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Oggetto:
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Calcolo delle Probabilità e Statistica (DM 270) - a.a. 2014/15

Oggetto:

Probability and Statistics

Oggetto:

Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN0341
Docenti
Prof. Roberta Sirovich (Titolare del corso)
Prof. Federico Polito (Titolare del corso)
Prof. Cristina Zucca (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
12
SSD dell'attività didattica
MAT/06 - probabilita' e statistica matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Per gli appelli consultare il campo 'Note' della pagina del Corso
Prerequisiti

Ottima conoscenza dell'analisi: calcolo, convergenze, serie, integrali (anche in più dimensioni).


Good knowledge of mathematical anlysis: calculus, convergence, series, integrals (general dimension).
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di fornire agli studenti una buona comprensione degli
elementi fondamentali della moderna teoria del calcolo delle probabilità e
della statistica matematica, attraverso una rigorosa definizione dei
termini e delle strutture principali, accompagnata dalla chiara
discussione dei teoremi principali, per alcuni dei quali con dimostrazioni
complete e per altri con indicazione delle linee essenziali della
dimostrazione. L’allievo dovrà essere in grado di esporre, collegare e
confrontare i principali concetti e risultati presentati nel corso, di
dimostrare i teoremi fondamentali del programma d’esame. Dovrà saper
risolvere problemi coniugando le conoscenze teoriche con il
riconoscimento, la selezione o la costruzione di modelli, seguendo l'esempio fornito dalle esercitazioni.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino",http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968 )


Conoscenza e capacità di comprensione Il corso fornisce le conoscenze di base del Calcolo delle Probabilità e gli elementi teorici della Statistica (obiettivi 3 e 4), gli aspetti computazionali relativi all’analisi dei dati sono invece presentati nel Laboratorio di Statistica Computazionale che segue questo corso, al III anno. La comprensione e l’utilizzo dei concetti del calcolo delle probabilità e della statistica introdotti in questo corso richiede una buona padronanza della matematica di base.

L’introduzione al pensiero stocastico presenta spesso difficoltà per gli studenti. Pertanto il corso prevede esercitazioni in aula e l’ausilio di tutor per aiutare lo studente ad abituarsi alla soluzione di esercizi in un ambito del tutto nuovo, indirizzandolo poi al lavoro autonomo, col procedere delle lezioni.

L’esame prevede una prova scritta accompagnata da una parte orale, volte a individuare il livello di autonomia raggiunto, oltre a verificare la padronanza dei concetti e la relativa capacità di utilizzo.

Autonomia di giudizio Una parte importante del corso mira afavorire lo sviluppo di abilità logiche, riconoscendo le ipotesi essenziali per le tesi da dimostrare (obiettivo 1). Molti problemi di tipo stocastico ammettono soluzioni differenziate, questo consentirà di svolgere esercitazioni mirate a far riconoscere dimostrazioni corrette e a distinguere ragionamenti errati o lacunosi. Argomenti quali  l’indipendenza e l’indipendenza condizionale si prestano particolarmente bene per tale scopo, anche con discussioni di gruppo (obiettivi 2 e 4). Il calcolo delle probabilità, accanto alla sua natura assiomatica, è ampiamente utilizzato per lo sviluppo di modelli matematici e tra gli esercizi proposti molti richiedono lo sviluppo di capacità di modellizzazione (obiettivo 3)

Abilità comunicative Per potersi impadronire dei nuovi concetti probabilistici e statistici proposti in questo corso, lo studente deve abituarsi a esprimersi in modo rigoroso, formalizzando correttamente intuizioni e riuscendo ad esprimerle in forma orale e scritta (obiettivi 1 e 2). Un testo utilizzato per approfondire la parte statistica è in inglese (obiettivo 3).


Capacità di apprendimento Il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica introduce gli elementi di base necessari per proseguire gli studi matematici ed è indispensabile per seguire corsi quali Istituzioni di Calcolo delle Probabilità nella laurea Magistrale (obiettivo 1). L’acquisizione del linguaggio di base del calcolo delle probabilità e della statistica renderà inoltre possibili approfondimenti successivi, auto-organizzati dallo studente per affrontare esigenze di tipo lavorativo (obiettivi  2 e 3)

The course is aimed to give the students a good understanding of the
basic elements of Probability and Mathematical Statistics through
rigorous definitions and introduction to structures together with the
statement of the main theorems, some also with proof. The student
will become able to describe, link and compare the main statement and
results given and to show the theorems considered.
He will solve problems relating the theoretical expertise with the
selection and building of models following the guidelines given in the
practice lessons.

 

DUBLIN DESCRIPTORS (with reference to: Regolamento Didattico di
Ateneo, descrittori europei del titolo di studio-"descrittori di Dublino",
http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?
ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968)
Knowledge and understanding
The course gives the basic knowledge in Probability and Mathematical
Statistics (aim 10 and 11).
The understanding and the use of the subjects of Probability and
Statistics introduced requires a good knowledge of basic Mathematics
and initiates to modeling and application problems (aim 1,2,3).
The introduction to stochastic way of thinking is often difficult for the
students. Hence the course entails practice lessons and the aid of a tutor
to substain the students in accustoming to solve new types of problems
and to lead them to work on their own.
The exam is composed of a written and of an oral part to find out the
level of self-sufficiency reached and to assess the expertise in the
knolwedge acquired and in its application.
Applying knowledge and understanding
The practice lessons are aimed to let the students acquire the ability to
formulate simple models and to solve medium difficulty problems (aim 1
and 2).
Judgement
A relevant part of the course aims to foster the development of logical
skills, by recognising the requirements that are essential to the purpose
(aim 1). Since many stochastic problems allows different solutions this
will enable to give practice lessons where to find out correct proofs and
wrong reasoning. Independence and conditional independence for
example are suited for the aim even through overall discussions (aim 2
and 4). Probability is widely used to develop mathematical models and
many of the exercises given favour modeling ability (aim 3).
Communication skill
The student must learn to communicate in a rigorous way formalizing
correctly the intuition and expressing it in written and oral form (aim 1
and 2). The textbook for Statistics is in English (aim 1).
Learning skill
The course introduces the basic knowledge to pursue academic
education in Mathematics or in Economics. It is fundamental to follow
further courses as Probability for the master degree
in Mathematics or courses concerning risk theory (aim 1). Furthermore
acquiring the basic language of Probability and Statistics will allow
successive knowledge deepening by students themselves when required
in a working context (aim 2 and 3).

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Definizioni precise di spazi di probabilità, regole elementari di calcolo,
condizionamento ed indipendenza. Chiara nozione di variabile aleatoria,
distribuzione ed eventuale densità; conoscenza del ruolo delle loro
principali caratteristiche (media, varianza, momenti, funzioni generatrici).
Saper utilizzare praticamente le distribuzioni congiunte. Conoscenza degli
schemi e delle distribuzioni classiche, nel discreto e nel continuo. Saper 
discutere la Legge debole dei grandi numeri. Conoscere risultati di
convergenza in distribuzione. Saper discutere e presentare le linee
essenziali della dimostrazione di un teorema del limite centrale. Saper
utilizzare con disinvoltura le principali regole del calcolo. Risolvere
problemi che di norma richiedono un'interpretazione dell'enunciato e la
selezione o l'adattamento di modelli noti. Saper costruire stimatori,
intervalli di confidenza e test di ipotesi. Capacità ad affrontare
teoricamente problemi statistici riconoscendo i mezzi più idonei per lo
studio teorico e pratico del problema.

Definition of probability space, elementary probability rules, conditioning
and independence. Random variables, distribution function and density;
knowledge of their role and features (mean, variance, moments,
generating functions). Practical usage of joint distributions. Knowledge of
classical schemes and distributions in discrete and continuous setting.
Ability to discuss the weak law of large numbers. Knowledge of results
related to convergence in distribution. Ability to discuss and present
central limit type theorems with proofs. Capacity to solve problems
requesting interpretation of the statement and selection and application
of known models. Construction of estimators, confidence intervals and
tests. Ability to cope with statistical problems by means of appropriate
theoretical and practical techniques.

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Modalità di insegnamento

Lezioni (7 CFU), esercitazioni (5 CFU) e tutoraggio.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta con voto. Prova orale con voto finale. L'esito positivo della prova scritta permette l'accesso alla sola prova orale immediatamente successiva. La prova scritta è costitutita da esercizi. La prova è valutata in 30simi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria, alle dimostrazioni e agli esercizi presentati nel corso.
Written examination followed by oral examination. A positive result of the written examination only allows access to the corresponding oral examination. The written examination is composed by exercises. The mimimum score that must be obtained in order to be admitted to the oral examination is 18/30. The oral examination consists of questions related to theory, proofs and exercises presented during the course.

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Programma

Prime definizioni di probabilità: legge empirica del caso, definizione classica e definizione soggettiva. Costruzione assiomatica dello spazio di probabilità: eventi, sigma-algebre, la probabilità, prime regole di calcolo e continuità della misura di probabilità. Indipendenza e condizionamento: formula delle probabilità totali e teorema di Bayes. Lemma di Borel-Cantelli. Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e sue proprietà. Variabili discrete e variabili continue (Bernoulli, Binomiale, Geometrica, Binomiale Negativa, Ipergeometrica, Normale, Uniforme, Cauchy, Esponenziale, Gamma, Chi-Quadro, t di Student,...). Variabili aleatorie multidimensionali, indipendenza tra variabili aleatorie. Momenti. Funzione generatrice dei momenti e funzione caratteristica. Disuguaglianze notevoli: Markov e Chebyshev. Teoremi asintotici: convergenza in legge, convergenza in probabilità, convergenza quasi certa, limite normale della distribuzione binomiale, legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale. Condizionamento nel continuo.

Introduzione alla Statistica: il campionamento casuale con rimpiazzo. Costruzione dello spazio campionario e definizione di campione casuale estratto da una popolazione. Statistiche e momenti campionari. Media e Varianza dei momenti campionari. Caso particolare della media campionaria. Legame tra la media campionaria e la media della popolazione. Varianza campionaria e sua media e varianza. Distribuzione dei momenti campionari. Stima puntuale, definizione di stimatore. Metodi per la ricerca degli stimatori: metodo dei momenti e metodo della massima verosimiglianza. Proprietà degli stimatori: correttezza, errore quadratico medio. Stimatori corretti a varianza minima (UMVU). Teorema di Cramér-Rao. Proprietà asintotiche degli stimatori: correttezza asintotica, consistenza. Sufficienza. Teorema di fattorizzazione e teorema di Blackwell-Rao. Stima intervallare: definizione di intervallo di confidenza. Metodo della quantità pivotale per la ricerca degli IC. Test di ipotesi: definizione di ipotesi statistica, regione critica, errore di prima e seconda specie, potenza del test e ampiezza del test. Lemma di Neyman-Pearson. Ipotesi composte e rapporto generalizzato delle verosimiglianze. Modelli lineari generali: analisi della varianza, regressione. Stima nei modelli lineari generali: caso normale e caso scorrelato. Teorema di Gauss-Markov.

 Definition of Probability: frequencies, classical definition and subjective definition. Axiomatic definition of probability space: events, sigma-algebra, probability, first calculation rules and continuity of the probability measure. Indipendence and conditioning: total probability and Bayes theorem. Borel-Cantelli lemma. Random variables: distribution function and its properties. Continuous and discrete random variables (Bernoulli, Binomial, Geometric, Negative Binomial, Ipergeometric, Normal, Uniform, Cauchy, Exponential, Gamma, Chi-Square, t  Student,...). Multidimensional random variables, indipendence. Moments. Moment generating function and characteristic function. Inequalities: Markov and Chebyshev. Asymptotics: convergence in law, convergence in probability, almost sure convergence, normal limit of the binomial distribution, law of large numbers, central limit theorem. Conditioning in the continuous case.

Introduction to Statistics: random sampling with replacement. Construction of the sampling space and definition of the random sample from a population. Statistics and sample moments. Mean and variance of the sample moments. Sample mean and sample variance. Distribution of the sample moments. Point estimation, definition of an estimator. Moments and maximum likelihood methods. Properties of the estimators: unbiasedness, mean square error. UMVU estimators. Cramer-Rao Theorem. Asymptotic properties of the estimators: asymptotic unbiasedness, consistency.  Sufficient estimators. Factorization theorem and Blackwell-Rao Theorem. Interval estimation: definition of confidence interval. Pivotal quantity method. Hypothesis testing: definition of statistical hypothesis, critical region, first and second kind errors, power and level of significance of the test. Neyman-Pearson Lemma. Composite hypothesis and genralized likelihood ratio. General linear model: analysis of variance, regression. Estimation in the general linear models: Gaussian and uncorrelated cases. Gauss-Markov theorem.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

A. Buonocore, A. Di Crescenzo, L.M. Ricciardi "Appunti di Probabilità", Liguori Editore, 2011.

P. Baldi "Calcolo delle Probabilità", 2/ed, McGraw-Hill, 2011.

G. Casella, R. L. Berger "Statistical Inference", Duxbury Press, 2001.

D. Piccolo "Statistica", Il Mulino, 2010. 



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Orario lezioni

GiorniOreAula
Lezioni: dal 02/03/2015 al 05/06/2015

Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html

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Note

CALCOLO DELLE PROBABILITA' E STATISTICA, MFN0341 (DM 270) , 12 CFU: 12 CFU, MAT/06, TAF B (caratt.), Ambito formazione modellistico-applicativa.

Modalità di verifica/esame: Scritto e orale.

Orario del corso (alternanza lezioni-esercitazioni e consegne fogli esercizi): http://www.robertasirovich.it/Calendario_CPS_2014-15.html

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Ultimo aggiornamento: 06/07/2015 17:14

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