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Oggetto:
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Equazioni Differenziali

Oggetto:

Differential Equations

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Anno accademico 2017/2018

Codice dell'attività didattica
MFN1421
Docenti
Prof. Marco Cappiello (Titolare del corso)
Prof. Alessandro Oliaro (Titolare del corso)
Corso di studi
Laurea in Matematica
Anno
3° anno
Periodo didattico
Secondo semestre
Tipologia
D.M. 270 TAF D - A scelta dello studente
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Modalità di erogazione
Tradizionale
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Orale
Prerequisiti

Analisi matematica Uno, Due e 3. Geometria One.

Mathematical Analysis One, Two and 3. Geometry One.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, questo corso si propone di presentare un'introduzione alle equazioni alle derivate parziali fondamentali che modellizzano fenomeni stazionari (equazione di Laplace e di Poisson), diffusivi (equazione del calore), di trasporto (equazione del trasporto) e ondulatori (equazione delle onde). Per tali problemi vengono discussi i principali risultati della teoria classica e alcuni metodi di risoluzione. La trattazione teorica è corredata dall'esposizione di alcune applicazioni. Pertanto tale corso ben si colloca sia in un percorso teorico, sia in un percorso modellistico-applicativo.

This course is intended to present an introduction to the fundamental partial differential equations describing stationary phenomena (Laplace and Poisson equation), propagation phenomena by diffusion (heat equation), by transport (transport equation) and wave motions (wave equation). On these issues the main results of the classical theory as well as some methods of resolution are discussed. Some applications are also displayed. Therefore this course is well suited both in a curriculum of Pure Mathematics and in a curriculum of Applied Mathematics.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Dopo aver frequentato il corso, lo studente dovrà conoscere i principali risultati e i metodi classici per lo studio delle equazioni lineari e quasilineari del primo ordine, leggi di conservazione, equazioni di Laplace, di Poisson, del calore e delle onde.

After attending the course, the student should be able to know some fundamental results and classical methods for the study of linear and quasilinear first order equations, conservation laws, Laplace, Poisson, heat and wave equations.

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Modalità di insegnamento

Lezioni frontali alla lavagna.

Frontal lectures at the blackboard.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova orale sui contenuti principali del corso.

The exam consists in an oral test about the main topics of the course.

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Programma

  1. Introduzione: Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Esempi di modellizzazione di fenomeni deterministici e di problemi di natura geometrica mediante le equazioni alle derivate parziali.
  2. Equazioni lineari e quasilineari del primo ordine. Metodo delle caratteristiche (F. John, S. Salsa). Leggi di conservazione scalari undimensionali. Esempi e modelli. Onde d'urto, soluzioni deboli, condizione di Rankine-Hugoniot  (S. Salsa, dispense Prof. P. Caldiroli, S. Salsa)).
  3. Equazione delle onde: Derivazione del modello. La formula di d'Alembert. Il problema della corda vibrante. Risoluzione con il metodo di separazione delle variabili e le serie di Fourier (dispense Prof. Caldiroli, Salsa). L'equazione delle onde in dimensione 3: Il metodo delle medie sferiche, l'equazione di Eulero-Poisson-Darboux e la formula di Kirchhoff. L'equazione delle onde in dimensione 2: Il metodo della discesa di Hadamard e la formula di Poisson (dispense Prof. Caldiroli, Evans). Cenni sull'equazione delle onde in R^n, n >3. Il problema di Cauchy per l'equazione non omogenea (Evans, dispense Prof. Caldiroli). Un risultato di unicità per il problema con dati iniziali e al bordo (Salsa).
  4. Equazione del calore: La soluzione fondamentale e le sue proprietà. Costruzione di una soluzione del problema di Cauchy per l'equazione omogenea mediante la soluzione fondamentale. Proprietà della soluzione (effetto regolarizzante, velocità di propagazione infinita, permanenza del segno, conservazione della massa, decadimento per t grande. Il problema di Cauchy per l'equazione non omogenea in R^n. Principio del massimo per l'equazione del calore su domini limitati e su R^n. Risultati di unicità della soluzione. La soluzione di Tychonov. Il problema di Cauchy-Dirichlet in dimensione 1 mediante le serie di Fourier (Evans, dispense prof. Caldiroli).
  5. Funzioni armoniche: Definizione ed esempi. Proprietà della media, regolarità, teorema di Liouville, principio del massimo (dispense Prof. P. Caldiroli).
  6. Equazione di Poisson: soluzione fondamentale del laplaciano, identità di Stokes, soluzione dell'equazione di Poisson in forma integrale. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson. Riduzione al problema dell'estensione armonica.Il problema dell'estensione armonica. soluzione in serie di Fourier nel caso 2-dim, formula di Poisson sulla palla. Il principio di Dirichlet (dispense prof. P. Caldiroli, Salsa).
  7. Classificazione delle equazioni lineari del secondo ordine. Problemi ben posti. Funzioni analitiche reali di più variabili e loro proprietà. Il teorema di Cauchy-Kowalewsky: enunciato e idea della dimostrazione. Risultati di esistenza e non esistenza di soluzioni infinitamente derivabili per equazioni lineari: controesempio di H. Lewy, teorema di Malgrange-Ehrenpreis per operatori lineari a coefficienti costanti  (Renardy-Rogers, F. John).

  1. Introduction: Introduction to partial differential equations. Modelization of deterministic phenomena and geometric problems via partial differential equations (S. Salsa).
  2. Linear and quasilinear first order equations. Method of characteristics (F. John, S. Salsa). Unidimensional scalar conservation laws. Examples and models. Shock waves, weak solutions, the Rankine-Hugoniot condition (lecture notes by P. Caldiroli, S. Salsa).
  3. Wave equation: Construction of the model in one-space dimension. The d'Alembert formula. The vibrating string problem: resolution by separation of variables and Fourier series (lecture notes by P. Caldiroli, Salsa). The wave equation in 3-space dimension:  Solutions by spherical means, the Euler-Poisson-Darboux equation and the Kirchhoff formula. The wave equation in 2-space dimension: the Hadamard's method of descent and the Poisson formula (lecture notes by P. Caldiroli, Evans). Mention on the wave equation in arbitrary space dimension. The Cauchy problem for the non-homogeneous wave equation (Evans, lecture notes by P. Caldiroli). A result of uniqueness for the initial-boundary value problem (Salsa).
  4. Heat equation: La soluzione fondamentale e le sue proprietà. Costruzione di una soluzione del problema di Cauchy per l'equazione omogenea mediante la soluzione fondamentale. Proprietà della soluzione (effetto regolarizzante, velocità di propagazione infinita, permanenza del segno, conservazione della massa, decadimento per t grande). Il problema di Cauchy per l'equazione non omogenea in R^n. Principio del massimo per l'equazione del calore su domini limitati e su R^n. Risultati di unicità della soluzione. La soluzione di Tychonov. Il problema di Cauchy-Dirichlet in dimensione 1 mediante le serie di Fourier (Evans, dispense prof. Caldiroli). The fundamental solution and its properties. Construction of a solution to the Cauchy problem for the homogeneous heat equation by using the fundamental solution. Properties of the solution (smoothing effect, infinite propagation speed, conservation of the mass, decay for large t). The Cauchy problem for the non homogeneous equation in R^n. Maximum principle for the heat equation on bounded domains and on R^n. Uniqueness and non-uniqueness results. The Tychonov solution. The Cauchy-Dirichlet problem in one space dimension via Fourier series (Evans, lecture notes by P. Caldiroli).
  5. Harmonic functions: Definition and examples, mean-value formulas, regularity, Liouville theorem, maximum principle (lecture notes by P. Caldiroli).
  6. Poisson's equation: fundamental solution of the Laplacian, Stokes identity, integral representation of solutions. The Dirichlet problem for the Poisson equation. Reduction to the harmonic extension problem. Solution of the problem for the ball in the plane via Fourier series. Poisson formula  on the n-dimensional ball. The Dirichlet principle (lecture notes by P. Caldiroli, Salsa)
  7. Classification of second order linear equations. Well posed problem. Real analytic functions of several variables and their properties. The Cauchy-Kowalewski theorem: statement and sketch of the proof. Results of existence and non-existence of smooth solutions to linear equations: H. Lewy counterexample, the Malgrange-Ehrenpreis theorem for linear operators with constant coefficients  (M. Renardy- R. Rogers, F. John).

Testi consigliati e bibliografia

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  • Dispense.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS (2010)
  • F. John, Partial Differential Equations, Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer (2010)
  • M. Renardy - R. Rogers, An introduction to partial differential equations, Springer-Verlag (1993)

  • Lecture Notes.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations. AMS (2010)
  • F. John, Partial Differential Equations. Springer (1978)
  • S. Salsa, Equazioni a derivate parziali. Springer (2010)
  • M. Renardy - R. Rogers, An introduction to partial differential equations, Springer-Verlag (1993)


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Orario lezioni

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Ultimo aggiornamento: 15/03/2018 11:39

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