- Oggetto:
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Analisi Matematica 4
- Oggetto:
Mathematical Analysis 4
- Oggetto:
Anno accademico 2019/2020
- Codice dell'attività didattica
- MFN0338
- Docenti
- Prof. Anna Capietto (Titolare del corso)
Prof. Susanna Terracini (Titolare del corso) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Secondo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MAT/05 - analisi matematica
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Scritto e Orale
- Prerequisiti
-
Elementi fondamentali di calcolo infinitesimale, differenziale e integrale in una e più variabili. Campo dei numeri complessi e rappresentazione in forma esponenziale. elementi di algebra lineare e matrici.
I prerequisiti sono forniti negli insegnamenti di Algebra, Analisi Matematica e Geometria che precedono Analisi Matematica 4.
Basic topics of differential and integral calculus, in one and several variables;
basic elements of topology;
complex numbers and their representation in exponential form;
Elements of linear algebra and matrices;
The above described topics are provided in the
in courses of Algebra, Mathematical Analysis and Geometry held before Mathematical Analysis 4. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Il corso si propone di perfezionare la conoscenza dell'analisi matematica di base, tramite l'approfondimento della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e l'introduzione delle funzioni di una variabile complessa. Gli argomenti trattati sono essenziali per gli studenti che intraprendono un percorso di studio della matematica di tipo teorico e allo stesso tempo utili per una trattazione rigorosa di aspetti modellistici.Gli argomenti del corso vengono tutti trattati in in modio approfondito, anche per quanto riguarda i teoremi che richiedono dimostrazioni più articolate. Questo permette allo studente da un lato di comprendere e impadronirsi di concetti di primaria importanza, dall'altro di riuscire a dimostrare autonomamente alcuni risultati simili a quelli discussi in aula.
Per ogni argomento trattato nel corso vengono proposti agli studenti numerosi esercizi da svolgere in modo autonomo. o in gruppo.
The course aims to improve the knowledge of mathematical analysis, through the deepening of the theory of ordinary differential equations and the introduction of the function of one complex variable. The covered topics are essential for the students addressed to theoretical mathematics, and in the meantime useful for modellistics arguments.
The topics of the course are all rigorously treated , also with regard to the theorems that require more complex demonstrations. This allows students from one side to understand and master concepts of primary importance, the other to be able to show yourself some results similar to those discussed in the classroom.
For each topic covered in the course, many exercises are offered to students.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di:- riconoscere i punti in cui una funzione di variabile complessa è olomorfa e/o analitica;
- saper spiegare accuratamente il legame tra il concetto di derivabilità e analiticità di una funzione;
- integrare esplicitamente esempi basilari di funzioni olomorfe;
- applicare la teoria delle equazioni differenziali a particolari modelli.
At the end of the course the student will be able to:
- recognize the points at which a complex variable function is holomorphic and / or analytical;
- accurately explain the link between the concept of differentiability and analyticity of a function;
- explicitly integrate basic examples of analytic functions;
- apply the theory of differential equations to particular models.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
Il corso si svolge con 48 di lezioni frontali (6 CFU), comprensive di svolgimento dettagliato di esercizi da parte dei docenti.The course includes 48 lectures (6 CFU), inclusive of exercises, carried out in details by teachers.- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
The exam will consist of a single oral exam remotely via webex. It is necessary
to use a webcam. The candidate will write on a page visible to the commission. The exam will consist of exercises and oral discussion. The students who
delivered all the exercises assigned by prof. Capietto within the required
deadlines (see moodle page) will be exempted from carrying out the exercise
on the part of the program carried out by Prof. Capietto. Students who will have delivered by June 5 all the exercises assigned
by prof. Terracini will be exempted from carrying out the exercise
on the part of the program carried out by prof. Terracini. As usual, it is essential to enrol in the usual online ways. The tests will take place on: June 11 at 9 June 30 at 9Students who attended this course before the academic year 2019-20 may undergo the exam with the rules and the program corresponding to the year they attended the course (provided they inform, when they subscribe for the exam, the teachers).
- Oggetto:
Programma
Analisi complessa [24 ore]
Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni trascendenti elementari e
serie di potenze in campo complesso.
Integrazione in campo complesso. Indice di un cammino chiuso. Teorema di Cauchy dell'integrale nullo. Formula integrale di Cauchy.
Analiticità delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio di continuazione analitica.
Singolarità di funzioni olomorfe. Sviluppi in serie di Laurent e classificazione delle singolarità. Teorema dei residui ed applicazione al calcolo degli integrali.
Equazioni differenziali ordinarie [14 ore]Complementi sul Problema di Cauchy: il lemma di Gronwall e la dipendenza continua e differenziabile della soluzione del problema di Cauchy dai dati iniziali.
Equazioni differenziali lineari di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine. Matrice Wronskiana. Teorema di Liouville.
Equazioni differenziali autonome. Le nozioni di punto di equilibrio e di stabilità. Sistemi piani: integrali primi, orbite, stabilità.
1. Complex variable functions [24 hours]:
-Reminders on holomorphic functions, Cauchy-Riemann equations, elementary transcendental functions and power series in the complex field.
- Integration in the complex field. Index of a closed curve. Cauchy Theorem. Cauchy integral formula.
Analyticity of holomorphic functions. Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Principle of analytic continuation.
Singularities of holomorphic functions. Laurent expansions and classification of singularities. Residue theorem and applications to the calculation of integrals.
2. Differential equations [24 hours]
- The Cauchy problem: Gronwall's lemma, continuous dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data, differentiable dependence of the solution of the Cauchy problem from the initial data.- Linear differential equations of order n. Systems of first order linear differential equations. Wronskian. Liouville theorem.
- Autonomous ordinary differential equations. Equilibria and their stability. Planar systems: first integrals, orbits, stability.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- - E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
- Piccinini-Stampacchia-Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in Rn, Liguori editore.
- Vitali, Lezioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie - disponibile alla pagina moodle di questo corso
- E.M. Stein e R. Shakarchi, Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis II), Princeton University Press.
- Gilardi, Analisi III, Mc. Graw Hill Italia.- Barutello-Conti-Ferrario-Terracini-Verzini, Analisi Matematica vol. 2, Apogeo.
- Hale-Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag.
- Hirsch-Smale, Dynamical Systems, differential equations and linear algebra, Academic Press.
- Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2, Masson.
- Piccinini-Stampacchia-Vidossich: Ordinary differential equations in Rn, Springer.
- Vitali, Lezioni introduttive sulle equazioni differenziali ordinarie - see the moodle page of this course.
- Oggetto:
Orario lezioni
- Oggetto:
Note
Il programma del corso non presenta sovrapposizioni con il corso di Equazioni Differenziali. Tale corso è consigliato soprattutto agli studenti interessati all'Analisi Matematica e alle sue applicazioni.
Per maggiori informazioni e per il materiale didattico accedere alla pagina moodle del corso (link sotto).
The course has no overlap with the course of differential equations. This course is recommended especially for students interested in Mathematical Analysis and its applications.
To have more information use the moodle page of the course (see the link below)- Oggetto:
