,

3. conoscenza basilare della teoria delle curve piane, punti lisci e singolari, coniche e cubiche piane. 

4. dimestichezza con i primi concetti di geometria algebrica elementare. 

  The student shall aquire

1. Knowledge about topology and its role in mathematics
2. knowledge of a significant number of  techniques for computing the most basic topological invariant given by the fundamental group
3. basic knowledge of the teory of algebraic plane curves, smooth and singular points, plane conics and cubics.                                                                     4. 4. basic skills in the first concepts of algebraic geometry.   

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Modalità di insegnamento

 

 

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. 

  

 The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale.  Consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso.

EMERGENZA COVID-19. In relazione alle attuali restrizioni sanitarie, gli esami saranno svolti esclusivamente a distanza, via la piattaforma istituzionale Webex. Alcune precisazioni:

- durante lo svolgimento dell'esame non sarà consentito l'utilizzo di libri, dispense o appunti di alcun genere, cartacei o a video;

- sarà richiesta una condivisione dello schermo per verificare che non vi sia nulla di aperto a video;

- data la natura dell'esame sarà essenziale poter condividere dei contenuti manoscritti; è quindi opportuno prevedere una soluzione in tal senso; alcune idee:

1. se si dispone di un pc portatile o meglio ancora una telecamera orientabile, orientatela sul foglio,

2. meglio ancora, se si dispone di un tablet o di una tavoletta grafica, su cui scrivere a mano, condividendo lo schermo con opportuni software.

Sono naturalmente possibili altre soluzioni da studiare al momento.


Final oral exam.  Questions dealing with the theory and the proofs of some of the main results.

COVID-19 EMERGENCY. Due to current health restrictions, examinations will be carried out on-line, only, via the institutional Webex platform. Some clarifications:

- during the examination, the use of books, handouts or notes of any kind will not be allowed;

- screen sharing will be required to verify that nothing is open on the screen;

- due to the nature of this examination, sharing handwritten content will be essential; please, provide a solution in this sense; some ideas:

1. having a laptop or a swiveling camera, orient it on the sheet,

2. even better, having a tablet or a graphic tablet, to write on by hand, sharing the screen with appropriate software.

Of course, other solutions are possible and may be agreed upon at the moment.

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Programma

 

1. Rivestimenti topologici

2. Sollevamento di cammini ed omotopie

3. G-rivestimenti

4. Trasformazioni di ricoprimenti

5. Gruppo fondamentale ed omotopia (richiami)

6. Rivestimenti e gruppo fondamentale

7. Rivestimento universale

8. Sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti associati

9. Teorema di Seifert-Van Kampen

10. Definizione di varietà algebrica affine, introduzione allo spazio proiettivo.

11. Definizione di curve algebriche piane, studio dei punti lisci e dei punti singolari (punti doppi e cenni ai multipli).

12. Teorema di Bèzout, dimostrazione in un caso semplice. 

 

 

1. Covering spaces

2. Lifting pats and homotopies

3. G-coverings

4. Covering transformations

5. Fundamental group and homotopy (recalls)

6. Coverings and fundamental group

7. Universal covering

8. Subgroups of the fundamental group and associated coverings

9. Seifert-Van Kampen thoerem 

10. Definition of affine algebraic variety, introduction to the projective space.  

11. Definition of algebraic plane curves, analysis of smooth and singular points (double and multiple points).

12. Bèzout's Teorem, proof in a simple case. 

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

C. Kosniowsky "Introduzione alla topologia algebrica"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

J.J. Rotman "An introduction to algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.

 

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

 C. Kosniowsky "A first course in algebraic topology"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

J.J. Rotman "An introduction to algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.



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Orario lezioni

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Altre informazioni

http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/home.pl/View?doc=Orario_LT.html
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Ultimo aggiornamento: 28/05/2020 11:53

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