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Geometria 3 (DM 270) - a.a. 2014/15

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Geometry 3

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Anno accademico 2014/2015

Codice dell'attività didattica
MFN0349
Docenti
Prof. Anna Maria Fino (Titolare del corso)
Prof. Sergio Garbiero (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
2° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto e Orale
Prerequisiti
Nozioni di base di topologia, sulle curve e superfici parametrizzate e funzioni di due variabili.
Basic concepts of topology, parametrized curves and surfaces, functions of one and several variables.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Presentare i concetti fondamentali elementari della teoria delle superfici differenziabili. Presentare lo studio della curvatura di Gauss e la Geometria delle superfici a curvatura speciale. Una parte del corso verrà dedicata alle forme differenziali, all’integrazione su superfici e al Teorema di Stokes.

INDICATORI DI DUBLINO (in riferimento al Regolamento Didattico di Ateneo, descrittori europei del titolo di studio- "descrittori di Dublino", http://www.study-in-italy.it/php5/scheda_corso.php?ambiente=offf&anno=2009&corso=1214968)

Conoscenza e comprensione.  Il corso introduce i concetti fondamentali della teoria delle superfici differenziali, che saranno poi utilizzati negli studi successivi. In particolare vengono introdotti alcuni concetti fondamentali relativi alla geometria delle superfici (obiettivo 1), le forme differenziali e gli strumenti di base per lo studio della geometria differenziale.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione. La struttura teorica del corso consiste di una serie di teoremi con relative dimostrazioni, lo studio delle quali mette in grado lo studente di produrre autonomamente dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identiche a quelle da loro già conosciute ma ispirate a esse in modo rilevante (obiettivo 1), di risolvere problemi di moderata difficoltà nel campo delle superfici (obiettivo 2).

Autonomia di giudizio. Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo. Il confronto con i compagni di corso, nel lavoro a casa, favorisce lo sviluppo di capacità logiche per riuscire a chiarire ai compagni le proprie soluzioni (obiettivi 1 e 4). Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni di altri permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative (obiettivo 2).

Abilità comunicative. Le discussioni sui diversi metodi per risolvere gli esercizi proposti consentono di migliorare le capacità di comunicazione (obiettivo 1). In particolare lo studio delle superfici permettono di modellizzare semplici realtà fisiche allenando lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico (obiettivo 2).

Capacità di apprendimento. La rigorosa metodologia scientifica con cui gli argomenti vengono trattati permette agli studenti di proseguire gli studi, sia in Matematica sia in altre discipline, con un alto grado di autonomia (obiettivo 1). L’apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di modelli matematici sarà  utile, anche a distanza di tempo, per la formalizzazione  matematica di realtà di svariata natura (obiettivo 4).

Give  the basic concepts of the theory of  differentiable surfaces.  Study the Gauss curvature and the geometry of  surfaces  with special curvature. Part of the course will be devoted to differential forms, integration on surfaces and Stokes' theorem.

 

 

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Risultati dell'apprendimento attesi

Lo studente sarà in grado di gestire gli strumenti di base per lo studio delle superfici differenziabili e avrà acquisito dimestichezza con l’integrazione su superfici. Lo studente sarà inoltre in grado di descrivere la geometria di alcune notevoli superfici differenziabili. Inoltre avra' acquisito:

1. Familiarità con argomenti astratti.
2. Abilità a generalizzare ed applicare le idee ad esempi specifici.
3. Conoscenza della topologia e del suo ruolo nella matematica.
4. Familiarità con risultati che richiedono idee legate alla topologia nelle loro dimostrazioni.

Students will be able to use the basic tools for the study of differentiable surfaces and for the integration on surfaces. They will be able to describe the geometry of the most notable differentiable surfaces. Moreover they

1. will be familiar with abstract arguments;
2. will be able to generalize and apply ideas to specific examples;
3. will know the topology and its role in mathematics;
4. will be familiar with results which require ideas connected with topology for their proofs.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame si svolge, di norma, come segue: prova scritta. La prova scritta è costitutita da esercizi e domande di tipo teorico ed è valutata in 30simi. Eventualmente colloquio orale a richiesta del docente o dello studente per una ulteriore valutazione.
The exam is normally as follows: written exam. The written exams consist in exercises and questions about theory. Eventually oral exam at the request of the teacher or the student for further evaluation.
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Programma

Superfici differenziabili nello spazio (I parte)
Definizione di superficie parametrizzata regolare. Esempi di parametrizzazioni locali
(riprendendo gli esempi già noti dal corso di Geometria 2 ed introducendone altri). Carte locali sulla superficie sferica e sul toro. Grafici di funzioni a due variabili, superfici rigate, superfici di rotazione. Vettori tangenti ad una superficie, piano tangente e campi vettoriali. Orientabilità di una superficie: il nastro di Moebius (collegamento con il programma di topologia). Metrica su una superficie: la prima forma fondamentale.
Angoli e lunghezze di curve su una superficie. Area di porzioni di superficie. k-forme differenziali. Integrali superficiali. Teorema di Stokes.
Superfici chiuse e loro orientamento. Teorema di Gauss. I teoremi di Stokes e di Gauss nel linguaggio dei campi vettoriali. L'applicazione di Gauss e l'operatore di forma. La seconda forma fondamentale. Le curvature gaussiana e media. Classificazione dei punti di una superficie in base alla loro curvatura gaussiana. Curvatura normale. Curvature principali e direzioni principali di curvatura. Le geodetiche su una superficie. Definizione di superficie minimali e qualche proprieta’. Applicazione differenziabile tra due superfici. Il differenziale. Isometrie (locali e globali) tra superfici e applicazioni conformi. La deformazione isometrica dall'elicoide al catenoide. Il Teorema Egregium di Gauss.
Conclusione (nella direzione dello studio delle varieta’).
La visualizzazione geometrica del piano proiettivo. Varieta’ topologiche. Triangolazioni.
Somma connessa. Caratteristica di Eulero. Classificazione topologica delle superfici
compatte. Il concetto di omotopia e la definizione di spazio topologico semplicemente
connesso (intersezione con un eventuale corso di Analisi Complessa). Cenni sul gruppo fondamentale, esempi significativi.

Differentiable surfaces. Definition of regular surface. Examples of local charts. Local charts in the torus and the standard sphere.
Tangent vectors on a surface, tangent plane and vectors fields.
Orientation of a surface and the study of the Moebius strip. Metric on a surface: the first fundamental form.
k-differential forms. Partition of the unity. Integrals on surfaces. Stokes’ Theorem.
Closed surfaces. The theorem of Gauss.
The Gauss operator. The second fundamental form. The Gauss and the mean curvature.
Principal curvature and principal directions.
Geodesics. Minimal surfaces. Maps between surfaces. Isometries. Gauss Egregium Theorem.
Topological manifolds. Topological classification of surfaces.
Topics on the fundamental group.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

N. Hitchin: Geometry of Surfaces

C. Kowsniowski: Introduzione alla Topologia Algebrica.

S. Console, A. Fino: Geometria Riemanniana delle Superfici.

W. Kuehnel: Differential Geometry, Second Edition, AMS.

A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition.

 

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C. Kowsniowski: Introduzione alla Topologia Algebrica.

S. Console, A. Fino: Geometria Riemanniana delle Superfici.

W. Kuehnel: Differential Geometry, Second Edition, AMS.

A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition.

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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Orario lezioni

GiorniOreAula
Lezioni: dal 02/03/2015 al 05/06/2015

Nota: Per l'orario delle lezioni consultare la pagina "Orario Lezioni":http://www.educmatematica.unito.it/CMSOrari/index.html

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Note

GEOMETRIA 3, MFN0349 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/03, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

Modalità di verifica/esame: Esame orale.

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Ultimo aggiornamento: 06/07/2015 17:14

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