Corso di laurea in matematica

Conoscenza delle principali strutture algebriche (gruppo, anello, campo, spazio vettoriale), delle loro proprietà di base e di alcuni esempi significativi per ciascuna di esse (gruppi di permutazioni, di classi di resto e di matrici; anelli di polinomi; quozienti di Z modulo un primo; spazi vettoriali di dimensione finita su R e su C).

Gli argomenti affrontati nell'insegnamento di Algebra DUE sono alla base dello studio dell'algebra, della geometria e delle loro applicazioni e forniscono il linguaggio e le proprietà basilari di tutta la matematica contemporanea. La teoria degli anelli, in particolare degli anelli di polinomi e degli anelli ottenuti a partire dall'anello dei numeri interi, è alla base della geometria algebrica e della teoria dei numeri, nonchè delle loro applicazioni, come la teoria dei codici e la crittografia. I concetti di gruppo e di azione di azione di gruppo sono trasversali a tutta la matematica, così come la teoria dei campi e delle equazioni algebriche.

L'algebra è una delle discipline fondamentali e indispensabili nella
matematica moderna. L'insegnamento di Algebra DUE si propone di approfondire lo studio dell'algebra, introdotto negli insegnamenti precedenti,  sviluppando le conoscenze delle strutture algebriche, dei loro isomorfismi, delle loro sottostrutture e dei loro quozienti. 

Particolare enfasi sarà data alla chiarezza dell'espressione formale, al rigore delle argomentazioni e alla precisione del linguaggio che sono competenze che caratterizzano la formazione di ogni matematico.

Lo studio dei teoremi e delle loro dimostrazioni permetterà di  apprendere metodologie dimostrative allo scopo di sviluppare  la capacità di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose necessarie per  risolvere problemi di moderata difficoltà che richiedano  l'elaborazione di  strategie risolutive non ripetitive.

Lo studente dovrà conoscere in modo abbastanza approfondito le principali strutture algebriche, dovrà conoscere le loro proprietà, e dovrà saper usare queste conoscenze per risolvere problemi anche di tipo teorico, formulare congetture ed elaborare semplici  dimostrazioni relative agli argomenti svolti.

Sarà  in grado di esprimere quanto studiato o elaborato autonomamente utilizzando un linguaggio rigoroso.  Sarà  in grado di  leggere e consultare  testi relativi agli argomenti svolti, anche in lingua inglese.

Il corso si svolgerà in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

L'insegnamento si articola in 48 ore di lezioni frontali, comprensive di teoria ed esercizi.

Le prove di esame saranno effettuate in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di ateneo.

L'esame consiste in una prova scritta della durata di 2 ore e di un colloquio orale.

La prova scritta è costituita da esercizi in cui almeno uno si tratta della verificazione teorica.
La prova orale consiste in una discussione relativa a quanto è stato oggetto della prova scritta ed al suo svolgimento da parte del candidato, il cui esito sarà la conferma, con minime modifiche, del voto conseguito nella prova scritta.

A richiesta del candidato, il colloquio potrà continuare per accertare in modo più approfondito la preparazione teorica e la comprensione di quanto affrontato nell'intero insegnamento, con la possibilità di modificare in modo sostanziale il voto della prova scritta.

Teoria dei gruppi: sottogruppi normali, gruppi quoziente e omomorfismi. gruppi di permutazioni. Classificazione dei gruppi ciclici e dei gruppi abeliani finiti. Laterali di un sottogruppo e teorema di Lagrange. Teoremi di isomorfismo. Prodotto diretto e semidiretto. Azione di un gruppo su un insieme, stabilizzatori e orbite. Teoremi di Sylow.

Teoria dei campi e delle equazioni algebriche: estensioni semplici, finite e algebriche. Elementi algebrici e trascendenti. chiusura algebrica e campo algebricamente chiuso. Il campo dei numeri algebrici. Applicazioni a classici problemi geometrici di costruzione con riga e compasso, come la quadratura del cerchio.

Il teorema fondamentale dell’Algebra. Campo di spezzamento di un polinomio e classificazione dei campi finiti.

Cenni alla teoria di Galois.

Nell'a.a. 2022/23 l'insegnamento è offerto come attività formativa in taf D (a scelta libera dello studente); a partire dall'a.a. 2023/24 sarà offerto come attività formativa in taf B (caratterizzante- ambito formazione teorica).