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Oggetto:
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Analisi Matematica 4

Oggetto:

Mathematical Analysis 4

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Anno accademico 2015/2016

Codice dell'attività didattica
MFN0338
Docenti
Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Gianluca Garello (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Doppia
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e più variabili;
elementi fondamentali di topologia;
campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma goniometrica e esponenziale;
serie numeriche e serie di funzioni;
serie di potenze in campo reale e complesso;
spazi metrici e normati, completezza, teorema delle contrazioni;
fondamenti sulle equazioni differenziali ordinarie, metodi risolutivi, problema di Cauchy di esistenza e unicità locale, prolungamento delle soluzioni;
elementi di algebra lineare e matrici;
integrali curvilinei e i superficie, forme differenziali;
misura e integrale secondo Lebesgue.

I prerequisiti sono forniti negli insegnamenti di Analisi Matematica e Geometria che precedono Analisi Matematica 4.


Basic topics of differential and integral calculus, in one and several variables;
basic elements of topology;
complex numbers and their representation in exponential form;
numerical and function series;
power series in real and complex field;
metric and normed spaces, completeness, contractions theorem;
elements of ordinary differential equations, solution methods, Cauchy problem of local existence and uniqueness, extension of solutions;
Elements of linear algebra and matrices;
linear and surface integrals, differential forms;
Lebesgue measure and integration.

The above described topics are provided in the
in courses of Mathematical Analysis and Geometry held before Mathematical Analysis 4.

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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Il corso si propone di perfezionare la conoscenza dell’analisi matematica di base, allo scopo di fornire maggiori strumenti agli studenti che intraprendono un percorso di studio della matematica di tipo teorico.

Il corso tratta la teoria di base delle funzioni di una variabile complessa e la loro integrazione,  cenni sulle serie di Fourier, il Teorema della funzione implicita locale per campi vettoriali e un approfondimento sulle equazioni differenziali ordinarie lineari.

Gli argomenti del corso vengono tutti trattati in modo rigoroso, anche per quanto riguarda i teoremi che richiedono dimostrazioni più articolate. Questo permette allo studente da un lato di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria importanza, dall'altro di riuscire a dimostrare autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula. 

Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo o in gruppo. Spesso gli esercizi proposti possono venir risolti in modi molto diversi. La presentazione di soluzioni ad altri studenti, in appositi incontri i tutoraggio, permette di sviluppare capacità di riconoscimento di errori in dimostrazioni distinguendo anche dimostrazioni corrette alternative, nonché di migliorare le capacità di comunicazione. In particolare gli studi qualitativo delle equazioni differenziali permettono di modellizzare semplici realtà fisiche o biologiche allenando lo studente a rivolgersi a un pubblico non matematico. La capacità di risolvere esercizi è puntualmente verificata nella prova d'esame.

L’apprendimento del metodo scientifico alla base della formulazione di modelli matematici potrà poi rivelarsi utile, anche a distanza di tempo, per la formalizzazione logica o matematica di realtà di svariata.

  The course aims to improve the knowledge  of mathematical analysis, in order to provide more facilities to students who undertake a study of theoretical mathematics.

The course covers the basic theory of functions of one complex variable and their integration,  elements on Fourier series, the local implicit function theorem for  vector fields and a discussion on linear ordinary differential equations.

The topics of the course are all rigorously treated , also with regard to the theorems that require more complex demonstrations. This allows students from one side to understand and master concepts of primary importance, the other to be able to show yourself some results similar to those discussed in the classroom.

For each topic covered in the course,  many exercises are offered to students to do on their own or in groups. Often the exercises can be solved in many different ways. The presentation of solutions to other students,  in special meetings, allows the students  to recognize errors and to identify alternative demonstrations, and to improve communication skills. Solving exercises is regularly checked in the examination.

The learning of the scientific method at the basis of the formulation of mathematical models may then be useful, even at a distance of time, for the formalization of logical or mathematical reality of varied.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di:

- riconoscere i punti in cui una funzione di variabile complessa è olomorfa e/o analitica;

- saper spiegare accuratamente il legame tra il concetto di derivabilità e analiticità di una funzione;

- integrare esplicitamente esempi basilari di funzioni olomorfe;

- riconoscere la convergenza puntuale, uniforme e in media quadratica di una serie di Fourier;

- Saper applicare la teoria delle equazioni e dei sistemi lineari ordinari a particolari modelli.

At the end of  the course the student will be able to:

- Recognize the points at which a complex variable function is holomorphic and / or analytical;

accurately explain the link between the concept of differentiability and analyticity of a function;

- Explicitly integrate basic examples of analytic functions;

- Recognizing the pointwise convergence, uniform and in the quadratic mean of a Fourier series;

- Know how to apply the theory of linear ordinary equations and systems to particular models.

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Modalità di insegnamento

Il corso si svolge con 48 di lezioni frontali (6 CFU), comprensive di svolgimento dettagliato di esercizi da parte dei docenti. Si terrano alcuni incontri, al di fuori dell'orario di lezione, in cui gli studenti potranno discutere tra di loro e con i docenti lo svolgimento di esercizi.

The course includes 48 lectures (6 CFU), inclusive of exercises, carried out in details by teachers. It will be held a few meetings, outside of lessons, in which students can discuss with each other and with the teachers some exercises.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame scritto e orale. La prova scritta è costitutita da esercizi e/o domande di tipo teorico. La prova è valutata in 30esimi. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il punteggio di 18/30. La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso. Vi saranno domande che richiedono lo svolgimento di esercizi. Durante la prova orale verrà svolta una discussione degli errori della prova scritta. La prova scritta ed orale devono essere superate entrambe nello stesso appello d'esame. La prova scritta superata nel primo appello di giugno permette l'accesso all'orale del secondo appello. Gli studenti che hanno seguito il corso in anni accademici precedenti il 2015-16 possono sostenere la prova d'esame con le regole e il programma dell'anno in cui hanno seguito (segnalando tale intenzione ai docenti al momento dell'iscrizione all'esame).

Written and oral examination. The written test is made up by exercises and / or theoretical questions. This test will be scored in 30th. To be admitted to the oral exam must achieve a score of 18/30. The interview will consist of questions related to the theory and demonstrations presented in the course. There will be questions that require the carrying out of exercises. During the oral examination will be carried out a discussion of the errors in the written test. The written test and oral examination must be passed both in the same exam session. The written test outdone in first session in June allows access to oral of the second session. Students who attended this course before the academic year 2015-16 may undergo the exam with the rules and the program corresponding to the year they attended the course (provided they inform, when they subscribe for the exam, the teachers).

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Attività di supporto

Le videoregistrazioni, in corso di svolgimento, si trovano al pulsante "moodle".

Materiale didattico complementare si trova al pulsante "materiale didattico".

Videorecordings, in progress,  may be found on the "moodle" button.

Additional teaching materials may be found on "materiale didattico" button.

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Programma

Analisi complessa [18 ore]  
Richiami su funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni trascendenti elementari e  
serie di potenze in campo complesso.  
Integrazione in campo complesso. Indice di un cammino chiuso. Teorema di Cauchy dell'integrale nullo. Formula integrale di Cauchy.  
Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Principio di continuazione analitica.  
Singolarità di funzioni olomorfe. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione delle singolarità. Teorema dei residui ed applicazione al calcolo degli integrali.  
 
Serie di Fourier [6 ore]  
Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier classiche.  
Convergenza quadratica, puntuale ed uniforme.  
 
Equazioni differenziali ordinarie [24 ore]  
1. Complementi sul Problema di Cauchy per Equazioni Differenziali Ordinarie: lemma di Gronwall, dipendenza continua della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali, dipendenza derivabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali [PSV].

2. Equazioni differenziali lineari di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Matrice Wronskiana. Teorema di Liouville (Cf.  [BCFTV],[PS],[HS], [HK]). Oscillazioni libere, smorzate e forzate. Risonanza (Cf. [PS]).

3.  Equazioni differenziali autonome.  Le nozioni di punto di equilibrio e di stabilità (Cf. [HK],[HS]). Equazioni differenziali autonome in R^2. (Cf. [BCFTV],[HS]). Integrali primi. Orbite di un sistema piano. Studio dell'equazione del pendolo semplice nel piano delle fasi.  

4. Sistemi lineari piani del tipo x'=Ax. Esponenziale di una matrice. Studio della stabilità dell'origine mediante gli autovalori di A (Cf. [BCFTV],[PS],[HS]). Sistemi non lineari piani. Il metodo di linearizzazione (Cf. [HK]).

 

 

1. Complex variable functions [18 hours]:
-Reminders on holomorphic functions, Cauchy-Riemann equations, elementary transcendental functions and power series in the complex field.
 
- Integration in the complex field. Index of a closed curve. Cauchy Theorem. Cauchy integral formula.
Analyticity of holomorphic functions. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Principle of analytic continuation.
Singularities of holomorphic functions. Laurent expansions and classification of singularities. Residue theorem and applications to the calculation of integrals.
 
2. Fourier series [6 hours]
Trigonometric polynomials. Fourier expansions.
Quadratic pointwise and uniform convergence, .
 
3. Differential equations
 1. More on the Cauchy problem: Gronwall's lemma, Continuous dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data, differentiable dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data.

2. Linear differential equations of order n. Systems of first order linear differential equations. Wronskian. Liouville theorem. Oscillations and the concept of resonance.

3. Autonomous ordinary differential equations. Equilibris and their stability. Equations in R^2. First integrals. Orbits of a planar systems. The simple pendulum and the Lotka-Volterra system in the phase plane. 

4. Planar linear systems of the form x'=Ax. Exponential of a matrix. Stability of the origin through the eigenvalues of A. Nonlinear planar systems. The linearization method.

 

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
-  Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica - Con elementi di geometria e calcolo vettoriale - Vol.2, Apogeo (Capitolo VIII).

-  Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.

-  Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi matematica 2, Masson Editore.

- Piccinini-Stampacchia-Vidossich: Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.

- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
- Gilardi, Analisi III, Mc. Graw Hill Italia.
-  Giusti, Analisi Matematica 2, Ed. Boringhieri G. De Marco Analisi 2, Ed. Zanichelli.
-  Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica - Con elementi di geometria e calcolo vettoriale - Vol.2, Apogeo (Capitolo VIII).
- Cecconi-Stampacchia, Analisi Matematica 2, Liguori.
-  Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.
-  Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi matematica 2, Masson Editore.
- Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill.



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Orario lezioni

GiorniOreAula
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Note

ANALISI MATEMATICA 4, MFN0338 (DM 270) , 6 CFU: 6 CFU, MAT/05, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.

 

Il programma del corso non presenta sovrapposizioni con il corso di Equazioni Differenziali, che tuttavia è consigliato soprattutto agli studenti interessati all'Analisi Matematica e alle sue applicazioni.

Mathematical Analysis 4, MFN0338 (DM 270), 6 CFU: 6 CFU, MAT / 05, TAF B (caratt.), Ambito formazione teorica.


 
The course has no overlap with the course of differential equations, which, however, is recommended especially for students interested in  Mathematical Analysis  and its applications.

 

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Ultimo aggiornamento: 14/07/2017 08:47

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