Vai al contenuto principale
Coronavirus: aggiornamenti per la comunità universitaria / Coronavirus: updates for UniTo Community
Oggetto:
Oggetto:

Geometria 4

Oggetto:

Geometry 4

Oggetto:

Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
MFN1419
Docenti
Prof. Michele Rossi (Titolare del corso)
Prof. Elena Martinengo (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Primo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Gli insegnamenti di geometria 1,2,3.

Geometry 1, Geometry 2 and Geometry 3.
Propedeutico a

L'insegnamento è consigliato a chi intenda seguire un percorso di Geometria nella Laurea Magistrale in Matematica.

This course is recommended for those who are willing to enrol in a Master's degree in Geometry.
Oggetto:

Sommario insegnamento

Oggetto:

Obiettivi formativi

L'insegnamento sviluppa, per circa metà del corso, la teoria dei  rivestimenti topologici con applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Si continua quindi con il Teorema di Seifert-Van Kampen ed ulteriori applicazioni al calcolo del gruppo fondamentale. Un'applicazione importante sarà il calcolo del gruppo fondamentale e del suo abelianizzato per tutte le superfici topologiche connesse e compatte. 

Tutti questi argomenti sono di estrema importanza per intraprendere ogni tipo di ulteriore studio delle strutture gemetriche algebro-differenziali. 

L'ultima parte dell'insegnamento è un'introduzione allo studio delle curve algebriche piane, ai loro punti lisci e singolari e dei principali e elementari teoremi che le descrivono. Questa introduzione ha lo scopo di avvicinare lo studente al linguaggio e ai primi concetti della geometria algebrica.

 

La struttura teorica dell'insegnamento consiste in una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante e di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo della topologia generale ed algebrica.

In particolare, l'insegnamento prevede: 

  • obiettivi formativi teorici:  sviluppo di un rigoroso linguaggio matematico; assimilazione di concetti astratti,  teoremi e relative dimostrazioni inerenti alla topologia generale e algebrica.
  • obiettivi formativi applicati: apprendimento di tecniche di calcolo; capacità di risoluzione di esercizi standard e di problemi nuovi, in cui è necessario elaborare autonomamente una strategia e applicare le nozioni apprese, o elaborare una piccola dimostrazione simile a quelle viste a lezione.

 

 

 

The course develops, in a first half part, the basic concepts of the theory of covering spaces in algebraic topology, with application to computing the fundamental group of a sufficiently general topological space. Then the course will go on treating the Seifert-Van Kampen Theorem with further application to the computation of the fundamental group. A very important application will be computing the fundamental group and its abelianization, for every compact and connected topological suface.

All these arguments are extremely important for every further study of algebraic and differential geometric structures.

The last part of the course is an introduction to the study of algebraic curves, their smooth and singular points and of the main and elementary theorems that descrive them. The aim i salso to introduce the student to the language and the first concepts in algebraic geometry.

The theoretical structure of the course consists in a series of theorems and their proofs, the study of which will enable the student to autonomously produce rigorous proofs of mathematical results not identical to those already known but inspired to them in a relevant manner and to solve problems of moderate difficulty in the field of general and algebraic topology.

 In particular, the course will provide:

  • theoretical training objectives: development of a rigorous mathematical language; assimilation of abstract concepts, theorems and their proofs related to general and algebraic topology
  • applied training objectives: the student will learn computing techniques to solve problems; the student will be able to solve standard exercises and new problems, in which it will be necessary to develop new strategies and apply the concepts learned or develop simple proofs similar to those seen in the class.

 

Oggetto:

Risultati dell'apprendimento attesi

 

Lo studente acquisirà:

1. consapevolezza del ruolo della topologia in matematica,

2.  un consistente bagaglio di tecniche per il calcolo del più basilare invariante topologico dato dal gruppo fondamentale,

3. conoscenza basilare della teoria delle curve piane, punti lisci e singolari, coniche e cubiche piane. 

4. dimestichezza con i primi concetti di geometria algebrica elementare. 

  The student shall aquire

1. Knowledge about topology and its role in mathematics
2. knowledge of a significant number of  techniques for computing the most basic topological invariant given by the fundamental group
3. basic knowledge of the teory of algebraic plane curves, smooth and singular points, plane conics and cubics.                                                                     4. 4. basic skills in the first concepts of algebraic geometry.   

Oggetto:

Modalità di insegnamento

 

 

L'insegnamento si articola in 48 ore (6 CFU) di didattica frontale. 

In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19,  la didattica sarà garantita in remoto e sarà costituita da attività sincrone e asincrone; se ci saranno le condizioni, alcune attività sincrone potranno essere svolte anche in presenza, pur garantendo comunque l’attività in remoto.

AVVISO IMPORTANTE. L'insegnamento inizierà Martedì 22 settembre alle 12,30, come da orario delle lezioni. La modalità sarà quella in remoto sincrona, ovvero una riunione (utilizzeremo Google Meet) in tempo reale. Questo almeno per quel che riguarda l'inizio. Eventualmente qualcosa potrebbe cambiare in seguito, in relazione alle condizioni generali sanitarie e di compatibilità con gli altri insegnamenti. 

E' quindi ESSENZIALE che tutti gli studenti interessati si iscrivano all'insegnamento, cliccando l'apposito tasto qui sotto e ANCHE sul sito Moodle dell'inseganemento, di cui al link

https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1313

Solo in questo modo è possibile ricevere il link per le lezioni.

Le lezioni saranno registrate (sarà automaticamente richiesto il consenso ad ogni partecipante) e quindi rese disponibili sul sito Moodle dell'insegnamento, per coloro che siano impossibilitati a seguirel'insegnamentoo in modalità sincrona.

  

 The course is articulated in 48 hours (6 CFU) of classroom teaching.

Due to health dipsositions relating to the pandemic from Covid-19, teaching will be guaranteed remotely and will consist of synchronous and asynchronous activities; if possible, some synchronous activities may also be carried out in the presence, while still guaranteeing remote activity.

IMPORTANT ANNOUNCEMENTThe course will start on Tuesday 22 September at 12.30 am, following the lectures schedule. Lessons will be held online and in synchronous mode, that is, a meeting (we'll use Google Meet) in real time. This, at least for what concerns the beginning. Possibly something could change later, in relation to the general health conditions and compatibility with other courses.

It is therefore ESSENTIAL that all interested students register for the course by clicking the appropriate button below and DO THE SAME on the Moodle website of the course, to the link

https://math.i-learn.unito.it/course/view.php?id=1313

This is the only way to get the lessons' link.

Lessons will be recorded (consent will be automatically requested from each participant) and then made available on the Moodle website of the course, for those who will be unable to attend them in synchronous mode.

Oggetto:

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale.  Consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso dell'insegnamento. La valutazione avverrà mediante un voto espresso in trentesimi.

In relazione alle disposizioni sanitarie dovute alla pandemia da Covid-19, gli esami potranno essere svolti a distanza, mediante la piattaforma istituzionale Webex. Alcune precisazioni in merito:

- durante lo svolgimento dell'esame non sarà consentito l'utilizzo di libri, dispense o appunti di alcun genere, cartacei o a video;

- sarà richiesta una condivisione dello schermo per verificare che non vi sia nulla di aperto a video;

- data la natura dell'esame sarà essenziale poter condividere dei contenuti manoscritti; è quindi opportuno prevedere una soluzione in tal senso; alcune idee:

1. se si dispone di un pc portatile o meglio ancora una telecamera orientabile, orientatela sul foglio,

2. meglio ancora, se si dispone di un tablet o di una tavoletta grafica, su cui scrivere a mano, condividendo lo schermo con opportuni software.

Sono naturalmente possibili altre soluzioni da studiare al momento.


Final oral exam.  Questions dealing with the theory and the proofs of some of the main results. The evaluation will be given by means of a vote expressed out of thirty.

Due to health dipsositions relating to the pandemic from Covid-19, examinations may be carried out on-line, via the institutional Webex platform. Some clarifications about:

- during the examination, the use of books, handouts or notes of any kind will not be allowed;

- screen sharing will be required to verify that nothing is open on the screen;

- due to the nature of this examination, sharing handwritten content will be essential; please, provide a solution in this sense; some ideas:

1. having a laptop or a swiveling camera, orient it on the sheet,

2. even better, having a tablet or a graphic tablet, to write on by hand, sharing the screen with appropriate software.

Of course, other solutions are possible and may be agreed upon at the moment.

Oggetto:

Programma

 

1. Rivestimenti topologici

2. Sollevamento di cammini ed omotopie

3. G-rivestimenti

4. Trasformazioni di ricoprimenti

5. Gruppo fondamentale ed omotopia (richiami)

6. Rivestimenti e gruppo fondamentale

7. Rivestimento universale

8. Sottogruppi del gruppo fondamentale e rivestimenti associati

9. Teorema di Seifert-Van Kampen

10. Definizione di varietà algebrica affine, introduzione allo spazio proiettivo.

11. Definizione di curve algebriche piane, studio dei punti lisci e dei punti singolari (punti doppi e cenni ai multipli).

12. Teorema di Bèzout, dimostrazione in un caso semplice. 

 

 

1. Covering spaces

2. Lifting pats and homotopies

3. G-coverings

4. Covering transformations

5. Fundamental group and homotopy (recalls)

6. Coverings and fundamental group

7. Universal covering

8. Subgroups of the fundamental group and associated coverings

9. Seifert-Van Kampen thoerem 

10. Definition of affine algebraic variety, introduction to the projective space.  

11. Definition of algebraic plane curves, analysis of smooth and singular points (double and multiple points).

12. Bèzout's Teorem, proof in a simple case. 

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

C. Kosniowsky "Introduzione alla topologia algebrica"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

J.J. Rotman "An introduction to algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.

 

F.H. Croom "Basic concepts of algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Topology"

 C. Kosniowsky "A first course in algebraic topology"

I. Félix,  D. Tanré "Topologie Algérique"

J.J. Rotman "An introduction to algebraic topology"

W. Fulton "Algebraic Curves - An introduction to algebraic geometry", Benjamin-Cummings Publishing Co.,Subs. of Addison Wesley Longman,US. 

 M. Reid "Undergraduate algebraic geometry", London Mathematical Society , Student text 12.



Oggetto:

Orario lezioni

Oggetto:

Altre informazioni

http://www.matematica.unito.it/cgi-bin/home.pl/View?doc=Orario_LT.html
Oggetto:
Ultimo aggiornamento: 14/12/2020 17:46

Non cliccare qui!