- Oggetto:
- Oggetto:
Calcolo delle Probabilità 2
- Oggetto:
Probability 2
- Oggetto:
Anno accademico 2025/2026
- Codice dell'attività didattica
- MFN0344
- Docenti
- Laura Lea Sacerdote (Titolare)
Cristina Zucca (Titolare) - Corso di studi
- Laurea in Matematica
- Anno
- 3° anno
- Periodo didattico
- Primo semestre
- Tipologia
- D.M. 270 TAF B - Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD dell'attività didattica
- MATH-03/B
- Modalità di erogazione
- Tradizionale
- Lingua di insegnamento
- Italiano
- Modalità di frequenza
- Facoltativa
- Tipologia d'esame
- Orale
- Prerequisiti
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Per una buona comprensione di questo insegnamento si devono conoscere e utilizzare i concetti presentati negli insegnamenti di Calcolo delle probabilità
e Statistica o di Calcolo delle Probabilità. Non è indispensabile aver già superato l'esame.
Concepts introduced in Probability class (or Probability and Statistics class) are mandatory for a good comprehension. It is not mandatory having passed the exam of Probability and Statistics but it is reccomendable. - Propedeutico a
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I concetti introdotti in questo insegnamento sono molto utili a quanti proseguano con la laurea magistrale, specie se in in ambito probabilistico. Non sono però indispensabili e alcune abilità che si acquisiscono in questo insegnamento autonomamente potranno venir recuperate autonomamente, seppure con un importante sforzo.
Contents of these classes are very useful to students that will be enrolled in a Master program. This is particularly true for those who want to specialize their studies in a probabilistic context. However this choice is not mandatory; some strong extra effort will be requested to the student at the Master level in absence of these contents. - Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di sviluppare le capacità necessarie per formulare modelli probabilistici di situazioni di interesse applicativo. Lo studio di processi stocastici e delle relative proprietà verrà finalizzata alla formulazione di modelli relativi a situazioni reali. Tra gli obiettivi dell'insegnamento vi è lo sviluppo delle capacità necessarie per la formulazione e lo studio di semplici modelli probabilistici e lo sviluppo di capacità di problem solving, l'abitudine al lavoro di gruppo e ad argomentare in supporto delle proprie tesi. Per la soluzione di esercizi si incoraggia l'utilizzo di software matematico.Students will develop the necessary skills to write down simple
probabilistic models of applied interest. The introduction of stochastic
processes and their properties is always motivated by the wish to
develop models for observed phenomena. Aim of the course include the
development of the abilities for the formulation and the study of simple
stochastic models, for problem solving, for group working and to support personal thesis with mathematical arguments. Use of mathematical software for homework exercises is encouraged.- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Verra' acquisita una buona conoscenza delle principali metodologie utili per lo studio di alcune classi di processi stocastici a tempo e spazio discreti e si svilupperanno capacità per utilizzare le
proprietà del Processo di Poisson e i processi Markoviani nel formulare modelli e per risolvere problemi. Lo sforzo comprenderà anche il miglioramento alcuni soft skill.Knowledge of methods for studying some classes of stochastic processes. Ability in using Poisson and Markov processes to model observed facts and for related problem solving . Development of abilities for studying stochastic models of applied interest. A set of soft skills will be improved.- Oggetto:
Modalità di insegnamento
48 ore di lezioni sia teoriche che rivolte alla soluzione di problemi.
L'insegnamento in piattaforma accoglie: materiali delle lezioni; esercitazioni da svolgere, ove possibile; materiali didattici di approfondimento che potranno essere discussi in aula durante la lezione; materiali prodotti dalle/dagli studentesse/studenti nell’ambito di attività di approfondimento individuale e/o collaborativo.
Possibili variazioni verranno annunciate via email agli iscritti
48 hours of lessons including both theory and exercises devoted to problem solving. Teaching will include lessons in class (if possible) and material on Moodle. Discussions on different solutions to problems will use in class work. Students will work individually or in group.
Advices via email to enrolled students will be sent (if any)
- Oggetto:
Modalità di verifica dell'apprendimento
IMPORTANTE:Durante l'insegnamento verranno distribuiti 4 fogli di esercizi la cui soluzione è parte integrante dell'esame. Prima dell'apertura della sessione esami ogni partecipante verrà informato della valutazione globale degli esercizi consegnati. Qualora si decida di non risolvere esercizi durante la seduta di esame, tale voto risulterà il voto massimo per l'esame dopo aver verificato la conoscenza di quanto scritto nelle soluzioni al momento dell'orale. Chi non avesse consegnato gli esercizi durante l'anno o chi non fosse soddisfatto della valutazione ottenuta, dovrà risolvere degli esercizi prima di sostenere la parte orale dell'esame, che comprende due domande sulla teoria. Il voto finale comprende la valutazione della soluzione di esercizi e l'esito della prova orale. E' ammesso il lavoro di gruppo per la soluzione degli esercizi distribuiti durante l'anno.
IMPORTANT:During the course, four sets of exercises will be distributed, and their solutions will constitute an integral part of the final exam. Before the start of the exam period, students will be informed of the overall assessment of the exercises they have submitted. If a student chooses not to solve exercises during the exam session, the previously assigned grade for the submitted exercises will represent the maximum possible final grade, provided that the student's understanding of the submitted solutions is confirmed during the oral exam.
Students who did not submit the exercises during the course or who are not satisfied with their assessment must solve exercises during the exam session before taking the oral part of the exam, which includes two theory questions. The final grade will be based on both the evaluation of the exercise solutions and the outcome of the oral exam. Group work is allowed for solving the exercises distributed during the course.
- Oggetto:
Programma
Variabili aleatorie multivariate. Probabilità condizionate e valori attesi condizionati con applicazioni (tempo medio per il riapparire di un pattern).
Approfondimenti sulla Catene di Markov e loro utilizzo in ambito modellistico: equazione di Chapman Kolmogorov; classificazione degli stati, probabilità limite; applicazioni: cammino casuale, rovina di un giocatore, processi di diramazione.
Distribuzione esponenziale e processo di Poisson: principali proprietà ed esempi di applicazioni: problemi di code, di affidabilità. Processo di Poisson composto .
Catene di Markov a tempo continuo: processi di nascita e morte.
Moto Browniano e processi stazionari: distribuzione del massimo, tempo di prima uscita. Moto Browniano geometrico. Applicazioni in ambito finanziario: prezzo delle opzioni e modello di Black and Scholes.Jointly distributed random variables; conditional probability and conditional expectation; examples (mean time for patterns)
Insights about Markov chains and their modeling applications; Chapman Kolmogorov equation; classification of states; limiting probabilities; examples (random walk, gambler's ruin, branching processes).
The exponential distribution and the Poisson process; examples (queue problems; reliability problems); compound Poisson process.
Continuos-time Markov chains: birth and dead processes.
Brownian motion and stationary stochastic processes; maximum variable; geometric Brownian motion; example: Black and Scholes option pricing formula.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Introduction to Probability Models
- Anno pubblicazione:
- 2014
- Editore:
- Academic Press
- Autore:
- S. Ross
- ISBN
- Capitoli:
- 1-6, 10
- Note testo:
- Esistono edizioni successive, vanno tutte bene
- Obbligatorio:
- Si
- Oggetto:
Ulteriore testo (complementare):
Title: Introduction to Probability for Computing 1
Author: Mor Harchol-Balter
ISBN: 9781009309073
- Oggetto:
Orario lezioni
- Oggetto:
